Bài 5: Lũy thừa của một số hữu tỉ

Cho \(x \in Q\) và \(n \in \mathbb{N}^*\). Luỹ thừa bậc n của x là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng x.

\({x^n} = \underbrace {x.x.x...x}_{n\,\,\,thua\,\,so}\) với \(x \in Q,n \in \mathbb{N}^*\).

Chú ý: Ta quy ước \({x^0} = 1,x \in Q\) và \(x \ne 0.\)

• \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\).
• \({x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\) với \(x \ne 0,\,m \ge n.\)

• \({(x.y)^n} = {x^n}.{y^n}\)
• \({\left( {\frac{x}{y}} \right)^n} = \frac{{{x^n}}}{{{y^n}}}\) với \(y \ne 0\)
• \({({x^m})^n} = {x^{m.n}}\)

Chú ý:

a) Người ta cũng xét các luỹ thừa với số mũ nguyên âm và quy ước:

\({x^{ - n}} = \frac{1}{{{x^n}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x \ne 0)\)

Trong thực tế, người ta thường sử dụng luỹ thừa nguyên âm của 10 để viết các số nhỏ.

Ví dụ: \(0,0001 = \frac{1}{{10000}} = \frac{1}{{{{10}^4}}} = {10^{ - 4}}\)

b) Từ định nghĩa của luỹ thừa và theo quy tắc nhân các số hữu tỉ, ta suy ra:

• Luỹ thừa bậc chẵn của một số hữu tỉ (âm hoặc dương) luôn là một số dương
• Luỹ thừa bậc lẻ của một số hữu tỉ âm là một số âm. Luỹ thừa bậc lẻ của một số hữu tỉ dương là một số dương.

Ví dụ 1:

Tính \(A = {\left[ {{3^2}.{{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^3}} \right]^2}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(A = {3^4}.{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^6} = 81.\frac{1}{{64}} = \frac{{81}}{{64}}\).

Hoặc có thể tính như sau:

\(A = {\left[ {9.\left( { - \frac{1}{8}} \right)} \right]^2} = {\left( { - \frac{9}{8}} \right)^2} = \frac{{81}}{{64}}\).

Ví dụ 2:

Chứng minh đẳng thức \({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\).

Áp dụng, tính \(A = {(2{x^3} + 3{y^2})^2}.\)

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Ta có \({(a + b)^2} = (a + b)(a + b)\)

Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân các số hữu tỉ đối với phép cộng, ta có:

\((a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = {a^2} + ab + ba + {b^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\).

Cách 2: Sử dụng cách đặt thừa số chung và đi từ vế phải, ta có:

\({a^2} + 2ab + {b^2} = {a^2} + ab + ab + {b^2} = a(a + b) + b(a + b) = (a + b)(a + b) = {(a + b)^2}\)

Áp dụng: \(A = {(2{x^3} + 3{y^2})^2} = {(2{x^3})^2} + 2(2{x^3})(3{y^2}) + {(3{y^2})^2}\)

\( \Rightarrow A = 4{x^6} + 12{x^3}{y^2} + 9{y^4}.\)

Ví dụ 3:

Tính \(A = \frac{{0,00018}}{{0,0000012}}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta sử dụng luỹ thừa với số mũ âm, để có:

\(0,00018 = {18.10^{ - 5}}\)

\(0,0000012 = {12.10^{ - 7}}\)

Và được \(A = \frac{{{{18.10}^{ - 5}}}}{{{{12.10}^{ - 7}}}} = \frac{{18}}{{12}}.({10^{ - 5}}{.10^7}) \Rightarrow A = \frac{{18}}{{12}}{.10^2} = 150.\)

Bài 1:

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: \(2.32 \ge {2^n} > 8\).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\begin{array}{l}2.32 = {2.2^5} = {2^6}\\8 = {2^3}\end{array}\).

Nên đề bài đã cho trở thành:

\(\begin{array}{l}{2^6} \ge {2^n} > {2^3}\\ \Rightarrow 6 \ge n > 3\\ \Rightarrow n \in \left\{ {4;\,\,5;\,\,6} \right\}\end{array}\).

Bài 2:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì: \({3^{n + 2}} - {2^{n + 2}} + {3^n} - {2^n}\) chia hết cho 10.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{3^{n + 2}} - {2^{n + 2}} + {3^n} - {2^n}\\ = {3^{n + 2}} + {3^n} - \left( {{2^{n + 2}} + {2^n}} \right)\\ = {3^n}({3^2} + 1) - {2^n}({2^2} + 1)\\ = {3^n}.10 - {2^n}.5 = {3^n}.10 - {2^{n - 1}}.10\\ = ({3^n} - {2^{3 - n}}).10\,\,\, \vdots \,\,10\end{array}\).

Bài 3:

Tìm một số 5 chữ số, là bình phương của một số tự nhiên và được viết bằng các chữ số 0; 1; 2; 2; 2

Hướng dẫn giải:

Bình phương của một số tự nhiên không thể tận cùng bằng 2 hay 0. Vậy số phải tìm chỉ có thể tận cùng bằng 1. Chữ số 0 lại không thể ở vị trí hàng chục nghìn. Do đó ta chỉ cần xét ba số 22201, 22021, 20221.

Trong ba số này chỉ có một số thoả mãn điều kiện của đề bài: \(22201{\rm{ }} = {\rm{ }}{149^2}\).

Vậy số phải tìm là 22201.

Qua bài giảng Lũy thừa của một số hữu tỉ này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Nắm vững các công thức liên quan đến lũy thừa để làm được những bài tập trong phần này

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 7 Bài 5 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Tích của \({3^4}{.3^6}\) bằng:

  • A. \(3^2\)
  • B. \(9^2\)
  • C. \({3^{10}}\)
  • D. \(9^6\)

• Câu 2:

  Chọn câu trả lời đúng trong các câu sau:

  \({a^n}:{a^2}\) bằng

  • A. \({a^{n - 2}}\)
  • B. \({a^{n + 2}}\)
  • C. \({a^{2n}}\)
  • D. \({\left( {a:a} \right)^{n - 2}}\)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 7 Bài 5 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Bài tập 27 trang 19 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 28 trang 19 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 29 trang 19 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 30 trang 19 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 31 trang 19 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 32 trang 19 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 33 trang 20 SGK Toán 7 Tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!