Bài 8: Tính chất cơ bản của phép cộng phân số

Tương tự phép cộng số nguyên, phép cộng phân số có các tính chất cơ bản sau:

a) Tính chất giao hoán: \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}\)

b) Tính chất kết hợp: \(\left( {\frac{a}{b} + \frac{c}{d}} \right) + \frac{p}{q} = \frac{a}{b} + \left( {\frac{c}{d} + \frac{p}{q}} \right)\)

c) Cộng với số 0: \(\frac{a}{b} + 0 = 0 + \frac{a}{b} = \frac{a}{b}\)

Ví dụ 1: Tính tổng \(A = \frac{{ - 3}}{4} + \frac{2}{7} + \frac{{ - 1}}{4} + \frac{3}{5} + \frac{5}{7}\)

Giải

\(A = \frac{{ - 3}}{4} + \frac{2}{7} + \frac{{ - 1}}{4} + \frac{3}{5} + \frac{5}{7}\) (tính giao hoán)

\( = \left( {\frac{{ - 3}}{4} + \frac{{ - 1}}{4}} \right) + \left( {\frac{2}{7} + \frac{5}{7}} \right) + \frac{3}{5}\) (tính chất kết hợp)

\( = ( - 1) + 1 + \frac{3}{5}\)

\( = 0 + \frac{3}{5} = \frac{3}{5}\) (cộng với số 0)

Ví dụ 2: Tính nhanh

\(\frac{1}{2} + \frac{{ - 1}}{3} + \frac{1}{4} + \frac{{ - 1}}{5} + \frac{1}{6} + \frac{{ - 1}}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{7} + \frac{{ - 1}}{6} + \frac{1}{5} + \frac{{ - 1}}{4} + \frac{1}{3} + \frac{{ - 1}}{2}\)

Giải

\(\left( {\frac{1}{2} + \frac{{ - 1}}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{3} + \frac{{ - 1}}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{4} + \frac{{ - 1}}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{{ - 1}}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{6} + \frac{{ - 1}}{6}} \right) + \left( {\frac{1}{7} + \frac{{ - 1}}{7}} \right) + \frac{1}{8} = \frac{1}{8}\)

Ví dụ 3: Vòi nước A chảy vào một bể không có nước trong 4 giờ thì đầy. Vòi nước B chảy đầy bể ấy trong 5 giờ. Hỏi

a. Trong 1 giờ, mỗi vòi chảy được lượng nước bằng mấy phần bể?

b. Trong1 giờ, cả hai vòi cùng chảy thì được lượng nước bằng mấy phần bể?

Giải

a. 1 giờ vòi A chảy được \(\frac{1}{4}\) bể, vòi B chảy được \(\frac{1}{5}\)  bể

b. 1 giờ cả  hai vòi chảy được \(\frac{9}{{20}}\) bể.

Bài 1: Tính nhanh

\(A = \frac{5}{{13}} + \frac{{ - 5}}{7} + \frac{{ - 20}}{{41}} + \frac{8}{{13}} + \frac{{ - 21}}{{41}}\)

\(B = \frac{{ - 5}}{9} + \frac{8}{{15}} + \frac{{ - 2}}{{11}} + \frac{4}{{ - 9}} + \frac{7}{{15}}\)

Giải

\(A = \left( {\frac{5}{{13}} + \frac{8}{{13}}} \right) + \left( {\frac{{ - 20}}{{41}} + \frac{{ - 21}}{{41}}} \right) + \frac{{ - 5}}{7} = 1 + ( - 1) + \frac{{ - 5}}{7} = \frac{{ - 5}}{7}\)

\(B = \left( {\frac{{ - 5}}{9} + \frac{4}{{ - 9}}} \right) + \left( {\frac{8}{{15}} + \frac{7}{{15}}} \right) + \frac{{ - 2}}{{11}} = ( - 1) + 1 + \frac{{ - 2}}{{11}} = \frac{{ - 2}}{{11}}\)

Bài 2: Cho \(S = \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{13}} + \frac{1}{{14}} + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{17}} + \frac{1}{{18}} + \frac{1}{{19}} + \frac{1}{{20}}\)

Hãy so sánh S và \(\frac{1}{2}\)

Giải

Mỗi phân số \(\frac{1}{{11}},\frac{1}{{12}},...,\frac{1}{{19}}\) đều lớn hơn \(\frac{1}{{20}}\)

Do đó \(S > \frac{1}{{20}} + \frac{1}{{20}} + ... + \frac{1}{{20}}\) (có 10 phân số)

\( \Rightarrow S > \frac{{10}}{{20}} = \frac{1}{2}\)

Bài 3: Cho tổng \(A = \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}\)

Chứng tỏ rằng A > 1

Giải

 \(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{10}} + \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{99}} + \frac{1}{{100}}} \right)\\ > \,\,\frac{1}{{10}}\, + \,\left( {\frac{1}{{100}} + \frac{1}{{100}} + ... + \frac{1}{{100}}} \right) = \frac{1}{{10}} + \frac{{90}}{{100}} = 1\end{array}\)

Vậy A > 1