Phương pháp phân chia các khối đa diện

Những hình ảnh như một khối phô mai bị cắt hay những mẩu xếp hình được lắp ghép lại với nhau là các ví dụ sinh động cho việc phân chia và lắp ghép các khối trong không gian. (Hình 3.2.1)

Hình 3.2.1

Việc phân chia và lắp ghép cũng cần tuân thủ một số nguyên tắc nhất định. Ví dụ cho trước một khối lập phương, ta có thể cắt khối này theo nhiều cách khác nhau, với mỗi cách cắt, ta tạo được một số khối đa diện mới, tạm gọi là khối thành phần, là một phần của khối lập phương ban đầu. Những khối thành phần tạo ra từ cùng một cách cắt hiển nhiên sẽ lắp ghép lại được thành khối lập phương ban đầu (3.2.2.a).

Hình 3.2.2.a

Tuy nhiên nếu chúng ta lấy một số khối thành phần từ những cách cắt khác nhau, chưa chắc ta đã có thể ghép chúng lại để tạo thành khối lập phương ban đầu: có thể chúng ta sẽ bị thiếu vài phần (xem hình 3.2.2.b), hoặc có khi lại bị thừa, chồng chất lên nhau (Xem hình 3.2.2.c).

Hình 3.2.2.b

Hình 3.2.2.c

Một hình (H) gọi là được phân chia thành các hình \(\left( {{H}_{1}} \right)\) và \(\left( {{H}_{2}} \right)\) hay nói cách khác, \(\left( {{H}_{1}} \right)\) và \(\left( {{H}_{2}} \right)\) có thể ghép lại tạo thành hình (H) nếu thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

• Hình (H) là hợp thành của \(\left( {{H}_{1}} \right)\) và \(\left( {{H}_{2}} \right)\). (các khối thành phần của hình 3.2.2.b rõ ràng không thỏa điều kiện này vì như ta thấy vẫn có thừa những khoảng trống khi ghép vào khối lập phương. Trong khi đó, các khối thành phần của hình 3.2.2.a và 3.2.2.c thỏa điều kiện)

• \(\left( {{H}_{1}} \right)\) và \(\left( {{H}_{2}} \right)\) không có điểm trong chung. (2 khối của hình 3.2.2.c không thỏa điều kiện này vì như ta thấy có một phần bị chồng lấp giữa 2 khối)

Ngoài hai nguyên tắc cơ bản trên thì để thực hiện tốt việc phân chia và lắp ghép các khối, ta cũng cần hiểu rõ về từng khối để có thể đưa ra những phỏng đoán, suy luận hợp lí.

KHỐI CHÓP
Khối tứ diện	Khối tứ diện đều	Khối chóp tứ giác	Khối chóp tứ giác đều
Hình 3.2.3.a	Hình 3.2.3.b	Hình 3.2.3.c	Hình 3.2.3.d

 

KHỐI LĂNG TRỤ
Khối lăng trụ tam giác	Khối lăng trụ đứng tam giác	Khối lăng trụ tứ giác	Khối lăng trụ đứng tứ giác
Hình 3.2.4.a	Hình 3.2.4.b	Hình 3.2.4.c	Hình 3.2.4.d
Khối hộp	Khối hộp đứng	Khối hộp chữ nhật	Khối lập phương
Hình 3.2.4.e	Hình 3.2.4.f	Hình 3.2.4.g	Hình 3.2.4.h

 

KHỐI TRÒN XOAY
Khối nón	Khối trụ	Khối cầu
Hình 3.2.5.a	Hình 3.2.5.b	Hình 3.2.5.c

Tùy theo yêu cầu mà việc phân chia hay lắp ghép các khối sẽ có độ phức tạp khác nhau. Đối với những khối phức tạp, ta không nên cố gắng biểu diễn mọi thứ trên cùng một hình mà nên chia ra nhiều bước (Hình 3.2.6) hoặc xoay lật hình để có góc nhìn tốt hơn.

        

Bài 1. Phân chia một khối tứ diện thành 3 khối tứ diện.

· Nhận xét: chỉ cần chọn một mặt tùy ý của tứ diện ban đầu, chia mặt này thành 2 tam giác là ta sẽ luôn phân chia được tứ diện đề cho thành 2 tứ diện mới.

· Sau đó, chọn một trong 2 tứ diện vừa tạo thành, lặp lại quá trình trên.

Hướng dẫn giải

   

Hình 3.3.1

Bài tập tương tự

Bài 2. Phân chia một khối tứ diện thành 2 khối tứ diện và một khối chóp tứ giác có đáy là hình thang.

