Bài 4: Rút gọn phân số

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Cách rút gọn phân số

Quy tắc:

Muốn rút gọn một phân số, ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một ước chung (khác 1 và (-1)) của chúng

Ví dụ: Rút gọn phân số \(\frac{18}{24}\)

Ta có ƯC (18, 24)=2 nên ta có: \(\frac{18}{24}=\frac{18:2}{24:2}=\frac{9}{12}\). Tiếp tục ƯC (9,12)=3 nên ta lại có: \(\frac{9}{12}=\frac{9:3}{12:3}=\frac{3}{4}\)

Vậy lần lượt ta có: \(\frac{18}{24}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\)

1.2. Thế nào là phân số tối giản ?

Phân số tối giản (hay phân số không rút gọn được nữa) là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1.

Nhận xét:

Muốn rút gọn nhanh phân số đã cho về phân số tối giản ta chỉ cần chia tử và mẫu của phân số cho ƯCLN của chúng.

Ví dụ: ƯCLN(24,18)=6 nên ta có: \(\frac{24}{18}=\frac{24:6}{18:6}=\frac{4}{3}\)

Chú ý:

- Phân số \(\frac{a}{b}\) là tối giản nếu \(\left | a \right |,\left | b \right |\) là hai số nguyên tố cùng nhau

- Để rút gọn một phân số mang dấu trừ ta có thể rút gọn phân số không mang dấu sau đó thêm dấu vào kết quả

Ví dụ: Rút gọn phân số \(\frac{-18}{12}\). Ta có ƯCLN (18,12)=6 nên ta có: \(\frac{18}{12}=\frac{18:6}{12:6}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{-18}{12}=\frac{-3}{2}\)

- Khi rút gọn một phân số, ta thường rút gọn phân số đó đến tối giản

Bài tập minh họa

2.1. Bài tập cơ bản

Bài 1: Rút gọn các phân số sau: \(\frac{44}{55};\frac{-72}{81}\)

Hướng dẫn:

Ta có:ƯCLN (44;55)=11 nên \(\frac{44}{55}=\frac{44:11}{55:11}=\frac{4}{5}\)

ƯCLN (72;81)=9 nên \(\frac{-72}{81}=\frac{(-72):9}{81:9}=\frac{-8}{9}\)

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: \(\frac{3.7}{6.14};\frac{8.7-8.5}{16}\)

Hướng dẫn:

Ta có: \(\frac{3.7}{6.14}=\frac{3.7}{2.3.7.2}=\frac{3.7}{4.(3.7)}=\frac{(3.7):(3.7)}{4.(3.7):(3.7)}=\frac{1}{4}\)

\(\frac{8.7-8.4}{16}=\frac{8(7-4)}{16}=\frac{8.3}{16}=\frac{8.3:8}{16:8}=\frac{3}{2}\)

2.2. Bài tập nâng cao

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau: \(\frac{2^{4}.5^{2}.11^{2}.7}{2^{3}.5^{3}.7^{2}.11}\)

Hướng dẫn:

Ta có: \(\frac{2^{4}.5^{2}.11^{2}.7}{2^{3}.5^{3}.7^{2}.11}=\frac{2.11.(2^{3}.5^{2}.11.7)}{5.7.(2^{3}.5^{2}.11.7)}=\frac{22}{35}\)

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: \(\frac{5^{11}.7^{12}+5^{11}.7^{11}}{5^{12}.7^{12}+9.5^{11}.7^{11}}\)

Hướng dẫn:

Ta có: \(\frac{5^{11}.7^{12}+5^{11}.7^{11}}{5^{12}.7^{12}+9.5^{11}.7^{11}}=\frac{5^{11}.7^{11}.(7+1)}{5^{11}.7^{11}.(5.7+9)}=\frac{8}{44}=\frac{8:4}{44:4}=\frac{2}{11}\)