Bài 7: Phép cộng phân số

Bài trước chúng ta đã tìm hiểu so sánh hai phân số. Bài tiếp theo chúng ta sẽ học về Phép cộng phân số.

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Quy tắc

- Hai phân số cùng mẫu số: $\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a + b}{m}$

- Hai phân số khác mẫu số: Phải quy đồng mẫu chung rồi đưa về trường hợp trên:

$\frac{a}{m} + \frac{b}{n} = \frac{a n}{m . n} + \frac{b m}{m . n} = \frac{a . n + b . m}{m . n}$

1.2. Tính chất

- Giao hoán: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$

- Kết hợp: $(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{e}{f})$

- Tổng phân số với số 0: $\frac{a}{b} + 0 = 0 + \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

Ví dụ 1:

a) Viết phân số $\frac{7}{15}$ dưới dạng tổng của hai phân số tối giản có mẫu khác nhau.

b) Viết phân số $\frac{1}{8}$ dưới dạng tổng của hai phân số dương có tử bằng 1 và mẫu khác nhau.

c) Viết các phân số bằng $\frac{15}{17}$ có mẫu là số tự nhiên chẵn có hai chữ số.

Giải

a) Vì 7 = 2 + 5 = 3 + 4 = 1 + 6 nên có nhiều cách viết:

$\frac{1}{3} + \frac{2}{15}$ hoặc $\frac{1}{5} + \frac{4}{15}$ hoặc $\frac{2}{5} + \frac{1}{15}$

b) $\frac{1}{8} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24}$ hoặc $\frac{1}{8} = \frac{1}{40} + \frac{1}{10}$

c) $\frac{15}{17} = \frac{15.2}{17.2} = \frac{15.4}{17.4}$

Do đó có hai phân số bằng $\frac{7}{15}$ là $\frac{30}{34}$ và $\frac{60}{68}$ .

Ví dụ 2: Chứng tỏ:

$\frac{1}{1001} + \frac{1}{1002} + \frac{1}{1003} + . . . . + \frac{1}{1250} > \frac{1}{5}$

Giải

$\begin{array}{l} \frac{1}{1001} > \frac{1}{1250} \\ \frac{1}{1002} > \frac{1}{1250} \\ . . . . . . . . . . . . . . . \\ \frac{1}{1249} > \frac{1}{1250} \end{array}$

Vậy $\frac{1}{1001} + \frac{1}{1002} + \frac{1}{1003} + . . . . + \frac{1}{1250} > \frac{1}{1250} + \frac{1}{1250} + . . . . + \frac{1}{1250} = \frac{250}{1250} = \frac{1}{5}$

Do đó: $\frac{1}{1001} + \frac{1}{1002} + \frac{1}{1003} + . . . . + \frac{1}{1250} > \frac{1}{5}$

Ví dụ 3: Cho $a, b, c \in N^{*}$ và $A = \frac{a}{a + b} + \frac{b}{b + c} + \frac{c}{a + c} .$ Chứng tỏ 1 < A < 2.

Giải

Vì $\frac{a}{a + b} > \frac{a}{a + b + c}; \frac{b}{b + c} > \frac{b}{a + b + c}; \frac{c}{a + c} > \frac{c}{a + b + c}$

Vậy $A > \frac{a}{a + b + c} + \frac{b}{a + b + c} + \frac{c}{a + b + c} = \frac{a + b + c}{a + b + c} = 1 \Rightarrow A > 1$

Xét $B = \frac{b}{a + b} + \frac{c}{b + c} + \frac{a}{a + c},$ tương tự trên ta suy ra B > 1.

Ta có $A + B = (\frac{a}{a + b} + \frac{b}{a + b}) + (\frac{b}{b + c} + \frac{c}{b + c}) + (\frac{c}{a + c} + \frac{a}{a + c}) = 3$

Vì B > 1 nên A < 2. Vậy 1 < A < 2.

Bài tập minh họa

Bài 1: Chứng tỏ:

$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{36} + \frac{1}{45} = \frac{3}{10} .$

Giải

$\begin{array}{l} \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = 2 (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}); \\ \frac{1}{15} = \frac{2}{30} = 2 (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}); \\ \frac{1}{21} = \frac{2}{42} = 2 (\frac{1}{6} - \frac{1}{7}) . \end{array}$

Do đó

$\frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{28} + \frac{1}{36} + \frac{1}{45} = 2 (\frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + . . . + \frac{1}{9} - \frac{1}{10})$

$= 2 (\frac{1}{4} - \frac{1}{10}) = 2 (\frac{5}{20} - \frac{2}{20}) = 2. \frac{3}{20} = \frac{3}{10}$

Bài 2: Tính $A = \frac{11}{1.3} + \frac{11}{3.5} + . . . + \frac{11}{97.99}$

Giải

$A = \frac{11}{2} (\frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} + . . . . + \frac{2}{97.99}) = \frac{11}{2} [(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + . . . + (\frac{1}{91} - \frac{1}{99})]$