Bài 3: Nhân, chia số hữu tỉ

a) Nhân hai số hữu tỉ

- Muốn nhân hai số hữu tỉ cùng dấu, ta nhân giá trị tuyệt đối của hai số hữu tỉ đó với nhau và đặt dấu “+” trước kết quả

- Muốn nhân hai số hữu tỉ khác dấu, ta nhân giá trị tuyệt đối của hai số hữu tỉ đó với nhau và đặt dấu “-“ trước kết quả.

\(x.y = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| x \right|.\left| y \right|\,\,\,\,\,\,neu\,\,x,\,y\,\,cung\,\,dau\\ - \left( {\left| x \right|.\left| y \right|} \right)\,\,\,neu\,\,x,\,y\,\,trai\,\,dau\end{array} \right.\)

b) Chia hai số hữu tỉ

- Số nghịch đảo:

Mọi số hữu tỉ \(x \ne 0\) đều có số nghịch đảo, kí hiệu là \({x^{ - 1}}\) sao cho:

\(x.{x^{ - 1}} = 1\)

\(x = \frac{a}{b} \Rightarrow {x^{ - 1}} = \frac{b}{a}\)

- Muốn chi hai số hữu tỉ, ta lấy số hữu tỉ thứ nhất nhân với số nghịch đảo của số hữu tỉ thứ hai:

\(x:y = x.{y^{ - 1}}\) với \(x = \frac{a}{b},y = \frac{c}{d}\,\,(b \ne 0,c \ne 0,d \ne 0).\)

\( \Rightarrow x:y = \frac{a}{b} :\frac{c}{d} = \frac{a}{b}.\frac{d}{c}\)

\( \Rightarrow x:y = \frac{{a.d}}{{b.c}}\)

a) Tính chất phân phối của phép nhân

Phép nhân các số hữu tỉ có tính chất phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

\(\begin{array}{l}x(y + z) = xy + xz;\\x(y - z) = xy - xz.\end{array}\)

Người ta áp dụng tính chất phân phối để:

• Khai triển một tích

Ví dụ 1:

\((x + y)(a + b) = x(a + b) + y(a + b)\)

\(\begin{array}{l} = x.a + x.b + y.a + y.b\\{\rm{ = ax + ay + bx + by}}{\rm{.}}\end{array}\)

• Đặt thừa số chung

Nếu một tổng đại số của nhiều số mà các số hạng của nó có một thừa số chung, thì ta có thể đưa thừa số chung này ra ngoài thành thừa số chung của tổng.

Ví dụ 2:

\(A = ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)\)

\( \Rightarrow A = (a + b)(x + y)\)

Hoặc: \(A = ax + bx + ay + by = ax + ay + bx + by\)

\( \Rightarrow A = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)\)

b) Nếu một tích có một thừa số bằng 0 thì tích bằng 0 và ngược lại khi một tích bằng 0 thì ít nhất phải có một thừa số bằng 0.

- Từ quy tắc nhân hai số hữu tỉ ta mở rộng cho tích của nhiều số hữu tỉ và đi đến nhận xét sau:

Nếu trong một tích của các số hữu tỉ khác 0 mà số các thừa số âm là một số chẵn thì tích có dấu “+” và nếu số các thừa số âm là một số lẻ thì tích mang dấu “-“.

c) Chia một tổng hoặc một hiệu cho một số

Ta có: \(\frac{{x + y}}{z} = \frac{x}{z} + \frac{y}{z};\,\,\)  \(\frac{{x - y}}{z} = \frac{x}{z} - \frac{y}{z}\)

Ví dụ 3:

Tính \(A = \frac{{\frac{{ - 11}}{2} + \frac{{\frac{{ - 5}}{3}}}{{1 - \frac{4}{3}}}}}{{\frac{3}{5} - \frac{{ - \frac{2}{5}}}{{\frac{4}{5} - \frac{2}{3}}}}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta tính phần tử số của A trước:

\(1 - \frac{4}{3} =  - \frac{1}{3}\)                   \(\frac{{ - \frac{5}{3}}}{{ - \frac{1}{3}}} =  - \frac{5}{3}.\left( {\frac{-3}{1}} \right) = 5\)            \( - \frac{{11}}{2} + 5 =  - \frac{1}{2}\)

Tiếp đến, ta tính phần mẫu số của A:

\(\frac{4}{5} - \frac{2}{3} = \frac{2}{{15}}\)              \(\frac{{ - \frac{2}{5}}}{{\frac{2}{{15}}}} =  - \frac{2}{5}.\frac{{15}}{2} =  - 3\)        \(\frac{3}{5} - ( - 3) = \frac{3}{5} + 3 = \frac{{18}}{5}.\)

Vậy \(A = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{\frac{{18}}{5}}} =  - \frac{1}{2}.\frac{5}{{18}} =  - \frac{5}{{36}}.\)

---

Ví dụ 4:

Tính \(B = \frac{{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}}}}{{1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \frac{1}{{16}}}}\).

