Ứng dụng tích phân giải bài toán về tăng trưởng, phát triển

- Giả sử vật M chuyển động trên quãng đường có độ dài là s trong khoảng thời gian t. Khi đó, vật M chuyển động với vận tốc trung bình là $v=\frac{s}{t}$

- Tuy nhiên, chúng ta gặp rất nhiều trường hợp vật chuyển động không đều, vận tốc thay đổi liên tục tùy theo vị trí và thời gian. Ví dụ xe chạy trên đường gặp nhiều chướng ngại vật thì giảm tốc, chạy trên đường thông thoáng thì tăng tốc. Vì vậy ta cần phương pháp tính đúng vận tốc của xe tại mỗi thời điểm.

- Giả sử v(t) là vận tốc của vật M tại thời điểm t, và s(t) là quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Ta có mối liên hệ giữa s(t) và v(t)

+ Đạo hàm của quãng đường là vận tốc

$s^{\prime }\left(t\right)=v\left(t\right)$

+ Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường

$s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt$

- Từ đây ta cũng có quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $t\in [a;b]$ là:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}v\left(t\right)dt=s\left(b\right)-s\left(a\right)$

- Nếu gọi a(t) là gia tốc của vật M thì ta có mối liên hệ giữa  v(t) và a(t)

+ Đạo hàm của vận tốc chính là gia tốc

$v^{\prime }\left(t\right)=a\left(t\right)$

+ Nguyên hàm của gia tốc chính là vận tốc

$v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt$

Ví dụ: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v\left(t\right)=-5t+10\left(\text{m/s}\right)$, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét ?

A. $0,2m$                    B.$2m$.                                  C.$10m$.                    D.$20m$.

Hướng dẫn giải

Lúc bắt đầu đạp phanh, tức là tại thời điểm $t_0$ , ô tô có vận tốc $v_0=10\left(m/s\right)$ . Suy ra $v\left(t_0\right)=-5t_0+10=10\iff t_0=0$.

Khi ô tô dừng lại tại thời điểm $t_1$ thì vận tốc $v_1=0\left(m/s\right)$. Suy ra $v\left(t_1\right)=-5t_1+10=0\iff t_1=2$.

Ta có mối liên hệ giữa 2 đại lượng biến thiên quãng đường đi được $S\left(t\right)$ và vận tốc $v\left(t\right)$ là:

Nguyên hàm của vận tốc $v\left(t\right)$ chính là quãng đường đi được $S\left(t\right)$.

Suy ra quãng đường đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là tích phân của hàm $v\left(t\right)$ khi thời gian t từ 0s đến 2s.

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{2}{\int }}(-5t+10)dt={(-5\frac{t^2}{2}+10t)|}_0^2=10m$.

Vậy chọn đáp án C.

Bài 1: Một xe mô tô phân khối lớn sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu phóng nhanh với vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường cong Parabol có hình bên. Biết rằng sau 15s thì xe đạt đến vận tốc cao nhất 60m/s và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét ?

Hướng dẫn giải

Hàm vận tốc $v\left(t\right)=a{t}^2+bt+c$ có dạng là đường Parabol có đỉnh $I(15;60)$, đồng thời đi qua gốc tọa độ O(0;0), suy ra

$\{\begin{array}{l}a{.0}^2+b.0+c=0\\ -\frac{b}{2\mathrm{a}}=15\\ a{.15}^2+b.15+c=60\end{array}\iff \{\begin{array}{l}c=0\\ 30\mathrm{a}+b=0\\ a{.15}^2+b.15+0=60\end{array}\iff \{\begin{array}{l}c=0\\ a=-\frac{4}{15}\\ b=8\end{array}$

$\Rightarrow v\left(t\right)=-\frac{4}{15}{t}^2+8t$.

Theo đồ thị thì xe bắt đầu tăng tốc lúc $t=0$ và đạt vận tốc cao nhất lúc $t=15$s nên quãng đường đi được của xe từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất

$\underset{0}{\overset{15}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{15}{\int }}(-\frac{4}{15}{t}^2+8t)dt={(-\frac{4}{45}{t}^3+4t^2)|}_0^{15}=600m$.

Vậy từ lúc bắt đầu tăng tốc đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì xe đã đi được một quãng đường dài 600m.

Bài 2: Một máy bay đang chuyển động thẳng đều trên mặt đất với vận tốc $v=3\left(\text{m/s}\right)$ thì bắt đầu tăng tốc với độ biến thiên vận tốc là hàm số $a\left(t\right)$ có đồ thị hàm số là đường thẳng như hình bên. Sau 15s tăng tốc thì máy bay đạt đến vận tốc đủ lớn để phóng khỏi mặt đất. Hãy tính vận tốc khi máy bay bắt đầu rời khỏi mặt đất.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $a\left(t\right)=mt+n$ đi qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm A(16;90) nên suy ra

$\{\begin{array}{l}m.0+n=0\\ m.15+n=90\end{array}\iff \{\begin{array}{l}n=0\\ m=6\end{array}\Rightarrow a\left(t\right)=6t$.

Ta hiểu rằng: Nguyên hàm của gia tốc $a\left(t\right)$ chính là vận tốc của vật chuyển động. Do đó ta có công thức vận tốc v(t) được tính theo công thức

$v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt=\int 6tdt=3t^2+C$

Tại thời điểm bắt đầu tăng tốc thì xem như $t=0$ và vận tốc lúc đó là $v=3\left(\text{m/s}\right)$.

Suy ra $v\left(0\right)=3\iff {3.0}^2+C=3\iff C=3\Rightarrow v\left(t\right)=3t^2+3$.

