Bài 11: Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai

Số vô tỉ là số viết được dưới dạng số thập phân vô hạn, không tuần hoàn. Tập hợp các số vô tỉ được kí hiệu là I

Định nghĩa: Căn bậc hai có một số a không âm là số x sao cho \({x^2} = a\)

* Số dương a có đúng hai căn bậc hai: một số dương kí hiệu là \(\sqrt a \), một số âm kí hiệu là \( - \sqrt a \)

* Số 0 chỉ có một căn bậc hai là số 0 viết là \(\sqrt 0  = 0\)

Ví dụ 1:

Trong các số sau, số nào có căn bậc hai? Tìm căn bậc hai của chúng nếu có: \(0; - 16;\,\,{3^2} + \,{4^2};\,{5^2} - {4^2};{( - 5)^2}\)

Hướng dẫn giải:

Một số không âm mới có căn bậc hai. Do đó trong các số đã cho các số có căn bậc hai là \(0;{3^2} + \,{4^2};\,{5^2} - {4^2};{( - 5)^2}\)

Căn bậc hai của chúng ta là:

Với số 0: \(\sqrt 0  = 0\)

Với số \({3^2} + \,{4^2} = 9 + 16 = 25 = {5^2}\) nên \(\sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5; - \sqrt {{3^2} + {4^2}}  =  - 5\)

Với số \({5^2} - {4^2} = 25 - 16 = 9 = {3^2}\) nên \(\sqrt {{5^2} - {4^2}}  = 3; - \sqrt {{5^2} - {4^2}}  =  - 3\)

Với số \(\sqrt {{{( - 5)}^2}}  = 5; - \sqrt {{{( - 5)}^2}}  =  - 5\)

Ví dụ 2:

Các số sau đây là căn bậc hai của số nào?

\(2;\, - 5;\,\,\,25;\,\,0;\,\,\sqrt 5 \)

Hướng dẫn giải:

2 là căn bậc hai của 4

-5 là căn bậc hai của 25

25 là căn bậc hai của 625

0 là căn bậc hai của 0

\(\sqrt 5 \) là căn bậc hai của  5

Ví dụ 3:

Tìm căn bậc hai không âm của các số sau:

a. 25           b. 2500               c. \({\left( { - 5} \right)^2}\)   d. 0,49

e. 0,0121            g. 10000

Hướng dẫn giải:

a. \(\sqrt {25}  = 5\)                b. \(\sqrt {2500}  = 50\)                   c. \(\sqrt {{{( - 5)}^2}}  = \sqrt {25}  = 5\)

d. \(\sqrt {0,49}  = 0,7\)          e. \(\sqrt {0,0121}  = 0,11\)              g.\(\sqrt {10000}  = 100\)

Bài 1:

Tính:

a. \(\sqrt {0,04}  + \sqrt {0,25} \)               b. \(5,4 + 7\sqrt {0,36} \)

c.\(0,5.\sqrt {100}  - \sqrt {\frac{4}{{25}}} \)               d. \(\left( {\sqrt {1\frac{9}{{16}}}  - \sqrt {\frac{9}{{16}}} } \right):5\)

Hướng dẫn giải:

a. \(\sqrt {0,04}  + \sqrt {0,25}  = \sqrt {0,{2^2}}  + \sqrt {0,{5^2}}  = 0,2 + 0,5 = 0,7\)

b. \(5,4 + 7\sqrt {0,36}  = 5,4 + 6\sqrt {0,{6^2}}  = 5,4 + 7.0,6 = 5,4 + 4,2 = 9,6\)

c. \(0,5.\sqrt {100}  - \sqrt {\frac{4}{{25}}}  = 0,5.\sqrt {{{10}^2}}  - \sqrt {{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^2}}  = 0,5.10 - \frac{2}{5} = 5 - \frac{2}{5} = \frac{{23}}{5}\)

d. \(\left( {\sqrt {1\frac{9}{{16}}}  - \sqrt {\frac{9}{{16}}} } \right):5 = \left( {\sqrt {\frac{{25}}{{16}}}  - \sqrt {\frac{9}{{16}}} } \right):5 = \left( {\sqrt {{{\left( {\frac{5}{4}} \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}} } \right):5\)

\( = \left( {\frac{5}{4} - \frac{3}{4}} \right):5 = \frac{1}{2}:5 = \frac{1}{{10}}\).

Bài 2:

Tính:

a. \(\sqrt {{{(\sqrt 2  - 1)}^2}} \)      b. \(\sqrt {{{(1 - \sqrt 3 )}^2}} \)     c.\(\sqrt {{{(\sqrt 2  - \sqrt 3 )}^4}} \)

d. \(\sqrt {{{(a - 4)}^4}} \)               e. \(\sqrt {{{(a + 3)}^2}} \)với a < - 3

Hướng dẫn giải:

a. \(\sqrt {{{(\sqrt 2  - 1)}^2}}  = \left| {\sqrt 2  - 1} \right| = \sqrt 2  - 1\)

b. \(\sqrt {{{(1 - \sqrt 3 )}^2}}  = \left| {1 - \sqrt 3 } \right| = \sqrt 3  - 1\)

c. \(\sqrt {{{(\sqrt 2  - \sqrt 3 )}^4}}  = \left| {{{(\sqrt 2  - \sqrt 3 )}^2}} \right| = {(\sqrt 2  - \sqrt 3 )^2}\)

d. \(\sqrt {{{(a - 4)}^4}}  = \left| {{{(a - 4)}^2}} \right| = {(a - 4)^2}\)

e. \(\sqrt {{{(a + 3)}^2}}  = \left| {a + 3} \right|\)

Với a < -3 thì a + 3 < 0 do đó:

\(\sqrt {{{(a + 3)}^2}}  =  - (a + 3) =  - a - 3\).

Bài 3:

Khi viết các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 từ 1 đến 9 và đến 1 ta được số A=1234567898654321.

Chứng tỏ rằng: \(\sqrt A  = 111\,\,\,111\,\,\,111\).

Hướng dẫn giải:

Ta tính  (111 111  111)² = 1234567898654321

Vậy \(\sqrt A  = 111\,\,111\,\,\,111\).

Qua bài giảng Số vô tỉ. Khái niệm về căn bậc hai​​ này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như : 

• Khái niệm số vô tỉ
• Khái niệm căn bậc hai
• Vận dụng kiến thức làm một số bài tập

Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 7 Bài 11 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết. 

• Câu 1:

  Phát biểu nào sau đây là đúng?

   

  • A. Số 0 không có căn bậc hai
  • B. Tập hợp số vô tỉ được kí hiệu là Q
  • C. Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x = a²
  • D. \(\sqrt 2 \)  là một số vô tỉ

• Câu 2:

  Chọn câu trả lời đúng, nếu \(\sqrt {2x} = 2\)  thì x²  bằng?

  • A. 16
  • B. 4
  • C. 2
  • D. 1

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

Bài tập 82 trang 41 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 83 trang 41 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 84 trang 41 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 85 trang 42 SGK Toán 7 Tập 1

Bài tập 86 trang 42 SGK Toán 7 Tập 1

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán Chúng tôi sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!