Hướng dẫn giải:

Ta nhân cả tử và mẫu của B với 16 ta được:

\(B = \frac{{16 + 8 + 4 + 2 + 1}}{{16 - 8 + 4 - 2 + 1}} = \frac{{31}}{{11}}\).

---

Ví dụ 5:

Khai triển biểu thức \(A = (2x + 3y)(5x - 2y).\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(A = (2x + 3y)(5x - 2y) = 2x(5x - 2y) + 3y(5x - 2y)\)

\( = 10{x^2} - 4xy + 15xy - 6{y^2} = 10{x^2} + 11xy - 6{y^2}.\)

---

Ví dụ 6:

Tính giá trị biểu thức:

\(A = {\rm{ax}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{by}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{bx}}\,{\rm{ + }}\,{\rm{ay}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{x}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{y}}\)

với \(a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{2},x = \frac{{ - 3}}{5},y = \frac{2}{7}\) theo 2 cách:

a. Thế trực tiếp.

b. Đặt thừa số chung trước khi thế.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Thế trực tiếp các giá trị của a, b, x, y vào biểu thức A, ta có:

\(A = \frac{1}{2}.\left( { - \frac{3}{5}} \right) + \frac{1}{2}.\frac{2}{7} + \frac{1}{2}.\left( { - \frac{3}{5}} \right) + \frac{1}{2}.\frac{2}{7} - \left( { - \frac{3}{5}} \right) - \frac{2}{7}\)

\( \Rightarrow A =  - \frac{3}{{10}} + \frac{1}{7} - \frac{3}{{10}} + \frac{1}{7} + \frac{3}{5} - \frac{2}{7}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A =  - \frac{3}{{10}} - \frac{3}{{10}} + \frac{3}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{2}{7} = \frac{{ - 3 - 3 + 6}}{{10}} + 0\\ \Rightarrow A = 0\end{array}\)

Câu b:

Ta đặt thừa số chung trước khi thay thế các giá trị bằng số:

\(A = {\rm{ax}}\,\,{\rm{ + }}\,\,{\rm{by}}\,\,{\rm{ + }}\,\,{\rm{bx}}\,\,{\rm{ + }}\,\,{\rm{ay}}\,\,{\rm{ - }}\,\,{\rm{x}}\,\,{\rm{ - }}\,\,{\rm{y}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = {\rm{ax}}\,\,\,{\rm{ + }}\,\,{\rm{ay}}\,\,{\rm{ + }}\,\,{\rm{bx}}\,\,{\rm{ + }}\,\,{\rm{by}}\,\,{\rm{ - }}\,\,{\rm{(x + y)}}\\ \Rightarrow A = a(x + y) + b(x + y) - (x + y)\\ \Rightarrow A = (x + y)(a + b - 1)\end{array}\)

Thế các giá trị bằng số vào kết quả này, ta có:

\(A = \left( { - \frac{3}{5} + \frac{2}{7}} \right)\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1} \right) = \left( { - \frac{3}{5} + \frac{2}{7}} \right).0\)

\( \Rightarrow A = 0.\)

Chú ý:

Khi giải các bài tập về tính toán giá trị biểu thức ta nên thực hiện các phép biến đổi (nếu có thể):

- Rút gọn

- Đặt thừa số chung.

Và chỉ thay các giá trị bằng số vào kết quả cuối cùng bằng cách này, nhiều khi ta tránh được cả tính toán phức tạp, giảm bớt được công sức và nhất là tránh được nhầm lẫn.

---

Ví dụ 7: 

Chứng minh các bất đẳng thức:

a. \((a + b)(a + b) = {a^2} + 2ab + {b^2}\)

\((a - b)(a - b) = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

\((a - b)(a + b) = {a^2} - {b^2}\)

b. \((x + y)(x + z) = {x^2} + (y + z)x + yz.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\((a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)\,\, = {a^2} + ab + ba + {b^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}.\)

\((a - b)(a - b) = a(a - b) - b(a - b) = {a^2} - ab - ba + {b^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)

\((a - b)(a + b) = a(a + b) - b(a + b) = {a^2} + ab - ba - {b^2} = {a^2} - {b^2}.\)

Câu b:

\((x + y)(x + z) = x(x + z) + y(x + z) = {x^2} + xz + {\rm{yx}} + yz = {x^2} + x(y + z) + yz.\)

Bài 1: 

Thực hiện các phép nhân:

