Bài 10: Phép nhân phân số

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Quy tắc

Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.

\(\frac{a}{b}.\frac{c}{d} = \frac{{a\,\,.\,\,c}}{{b\,\,.\,\,d}}\)

Ví dụ 1: Tính \(\frac{{ - 3}}{7}.\frac{2}{{ - 5}}\) .

Giải

\(\frac{{ - 3}}{7}.\frac{2}{{ - 5}} = \frac{{( - 3).2}}{{7.( - 5)}} = \frac{{ - 6}}{{ - 35}} = \frac{6}{{35}}\)

1.2. Nhận xét

Từ các phép nhân: \(( - 2).\frac{1}{5} = \frac{{ - 2}}{1}.\frac{1}{5} = \frac{{( - 2).1}}{{1.5}} = \frac{{ - 2}}{5}\,\,\left( { = \frac{{( - 2).1}}{5}} \right)\)

\(\frac{{ - 3}}{{13}}.( - 4) = \frac{{ - 3}}{{13}}.\frac{{ - 4}}{1} = \frac{{( - 3).( - 4)}}{{13.1}} = \frac{{12}}{{13}}\,\,\left( { = \frac{{( - 3).( - 4)}}{{13}}} \right)\), ta có nhận xét:

Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc một phân số với một số nguyên), ta nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu.

Ví dụ 2: Tính

a. \(\frac{2}{3} + \frac{1}{5}.\frac{{10}}{7}\) b. \(\frac{7}{{12}} - \frac{{27}}{7}.\frac{1}{{18}}\)

c. \(\left( {\frac{{23}}{{41}} - \frac{{15}}{{82}}} \right).\frac{{41}}{{25}}\) d. \(\left( {\frac{4}{5} + \frac{1}{2}} \right).\left( {\frac{3}{{13}} - \frac{8}{{13}}} \right)\)

Giải

a. \(\frac{2}{3} + \frac{1}{5}.\frac{{10}}{7} = \frac{2}{3} + \frac{2}{7} = \frac{{14}}{{21}} + \frac{6}{{21}} = \frac{{20}}{{21}}\)

b. \(\frac{7}{{12}} - \frac{{27}}{7}.\frac{1}{{18}} = \frac{7}{{12}} - \frac{3}{{14}} = \frac{{49}}{{84}} - \frac{{18}}{{84}} = \frac{{31}}{{84}}\)

c. \(\left( {\frac{{23}}{{41}} - \frac{{15}}{{82}}} \right).\frac{{41}}{{25}} = \left( {\frac{{46}}{{82}} - \frac{{15}}{{82}}} \right).\frac{{41}}{{25}} = \frac{{31}}{{82}}.\frac{{41}}{{25}} = \frac{{31}}{{50}}\)

d. \(\left( {\frac{4}{5} + \frac{1}{2}} \right).\left( {\frac{3}{{13}} - \frac{8}{{13}}} \right) = \left( {\frac{8}{{10}} + \frac{5}{{10}}} \right).\left( {\frac{{ - 5}}{{13}}} \right) = \frac{{13}}{{10}}.\frac{{ - 5}}{{13}} = \frac{{ - 1}}{2}\)

Ví dụ 3:

a. Cho hai phân số \(\frac{1}{n}\) và \(\frac{1}{{n + 1}}\,\,(n \in \mathbb{Z},\,\,n > 0).\) Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng.

b. Áp dụng kết quả trên để tính giá trị các biểu thức sau:

\(A = \frac{1}{2}.\frac{1}{3} + \frac{1}{3}.\frac{1}{4} + \frac{1}{4}.\frac{1}{5} + \frac{1}{5}.\frac{1}{6} + \frac{1}{6}.\frac{1}{7} + \frac{1}{7}.\frac{1}{8} + \frac{1}{8}.\frac{1}{9}\)

\(B = \frac{1}{{30}} + \frac{1}{{42}} + \frac{1}{{56}} + \frac{1}{{72}} + \frac{1}{{90}} + \frac{1}{{110}} + \frac{1}{{132}}\)

Giải

a. \(\frac{1}{n}.\frac{1}{{n + 1}}\,\, = \frac{1}{{n(n + 1)}};\,\,\,\,\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}\,\, = \frac{{n + 1 - n}}{{n(n + 1)}} = \frac{1}{{n(n + 1)}}\)

b. Áp dụng

\(A = \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{6}} \right) + \left( {\frac{1}{6} - \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{7} - \frac{1}{8}} \right) + \left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{9}} \right)\)

