Bài 12: Phép chia phân số

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Số nghịch đảo

\(- 8.\frac{1}{{ - 8}} = \,\,?\)

Ta nói \(\frac{1}{{ - 8}}\)là số nghịch đảo của -8, -8 cũng là số nghịch đảo của \(\frac{1}{{ - 8}}\) hai số -8 và \(\frac{1}{{ - 8}}\) là hai số nghịch đảo của nhau.

\(\Rightarrow \) Hai số gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1.

1.2. Phép chia phân số

Ta có quy tắc:

Muốn chia một phân số hay một số nguyên cho một phân số, ta nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia.

\(\frac{a}{b}\,\,:\,\,\frac{c}{d} = \frac{a}{b}.\frac{c}{d} = \frac{{a\,\,.\,\,d}}{{b\,.\,\,c}}\) \(a:\frac{c}{d} = a.\frac{d}{c} = \frac{{a.d}}{c}\,\,(c \ne 0)\)

Nhận xét: Muốn chia một phân số cho một số nguyên (khác 0), ta giữ nguyên tử của phân số và nhân mẫu với số nguyên.

\(\frac{a}{b}:c = \frac{a}{{b\,\,.\,\,\,c}}\)

Ví dụ 1: Tính các thương sau đây rồi sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần:

\(\frac{3}{2}:\frac{9}{4};\,\,\,\frac{{48}}{{55}}:\frac{{12}}{{11}};\,\,\frac{7}{{10}}:\frac{7}{5};\,\,\frac{6}{7}:\frac{8}{7}\)

Giải

\(\begin{array}{l}\frac{3}{2}:\frac{9}{4} = \frac{2}{3}\,\,\\\frac{{48}}{{55}}:\frac{{12}}{{11}}\, = \frac{4}{5}\\\frac{7}{{10}}:\frac{7}{5} = \frac{1}{2}\\\frac{6}{7}:\frac{8}{7} = \frac{3}{4}\end{array}\)

Sắp xếp: \(\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{4}{5}\)

Ví dụ 2: Viết phân số \(\frac{{14}}{{15}}\) dưới dạng thương của hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên dương có một chữ số.

Giải

\(\frac{{14}}{{15}} = \frac{2}{3}:\frac{5}{7} = \frac{5}{2}:\frac{3}{7} = \frac{7}{3}:\frac{5}{2} = \frac{7}{5}:\frac{3}{2}.\)

Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức

\(A = \frac{{\frac{2}{3} + \frac{2}{5} - \frac{2}{9}}}{{\frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{9}}}.\)

Giải

\(A = \frac{{\frac{2}{3} + \frac{2}{5} - \frac{2}{9}}}{{2.\left( {\frac{2}{3} + \frac{2}{5} - \frac{2}{9}} \right)}} = \frac{1}{2}\)

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hai phân số \(\frac{8}{{15}}\) và \(\frac{{18}}{{35}}.\) Tìm số lớn nhất sao cho khi chia mỗi phân số này cho số đó ta được kết quả là số nguyên.

Giải

Gọi số lớn nhất phải tìm là \(\frac{a}{b}\) (a và b nguyên tố cùng nhau)

Ta có \(\frac{8}{{15}}:\frac{a}{b} = \frac{{8b}}{{15a}}.\) Để \(\frac{{8b}}{{15a}}\) là số nguyên ta phải có \(8b\,\, \vdots \,\,15a\) suy ra \(8\, \vdots \,a\) và \(b\,\, \vdots \,\,15\)

Tương tự, từ \(\frac{{18}}{{35}}:\frac{a}{b} = \frac{{18b}}{{35a}}\) ta cũng suy ra \(18\,\, \vdots \,\,a\) và \(b\,\, \vdots \,\,35\)

Để \(\frac{a}{b}\) là số lớn nhất, ta phải có:

a = ƯCLN(8;18) = 2

b = BCNN(15; 35) = 105

Phân số phải tìm là \(\frac{2}{{105}}\)

Thử lại: \(\frac{8}{{15}}\,:\,\frac{2}{{105}}\,\, = 28;\,\,\frac{{18}}{{35}}\,:\,\frac{2}{{105}} = 27\)

Bài 2: Tìm hai số, biết rằng \(\frac{9}{{11}}\) của số này bằng \(\frac{6}{7}\) của số kia và tổng của hai số đó bằng 258.

Giải

Số thứ nhất bằng \(\frac{6}{7}:\frac{9}{{11}} = \frac{{22}}{{21}}\) số thứ hai, 258 chính là giá trị của \(\frac{{22}}{{21}} + 1 = \frac{{43}}{{21}}\) số thứ hai.

Số thứ hai là: \(258:\frac{{43}}{{21}} = 126\)

Số thứ nhất là: 258 – 126 = 132

Bài 3: Tích của hai phân số là \(\frac{3}{7}\) nếu thêm vào thừa số thứ nhất 2 đơn vị thì tích là \(\frac{{13}}{{21}}.\) Tìm hai phân số đó.

Giải

Tích mới hơn tích cũ là: \(\frac{{13}}{{21}} - \frac{3}{7} = \frac{4}{{21}}\)

Tích mới hơn tích cũ 2 lần phân số thứ hai

Vậy phân số thứ hai là \(\frac{4}{{21}}:2 = \frac{2}{{21}}\)

Phân số thứ nhất là \(\frac{3}{7}:\frac{2}{{21}} = \frac{9}{2}\)