\(\frac{2}{5}.\left( {\frac{{ - 15}}{4}} \right); - 2\frac{1}{5}.\left( {\frac{{ - 9}}{{11}}} \right); - 3,2.\frac{5}{{72}};\frac{{1995}}{{61}}.0\)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}\frac{2}{5}.\left( {\frac{{ - 15}}{4}} \right) = \frac{{2.( - 15)}}{{5.4}} = \frac{{ - 3}}{2}\\ - 2\frac{1}{5}.\left( {\frac{{ - 9}}{{11}}} \right) = \frac{{ - 11}}{5}.\frac{9}{{11}} = \frac{9}{5}\\ - 3,2.\frac{5}{{72}} = \frac{{ - 32}}{{10}}.\frac{5}{{72}} = \frac{{ - 2}}{9}\\\frac{{1995}}{{61}}.0 = 0\end{array}\)

---

Bài 2: 

Tính

a. \(\left( {2\frac{1}{4} - 1\frac{1}{3}} \right)\left( {2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{4}} \right)\) .

b. \(\left( {\frac{{17}}{5} + \frac{3}{4}} \right).\left( {\frac{{ - 1}}{2} + \frac{{ - 4}}{3}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(\left( {2\frac{1}{4} - 1\frac{1}{3}} \right)\left( {2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{4}} \right) = \left( {\frac{9}{4} - \frac{4}{3}} \right)\left( {\frac{7}{3} - \frac{5}{4}} \right) = \frac{{27 - 16}}{{12}}.\frac{{28 - 15}}{{12}} = \frac{{11}}{{12}}.\frac{{13}}{{12}} = \frac{{143}}{{144}}\)

Câu b:

\(\left( {\frac{{17}}{5} + \frac{3}{4}} \right).\left( {\frac{{ - 1}}{2} + \frac{{ - 4}}{3}} \right) = \frac{{68 + 15}}{{20}} - \frac{{ - 3 + ( - 8)}}{6} = \frac{{83}}{{20}}.\frac{{( - 11)}}{6} = \frac{{ - 913}}{{120}}\).

---

Bài 3: 

Thực hiện phép tính

\(\frac{1}{3}.\left( {\frac{{ - 9}}{8}} \right).\frac{{12}}{{11}}:\left( { - 2\frac{8}{{11}}} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Trước hết ta đổi: \( - 2\frac{8}{{11}} = \frac{{ - 30}}{{11}}\)

Ta có: \(\frac{1}{3}.\frac{{ - 9}}{8}.\frac{{12}}{{11}}:\frac{{ - 30}}{{11}} = \frac{1}{3}.\frac{{ - 9}}{8}.\frac{{12}}{{11}}.\frac{{11}}{{ - 30}} = \frac{3}{{20}}\).

Qua bài giảng Nhân, chia số hữu tỉ này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như: 

• Quy tắc nhân, chia các số hữu tỉ

• Nắm rõ thứ tự thực hiện các phép tính

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 7 Bài 3 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Số hữu tỉ nào sau đây không phải là \(- \frac{{28}}{{15}}\) ?

  • A. \( - \frac{2}{5}.\frac{{14}}{3}\)
  • B. \(\frac{1}{{15}}.28\)
  • C. \(\frac{{2.8}}{{3.5}}\)
  • D. \(\frac{{28}}{3}.\frac{1}{5}\)

• Câu 2:

  Cho \(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}:x = \frac{2}{5}\). Giá trị của x là:

   

  • A. \(- \frac{3}{2}\)
  • B. \( - \frac{5}{7}\)
  • C. \(- \frac{{15}}{7}\)
  • D. \(\frac{8}{7}\)

• Câu 3:

  Thương của phép chia số hữu tỉ âm nhỏ nhất viết bằng ba chữ số 1 cho số hữu tỉ âm lớn nhất viết bằng ba chữ số 1

  • A. 1211
  • B. 2211
  • C. 1212
  • D. 1221

• Câu 4:

  Cho \(A = - 3 + \frac{1}{{1 + \frac{1}{3}}}\)  Giá trị của A là?

  • A. -5
  • B. \( - \frac{9}{4}\)
  • C. \(\frac{3}{4}\)
  • D. \( - \frac{{13}}{4}\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 7 Bài 3 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Bài tập 11 trang 12 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 12 trang 12 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 13 trang 12 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 14 trang 12 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 15 trang 13 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 16 trang 13 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 10 trang 8 SBT Toán 7 Tập 1

Bài tập 11 trang 8 SBT Toán 7 Tập 1

Bài tập 12 trang 9 SBT Toán 7 Tập 1

Bài tập 13 trang 9 SBT Toán 7 Tập 1

Bài tập 14 trang 9 SBT Toán 7 Tập 1

Bài tập 15 trang 19 SBT Toán 7 Tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!