Bài 8: Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{a - c}}{{b - d}}\,\,\,(b \ne d\,\,va\,\,b \ne  - d)\)

• Mở rộng:

Từ dãy tỉ số bằng nhau: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f}\) ta suy ra:

\(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \frac{{a - c - e}}{{b - d - f}}\,\)(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

• Khi các dãy tỉ số: \(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5},\) ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.
• Ta cũng viết: a : b : c = 2 : 3 : 5.

Ví dụ 1: 

Tìm x, y biết:

a. \(\frac{x}{y} = \frac{{17}}{3}\) và \(x + y =  - 60\).

b. \(\frac{x}{{19}} = \frac{y}{{21}}\) và \(2x - y = 34\).

c. \(\frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{16}}\) và \({x^2} + {y^2} = 100\).

Hướng dẫn giải:

a. \(\frac{x}{y} = \frac{{17}}{3}\) và \(x + y =  - 60\)

\( \Rightarrow \frac{x}{7} = \frac{y}{{13}} = \frac{{x + y}}{{7 + 13}} = \frac{{ - 60}}{{20}} =  - 3\).

Do đó:

 \(\begin{array}{l}\frac{x}{7} =  - 3 \Rightarrow x =  - 21\\\frac{y}{{13}} =  - 3 \Rightarrow y =  - 39\end{array}\).

b. \(\frac{x}{{19}} = \frac{y}{{21}}\) và \(2x - y = 34\)

\(\frac{x}{{19}} = \frac{y}{{21}} \Rightarrow \frac{{2x}}{{38}} = \frac{y}{{21}} = \frac{{2x - y}}{{38 - 21}} = \frac{{34}}{{17}} = 2\).

Do đó: \(\frac{x}{9} = 2 \Rightarrow x = 38\).

\(\frac{y}{{21}} = 2 \Rightarrow y = 42\).

c. \(\frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{16}}\) và \({x^2} + {y^2} = 100\).

\(\frac{{{x^2}}}{9} = \frac{{{y^2}}}{{16}} = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{19 + 6}} = \frac{{100}}{{25}} = 4\).

Do đó: \(\frac{{{x^2}}}{9} = 4 \Rightarrow {x^2} = 36 \Rightarrow x =  \pm 6\).

\(\frac{{{y^2}}}{{16}} = 4 \Rightarrow {y^2} = 64 \Rightarrow y =  \pm 8\).

Ví dụ 2:

Chứng minh rằng nếu \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) thì:

a. \(\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5c + 3d}}{{5c - 3d}}\).          

b. \(\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}} = \frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}\).

Hướng dẫn giải:

a. Vì \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nên \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\).

Mặt khác \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{{5a}}{{5c}} = \frac{{3b}}{{3d}} = \frac{{5a + 3b}}{{5c + 3d}} = \frac{{5a - 3d}}{{5c - 3d}}\).

Vậy \(\frac{{5a + 3b}}{{5a - 3b}} = \frac{{5a - 3b}}{{5c - 3d}}\).

b. Vì \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nên \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\).

Vậy \(\frac{a}{c}.\frac{a}{c} = \frac{b}{d} = \frac{b}{d} = \frac{a}{c}.\frac{b}{d}\) hay \(\frac{{{a^2}}}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{ab}}{{cd}}\).

Mặt khác ta lại có:

\(\frac{{7{a^2}}}{{7{c^2}}} = \frac{{11{a^2}}}{{11{c^2}}} = \frac{{8{b^2}}}{{8{d^2}}} = \frac{{3ab}}{{3cd}} = \frac{{7{a^2} + 3ab}}{{7{c^2} + 3cd}} = \frac{{11{a^2} - 8{b^2}}}{{11{c^2} - 8d}}\)

Do đó ta có: \(\frac{{7{a^2} + 3ab}}{{11{a^2} - 8{b^2}}} = \frac{{7{c^2} + 3cd}}{{11{c^2} - 8{d^2}}}\).

Ví dụ 3:

Cho bốn số khác 0 là \({a_1},{a_2},{a_3},{a_4}\) thoả mãn \({a_2}^2 = {a_1}a{}_{3,}{a_3}^2 = {a_2}{a_4}\). Chứng minh: \(\frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\)

Hướng dẫn giải:

Từ giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}a_2^2 = {a_1}.{a_3} \Rightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}}\\a_3^2 = {a_2}.{a_4} \Rightarrow \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\end{array}\).

Nên \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{a_2}}}{{{a_3}}} = \frac{{{a_3}}}{{{a_4}}}\).

Suy ra: \(\frac{{a_1^3}}{{a_2^3}} = \frac{{a_2^3}}{{a_3^3}} = \frac{{a_3^3}}{{a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}}.\frac{{{a_2}}}{{{a_3}}}.\frac{{{a_3}}}{{{a_4}}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\).

