Ứng dụng của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật

Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức : \(m\left( t \right)={{m}_{o}}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\frac{t}{T}}}\) trong đó \({{m}_{0}}\)là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm \(t=0\)), \(m\left( t \right)\) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm \(t\), \(T\) là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ bị biến thành chất khác).

• Độ chấn động \(M\) của một địa chấn biên độ \(I\) được đo trong thang độ Richte xác định bởi công thức: \(M=\ln \frac{I}{{{I}_{0}}}\) hoặc \(M=\log I-{{\operatorname{logI}}_{0}}\)

Trong đó \({{I}_{0}}\) là biên độ của dao động bé hơn \(1\mu m\) trên máy đo địa chấn, đặt cách tâm địa chấn 100 km. I_o được lấy làm chuẩn.

• Ở \(M=3\) độ Richte, địa chấn chỉ có ảnh hưởng trong một vùng diện tích nhỏ, ở 4 đến 5 độ Richte, địa chấn gây một thiệt hại nhỏ, ở 6 đến 8 độ Richte, địa chấn gây một số thiệt hại lớn, ở 9 độ Richte, địa chấn gây thiệt hại lớn cực lớn.

• Năng lượng giải toả \(E\) tại tâm địa chấn ở \(M\) độ Richte được xác định xấp xỉ bởi công thức \(\log E\approx 11,4+1,5M\)

• Để đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ  của âm là đềxinben (viết tắt là dB).  Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức: \(L\left( dB \right)=10\log \frac{I}{{{I}_{0}}}\) trong đó\(I\) là cường độ của âm tại thời điểm đang xét(cường độ của âm tức là năng lượng truyền đi bởi sóng âm trong một đơn vị thời gian và qua một đơn vị diện tích bề mặt vuông góc với phương sóng truyền (đơn vị đo là \(w/{{m}^{2}}\))). \({{I}_{0}}\) cường độ âm ở ngưỡng nghe (\({{I}_{0}}={{10}^{-12}}w/{{m}^{2}}\)).

Nhận xét: Khi cường độ âm tăng lên \({{10}^{2}},{{10}^{3}},....\) thì cảm giác về độ to của âm tăng lên gấp 2,3,.. lần.

• Độ to của âm: Gắn liền với mức cường độ âm

\(\Delta I=I-{{I}_{\min }}\) với \({{I}_{\min }}\) là ngưỡng nghe.(Đơn vị của độ to của âm là phôn). Khi \(\Delta I=1\) phôn (độ to tối thiểu mà tai người bình thường phân biệt được) thì \(10\log \left( \frac{I}{{{I}_{\min }}} \right)=1dB\)

Bài 1: Cường độ một trận động đất M Richte) được cho bởi công thức \(M=\log A-\log {{A}_{0}}\), với A là biên độ rung chấn tối đa và \({{A}_{0}}\) là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte. Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Hỏi cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu?

Ảnh minh hoạ hậu quả một trận động đất: Nguồn internet

Hướng dẫn giải

Trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte khi đó áp dụng công thức

\({{M}_{1}}=\log A-\log {{A}_{0}}\Rightarrow 8=\log A-\log {{A}_{0}}\) 

Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là: 4A, khi đó cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là:

\({{M}_{2}}=\log \left( 4A \right)-\log {{A}_{0}}\Leftrightarrow {{M}_{2}}=\log 4+\log A-\log {{A}_{0}}\Rightarrow {{M}_{2}}=\log 4+8\approx 8,6\) độ Richte

Bài 2: Cường độ một trận động đất M (Richte) được cho bởi công thức \(M=\log A-\log {{A}_{0}}\), với A là biên độ rung chấn tối đa và \({{A}_{0}}\) là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nhật bản  có cường độ đo được 6 độ Richte. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật bản.

Bản đồ khu vực ảnh hưởng của động đất ở Nhật Bản. Nguồn: USGS.

Hướng dẫn giải

Trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte khi đó áp dụng công thức

\({{M}_{1}}=\log {{A}_{1}}-\log {{A}_{0}}\Rightarrow 8=\log {{A}_{1}}-\log {{A}_{0}}\Rightarrow \log {{A}_{1}}=8+{{\operatorname{logA}}_{0}}\Rightarrow {{A}_{1}}={{10}^{8+{{\operatorname{logA}}_{0}}}}={{10}^{\log {{A}_{0}}}}{{.10}^{8}}\)với \({{A}_{1}}\) là biên độ của trận động đất ở San Francisco.

Trận động đất ở Nhật  có cường độ 6 độ Richte khi đó áp dụng công thức

\({{M}_{2}}=\log {{A}_{2}}-\log {{A}_{0}}\Rightarrow 6=\log {{A}_{2}}-\log {{A}_{0}}\Rightarrow \log {{A}_{2}}=6+{{\operatorname{logA}}_{0}}\Rightarrow {{A}_{2}}={{10}^{6+{{\operatorname{logA}}_{0}}}}={{10}^{\log {{A}_{0}}}}{{.10}^{6}}\)với \({{A}_{2}}\) là biên độ của trận động đất ở Nhật.