Bài 3. Phân chia một khối tứ diện thành 2 khối tứ diện và 2 khối chóp cụt.

Bài 4. Phân chia một khối chóp tứ giác thành 4 khối tứ diện bằng 2 mặt phẳng.

· Với việc phân chia đáy của khối chóp này thành 2 phần, ta sẽ định hình được 2 khối chóp mới (Hình 3.3.2). Lúc này, xem như ta đã cắt khối chóp đề cho một lần.

 Hình 3.3.2.a                       Hình 3.3.2.b

· Như vậy, ta nhận xét để tạo được 4 khối tứ diện, đồng nghĩa với việc đáy của chúng là các tam giác, ta nên chọn phương án ở hình 3.3.2.b vì lúc này chỉ việc chia đáy một lần nữa theo đường chéo còn lại của tứ giác là đáy sẽ được chia thành 4 tam giác. Ở đây, ta không chọn phương án ở hình 3.3.2.a không phải vì không thể tiếp tục chia thành 4 tam giác mà là vì số bước thực hiện sẽ nhiều hơn, trong khi ở đây theo như đề bài, số lần cắt của ta chỉ giới hạn trong 2 lần.

Hướng dẫn giải

Bước 1: Dựng khối chóp tứ giác S.ABCD, mặt phẳng (SAC) chia khối chóp này thành 2 khối tứ diện S.ABC và SABD. (Hình 3.3.3a)

Bước 2: Mặt phẳng (SBD) chia tiếp khối chóp thành 4 khối tứ diện. Nếu gọi O là giao điểm của AC và BD thì tên gọi của 4 khối tứ diện là: S.AOB, S.BOC, S.COD, S.DOA. (Hình 3.3.3b)

Hình 3.3.3.a                                              Hình 3.3.3.b

Bài tập tương tự

Bài 5. Phân chia một khối bát diện đều thành 4 khối tứ diện chỉ bằng 2 mặt phẳng.

Bài 6. Phân chia một khối chóp tứ giác thành 4 khối chóp tứ giác chỉ bằng 2 mặt phẳng.

Bài 7. Phân chia một khối tứ diện thành 4 khối tứ diện chỉa bằng 2 mặt phẳng.

Bài 8. Phân chia một khối tứ diện thành 2 khối tứ diện và một khối chóp cụt.

Phân tích bài toán

· Từ những bài toán trước, ta đã biết chỉ cần chia một mặt của tứ diện ban đầu thành 2 tam giác là ta sẽ có 2 tứ diện mới.

· Sử dụng một trong 2 tứ diện vừa tạo thành, cắt tứ diện này theo một mặt phẳng song song với một mặt của nó, ta được một khối tứ diện và một khối chóp cụt.

Hướng dẫn giải

Bước 1: Chia khối tứ diện thành 2 khối tứ diện.

Bước 2: Chọn 1 trong 2 khối tứ diện vừa tạo, cắt khối này bằng một mặt phẳng song song với một đáy, ta được một khối chóp cụt và một khối tứ diện nhỏ hơn. (Hình 3.3.4)

Hình 3.3.4

Bài tập tương tự

Bài 9. Phân chia một khối chóp cụt tam giác thành 3 khối tứ diện.

Bài 10. Phân chia một khối chóp cụt tam giác thành 6 khối tứ diện.

Bài 11. Phân chia một khối lập phương thành 4 khối chóp.

· Nhận xét: bằng cách chia khối lập phương theo mặt phẳng đối xứng của nó, ta được 2 khối lăng trụ tam giác. Với mỗi khối lăng trụ này, ta có thể chia tiếp thành 2 khối chóp.

· Như vậy, chỉ cần xử lý một khối lăng trụ và làm tương tự cho khối còn lại, ta sẽ có kết quả mong muốn.

Hướng dẫn giải

Bước 1: Chia khối lập phương dọc theo mặt đối xứng của nó là (HFBD), ta được 2 nửa của khối lập phương là 2 khối lăng trụ tam giác bằng nhau. Ở đây ta sẽ xử lý khối ABD.EFH.

Bước 2: Chia khối lăng trụ ABD.EFH thành khối tứ diện EABD và khối chóp tứ giác E.BDHF. (Hình 3.3.5.a)

Bước 3: Làm tương tự với khối lăng trụ BCD.HGF. (Hình 3.3.5.b)

           

Hình 3.3.5.a                                  Hình 3.3.5.b

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp phân chia các khối đa diện. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Tóm tắt lý thuyết và bài tập về đa diện lồi, đa diện đều

• Phương pháp phân chia và lắp ráp khối đa diện

Chúc các em học tập tốt!