\( = \frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{7}{{18}}\)

\(B = \frac{1}{{5.6}} + \frac{1}{{6.7}} + \frac{1}{{7.8}} + \frac{1}{{8.9}} + \frac{1}{{9.10}} + \frac{1}{{10.11}} + \frac{1}{{11.12}}\)

\( = \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{6}} \right) + \left( {\frac{1}{6} - \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{7} - \frac{1}{8}} \right) + \left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{9}} \right) + \left( {\frac{1}{9} - \frac{1}{{10}}} \right) + \left( {\frac{1}{{10}} - \frac{1}{{11}}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} - \frac{1}{{12}}} \right)\)

\( = \frac{1}{5} - \frac{1}{{12}} = \frac{7}{{60}}\)

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho phân số \(\frac{a}{b}\) và phân số \(\frac{a}{c}\) có \(b{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a\,\,(a,\,b,\,c\, \in \mathbb{Z},\,b \ne 0,\,c\, \ne 0).\) Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng tổng của chúng. Thử lại với a = 8, b = -3.

Giải

Ta có \(\frac{a}{b}.\frac{a}{c} = \frac{{{a^2}}}{{bc}}\) (1)

\(\frac{a}{b} + \frac{a}{c} = \frac{{ac + ab}}{{bc}} = \frac{{a(c + b)}}{{bc}} = \frac{{a.a}}{{bc}} = \frac{{{a^2}}}{{bc}}\) (Vì c + b = a) (2)

Từ (1) và (2): \(\frac{a}{b}.\frac{a}{c} = \frac{a}{b} + \frac{a}{c}\) với b + c = a. \(a,\,b,\,c\, \in \mathbb{Z},\,b \ne 0,\,c\, \ne 0\)

Nếu a = 8, b = -3 thì c = a – b = 8 – (-3) = 11. Ta có:

\(\frac{8}{{ - 3}}.\frac{8}{{11}} = \frac{{64}}{{ - 33}}\) và \(\frac{8}{{ - 3}} + \frac{8}{{11}} = \frac{{8.11 + 8.( - 3)}}{{ - 33}} = \frac{{64}}{{ - 33}}\)

Bài 2: Tìm phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) sao cho phân số \(\frac{a}{{b - a}}\) bằng 8 lần phân số \(\frac{a}{b}\).

Giải

Từ \(\frac{a}{{b - a}} = \frac{a}{b}.8\) suy ra

\(\begin{array}{l}ab = 8a(b - a)\\ab = 8ab - 8{a^2}\\8{a^2} = 7ab\\8a = 7b\,\,\,hay\,\,\frac{a}{b} = \frac{7}{8}\end{array}\)

Bài 3: Tìm số nguyên dương nhỏ nhất để khi nhân nó với mỗi một trong các phân số tối giản \(\frac{3}{4},\frac{{ - 5}}{{11}},\frac{7}{{12}}\) đều được tích là những số nguyên.

Giải

Gọi a là số nguyên dương cần tìm

Để \(\frac{{3a}}{4},\frac{{ - 5a}}{{11}},\frac{{7a}}{{12}}\)là những số nguyên thì a phải chia hết cho 4, cho 11, cho 12, a là số nguyên dương nhỏ nhất nên a là BCNN(4,11,12)=132.

3. Luyện tập Bài 10 Chương 3 Số học 6

Qua bài giảng Phép nhân phân số này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :

Nắm được quy tắc nhân phân số, vận dụng làm một số bài tập

3.1 Trắc nghiệm về Phép nhân phân số - Số học 6

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 6 Bài 10 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Chọn phát biểu đúng nhất trong các phát biểu sau:
- A. Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số
- B. Phân số nào nhân với 1 cũng bằng chính nó
- C. Phân số nào nhân với 0 cũng bằng 0
- D. Cả A, B, C đều đúng
Câu 2:
Phép nhân phân số có những tính chất nào
- A. Tính chất giao hoán
- B. Tính chất kết hợp
- C. Tính chất nhân phân phối
- D. Cả A, B, C đều đúng
Câu 3:
Tính \(\frac{5}{8}.\frac{{ - 3}}{4}\)
- A. \(\frac{{ - 1}}{{16}}\)
- B. -2
- C. \(\frac{{ - 15}}{{32}}\)
- D. \(\frac{{ 5}}{{32}}\)