Khi đó ta có \(\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\frac{{{10}^{8}}}{{{10}^{6}}}={{10}^{2}}\Rightarrow {{A}_{1}}=100{{A}_{2}}\)
Vậy trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp 100 lần biên độ trận động đất ở Nhật bản.

Bài 3: Để đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ  của âm là đềxinben (viết tắt là dB).  Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức: \(L\left( dB \right)=10\log \frac{I}{{{I}_{0}}}\) trong đó, \(I\) là cường độ của âm tại thời điểm đang xét,\({{I}_{0}}\) cường độ âm ở ngưỡng nghe (\({{I}_{0}}={{10}^{-12}}w/{{m}^{2}}\))

Một cuộc trò chuyện bình thường trong lớp học có mức cường độ âm trung bình là 68dB. Hãy tính cường độ âm tương ứng ra đơn vị \(w/{{m}^{2}}\)

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có \(L\left( dB \right)=68dB,{{I}_{0}}={{10}^{-12}}w/{{m}^{2}}\). Tính \(I\).

Áp dụng công thức ta có

\(\begin{align} & L\left( dB \right)=10\log \frac{I}{{{I}_{0}}}\Leftrightarrow 68=10\log \frac{I}{{{I}_{0}}}\Leftrightarrow \log \frac{I}{{{I}_{0}}}=6,8\Leftrightarrow \frac{I}{{{I}_{0}}}={{10}^{6,8}} \\ & \Leftrightarrow \frac{I}{{{I}_{0}}}\approx 6,{{3.10}^{6}}\Rightarrow I\approx 6,{{3.10}^{6}}{{.10}^{-12}}\approx 6,{{3.10}^{-6}}w/{{m}^{2}} \\ \end{align}\)

Bài 4: Để đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ  của âm là đềxinben (viết tắt là dB).  Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức: \(L\left( dB \right)=10\log \frac{I}{{{I}_{0}}}\) trong đó, \(I\) là cường độ của âm tại thời điểm đang xét,\({{I}_{0}}\)cường độ âm ở ngưỡng nghe (\({{I}_{0}}={{10}^{-12}}w/{{m}^{2}}\))

Hai cây đàn ghita giống nhau, cùng hoà tấu một bản nhạc.Mỗi chiếc đàn phát ra âm có mức cường độ âm trung bình là 60dB. Hỏi mức cường độ âm tổng cộng do hai chiếc đàn cùng phát ra là bao nhiêu?

Ảnh minh hoạ: Nguồn internet

Hướng dẫn giải

Mức cường độ âm do một chiếc đàn ghita phát ra là: \({{L}_{1}}=10\log \frac{{{I}_{1}}}{{{I}_{0}}}=60dB\)

Mức cường độ âm do hai  chiếc đàn ghita cùng phát ra là: \({{L}_{2}}=10\log \frac{2{{I}_{1}}}{{{I}_{0}}}=10\log 2+10\log \frac{{{I}_{1}}}{{{I}_{0}}}=10.\log 2+60\approx 63dB\)

Vậy có thêm một chiếc đàn (phát ra âm cùng lúc) thì mức cường độ âm tăng thêm 3 dB.

Bài 5: Để đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ  của âm là đềxinben (viết tắt là dB).  Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức: \(L\left( dB \right)=10\log \frac{I}{{{I}_{0}}}\) trong đó, \(I\) là cường độ của âm tại thời điểm đang xét, \({{I}_{0}}\)cường độ âm ở ngưỡng nghe (\({{I}_{0}}={{10}^{-12}}w/{{m}^{2}}\))

Tiếng ồn phát ra từ một xưởng cưa, ở mức cường độ âm đo được là 93 dB, do 7 chiếc cưa máy giống nhau cùng hoạt động gây ra. Giả sử có 3 chiếc cưa máy đột ngột ngừng hoạt động thì mức cường độ âm trong xưởng lúc này là bao nhiêu?

Ảnh minh hoạ: Nguồn internet

Hướng dẫn giải

Gọi cường độ của âm do 1 cái cưa phát ra là: \({{I}_{1}}\)

Lúc đầu mức cường độ âm là: (7 cưa máy cùng hoạt động) \(L\left( dB \right)=10\log \frac{7{{I}_{1}}}{{{I}_{0}}}=93dB\Leftrightarrow 10\log 7+10\log \frac{{{I}_{1}}}{{{I}_{0}}}=93\Rightarrow log\frac{{{I}_{1}}}{{{I}_{0}}}=9,3-10\log 7=8,45\).

Lúc sau mức cường độ âm là: (3 cưa máy hỏng nên còn 4 cưa máy hoạt động) \({{L}_{1}}\left( dB \right)=10\log \frac{4{{I}_{1}}}{{{I}_{0}}}=10\log 4+10\log \frac{{{I}_{1}}}{{{I}_{0}}}=10\log 4+10.8,45\approx 90,5dB\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Ứng dụng của hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật​. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề bài toán lãi kép liên tục – công thức tăng trưởng mũ - ứng dụng trong lĩnh vực đời sống xã hội

• Phương pháp tìm đạo hàm của hàm số mũ và logarit

Chúc các em học tập tốt!