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}}{{a_2^3 + a_3^3 + a_4^3}} = \frac{{{a_1}}}{{{a_4}}}\).

Bài 1: 

Biết \(\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c}\). Chứng minh rằng: \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\frac{{bz - cy}}{a} = \frac{{cx - az}}{b} = \frac{{ay - bx}}{c} = \frac{{abz - acy}}{{{a^2}}} = \frac{{bcx - abz}}{{{b^2}}} = \frac{{acy - bcx}}{{{c^2}}}\)

\( = \frac{{abz - acy + bcx - abz + acy - bcx}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 0\)

Suy ra:

• \(\frac{{bz - cy}}{a} = 0\) nên \(bz - cy = 0 \Rightarrow bz = cy\) hay \(\frac{b}{y} = \frac{c}{z}\) (1).
• \(\frac{{cx - {\rm{az}}}}{b} = 0\) nên \(cx - az = 0 \Rightarrow cx = az\) hay \(\frac{c}{z} = \frac{a}{x}\)  (2).

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}.\)

Bài 2:

Ba vòi nước cùng chảy vào một hồ có dung tích \(15,8{m^3}\) từ lúc không có nước cho tới khi đầy hồ. Biết rằng thời gian để chảy được \(1{m^3}\) nước của vòi thứ nhất là 3 phút, vòi thức hai là 5 phút và vòi thứ ba là 8 phút. Hỏi mỗi vòi chảy được bao nhiêu nước vào hồ?

Hướng dẫn giải:

Gọi lượng nước các vòi đã chảy vào hồ là x, y, z mét khối nước. Thời gian mà các vòi chảy vào hồ 3x, 5y, 8z. Vì thời gian chảy của các vòi là như nhau nên ta có:

\(3x = 5y = 8z \Rightarrow \frac{x}{5} = \frac{y}{3};\,\,\frac{y}{8} = \frac{5}{5} \Rightarrow \frac{{8x}}{{40}},\,\frac{{3y}}{{24}} = \frac{{3z}}{{15}}\)

\( \Rightarrow \frac{x}{{40}} = \frac{y}{{24}} = \frac{z}{{15}} = \frac{{x + y + z}}{{40 + 24 + 15}} = \frac{{15,8}}{{79}} = 0,2\)

Từ đó ta có: \(x = 8{m^3};y = 4,8{m^3};z = 3{m^3}\).

Chú ý: Ta cũng có thể nói rằng: Trong cùng một thời gian, lượng nước chảy được mỗi vòi tỉ lệ với lượng nước mỗi vòi chảy được trong một đơn vị thời gian, nghĩa là: \(x:y:z = \frac{1}{3}:\frac{1}{5}:\frac{1}{8}\) tức là: \(\frac{x}{{\frac{1}{3}}} = \frac{y}{{\frac{1}{5}}} = \frac{z}{{\frac{1}{8}}}\)

Từ đây ta tìm được x, y, z.

Bài 3:

Ba học sinh A, B, C có số điểm mười tỉ lệ với các số 2; 3; 4. Biết rằng tổng số điểm 10 của A và C hơn B là 6 điểm 10. Hỏi mỗi em có bao nhiêu điểm 10?

Hướng dẫn giải:

Gọi a, b, c là số điểm 10 của ba học sinh A, B, C ta có:

\(\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = \frac{{a + c - b}}{{2 + 4 - 3}} = \frac{6}{3} = 2\).

Do đó: \(\frac{a}{2} = 2 \Rightarrow a = 4\)

\(\begin{array}{l}\frac{b}{3} = 2 \Rightarrow b = 6\\\frac{c}{4} = 2 \Rightarrow c = 8\end{array}\).

Vậy:

Học sinh A có 4 điểm 10.

Học sinh B có 6 điểm 10.

Học sinh C có 8 điểm 10.

Qua bài giảng Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để làm một số bài tập

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 7 Bài 8 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Cho tỉ lệ thức \(\frac{{3{\rm{x}} - y}}{{x + y}} = \frac{3}{4}\). Tính giá trị của tỉ số \(\frac{x}{y}\)?

  • A. \(\frac{9}{7}\)
  • B. \(\frac{8}{7}\)
  • C. \(\frac{7}{8}\)
  • D. \(\frac{7}{9}\)

• Câu 2:

  Tìm x, y biết \(\frac{{{x^2}}}{16} = \frac{{{y^2}}}{{9}}\) và  \({x^2} + {y^2} = 100\)

  • A. \(x=8; y=6\)
  • B. \(x=-8; y=6\)
  • C. \(x = \pm 6;\,\,y = \pm 8\)
  • D. \(x = \pm 8;\,\,y = \pm 6\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 7 Bài 8 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Bài tập 54 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 55 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 56 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 57 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 58 trang 30 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 59 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 60 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 61 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 62 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 63 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 64 trang 31 SGK Toán 7 Tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!