Vậy vận tốc máy bay đạt được khi bắt đầu phóng khỏi mặt đất là

$v\left(15\right)={3.15}^2+3=678$(m/s).

Bài 3: Một viên đạn được bắn lên trời với vận tốc là 72 m/s bắt đầu từ độ cao 2m. Hãy xác định chiều cao của viên đạn sau thời gian 5s kể từ lúc bắn.

Hướng dẫn giải

Ta có vận tốc của viên đạn tại thời điểm t là

$v\left(t\right)=\int -9,8dt=-9,8t+C_1$

Do $v\left(0\right)=72$ nên $v\left(0\right)=-9,8.0+C_1=72\iff C_1=72\Rightarrow v\left(t\right)=-9,8t+72$.

Độ cao của viên đạn tại thời điểm t là

$s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int (-9,8t+72)dt=-4,9t^2+72t+C_2$

Vì $s\left(0\right)=2$ nên $s\left(0\right)=-4,{9.0}^2+72.0+C_2=2\iff C_2=2\Rightarrow s\left(t\right)=-4,9t^2+72t+2$.

Vậy sau khoảng thời gian 5s kể từ lúc bắn, viên đạn ở độ cao

$s\left(5\right)=-4,{9.5}^2+72.5+2=239,5m$.

Bài 4 : Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc $v\left(t\right)=160-10t\left(m/s\right)$ . Hỏi rằng trong 3s trước khi dừng hẳn vật di chuyển được bao nhiêu mét ?

Hướng dẫn giải:

Vật chuyển động chậm dần cho đến khi dừng hẳn thì

$v\left(t\right)=0\iff 160-10t=0\iff t=16\left(s\right)$.

Quãng đường vật đi được từ giây thứ 13 đến giây thứ 16 là

$S=\underset{13}{\overset{16}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{13}{\overset{16}{\int }}(160-10t)dt=45m$.

Bài 5 : Một vật chuyển động với gia tốc $a(t)=\frac{3}{t+1}(m/s^2)$ .Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Hỏi vận tốc của vật tại giây thứ 10 bằng bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải:

Vận tốc của vật tại thời điểm t được tính theo công thức

$v\left(t\right)=\int a(t)dt=\int \frac{3}{t+1}dt=3\ln |t+1|+C$.

Vì vận tốc ban đầu (lúc $t=0$) của vật là $v_0=6m/s$ nên

$v\left(0\right)=3\ln |0+1|+C=6\iff C=6\Rightarrow v\left(t\right)=3\ln |t+1|+6$.

Vận tốc của vật chuyển động tại giây thứ 10 là $v\left(10\right)=3\ln |10+1|+6\approx 13,2m/s$.

Bài 6 : Một xe mô tô phân khối lớn đang chạy với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc $a(t)=t^2+3t(m/s^2)$. Hỏi quãng đường của xe đi được trong quãng thời gian 10s đầu tiên sau khi tăng tốc ?

Hướng dẫn giải:

Xe mô tô tăng tốc với gia tốc $a(t)=t^2+3t(m/s^2)$. Vận tốc $v\left(t\right)$ chính là nguyên hàm của hàm số $a(t)$.

$v\left(t\right)=\int a(t)dt=\int (t^2+3t)dt=\frac{t^3}{3}+3\frac{t^2}{2}+C$.

Vận tốc ban đầu (tại thời điểm $t_0=0$) của xe là $v_0=10m/s$ nên

$v\left(0\right)=10\iff \frac{0^3}{3}+3\frac{0^2}{2}+C=10\iff C=10\Rightarrow v\left(t\right)=\frac{t^3}{3}+3\frac{t^2}{2}+10$.

Mặt khác, đạo hàm của quãng đường s(t) chính là vận tốc v(t) của xe chuyển động tại thời điểm t. Suy ra, quãng đường đi được của xe sau 10s đầu tiên bằng tích phân của hàm $v\left(t\right)$ khi biến t từ 0s đến 10s.

$S=\underset{0}{\overset{10}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{10}{\int }}(\frac{t^3}{3}+3\frac{t^2}{2}+10)dt=\frac{4300}{3}$(m).

Bài 7 : Một xe ô tô chuyển động với vận tốc tại giây thứ t là $v\left(t\right)=4t^3+2t+3\left(m/s\right)$. Hỏi xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu kể từ lúc bắt đầu $(t=0)$ cho đến lúc $t=5\text{s}$.

Hướng dẫn giải:

Nguyên hàm của vận tốc $v\left(t\right)$ chính là quãng đường đi được $s\left(t\right)$. Suy ra quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ $t=0s$ đến $t=5\text{s}$ là:

$S=\underset{0}{\overset{5}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{5}{\int }}(4t^3+2t+3)dt={(t^4+t^2+3t)|}_0^5=665$m.

Bài 8 : Vận tốc chuyển động của máy bay là $v\left(t\right)=3t^2+5\left(m/s\right)$. Tính quãng đường máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10.

Hướng dẫn giải:

Quãng đường đi được của máy bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 bằng tích phân của hàm vận tốc $v\left(t\right)$ khi $t=4\text{s}$ đến $t=10\text{s}$.

$S=\underset{4}{\overset{10}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{4}{\overset{10}{\int }}(3t^2+5)dt={(t^3+5t)|}_4^{10}=966m$.

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Ứng dụng tích phân giải bài toán về tăng trưởng, phát triển. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Ứng dụng tích phân giải bài toán về công của lực tác dụng vào vật

• Ứng dụng tích phân giải bài toán về chuyển động

Chúc các em học tập tốt!