Ứng dụng tích phân giải bài toán về công của lực tác dụng vào vật

• Nếu một lực không đổi F tác dụng lên vật M dọc theo một khoảng cách (độ dời) d, thì công W sinh ra trong quá trình dịch chuyển bằng tích của lực F và độ dài khoảng cách d mà nó đã tác dụng, ta có công thức \(\text{W}=F.d\) trong đó, lực F được hiểu là tác dụng dọc theo hướng (phương) chuyển động.

• Định nghĩa trên luôn đúng khi lực F không đổi. Tuy nhiên, nhiều trường hợp lực F biến thiên trong suốt quá trình thực hiện công. Trong các tình huống như vậy, người ta thường chia quá trình này thành nhiều phần nhỏ và tính công toàn phần nhờ lấy tổng các công tương ứng với các phần được chia (được tính nhờ phép tính tích phân).

• Giả sử f(x) là lực tác dụng lên vật tại vị trí x, đường đi của lực tác dụng(quỹ đạo của vật được tác dụng lực) tương ứng với trục tọa độ Ox. Khi đó, công toàn phần sinh ra trong cả quá trình chuyển động của vật từ vị trí \(x=a\) đến vị trí \(x=b\) là:

\(W=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\)

Ví dụ: Một lực 40N cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên từ 10cm đến 15cm. Hãy tính công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài từ 15cm đến 18cm.

Hướng dẫn giải

Ban đầu, lò xo có độ dài tự nhiên 10cm.

Dùng một lực 40N kéo giãn lò xo có độ dài 15cm thì lò xo bị kéo dãn một đoạn có độ dài 5cm = 0,05m.

Vậy ta có \(f\left( 0,05 \right)=40\Leftrightarrow 0,05.k=40\Leftrightarrow k=800\).

Suy ra \(f\left( x \right)=800x\).

Vậy công sinh ra khi kéo căng lò xo từ 15cm đến 18cm là

\(W=\int\limits_{0,05}^{0,08}{800xdx}=800.\left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{0,05}^{0,08}=1,56J\).

Bài 1: Người thợ hồ nâng một xô nước bị rỉ lên cao 20m với tốc độ cố định. Cho trọng lượng của xô là 3N, trọng lượng ban đầu của nước là 2N. Biết rằng xô nước bị rỉ nên lượng nước trong xô sẽ chảy ra với tốc độ không đổi trong thời gian nâng xô nước lên. Người ta ước tính rằng lượng nước trong xô sẽ thay đổi theo đồ thị là hình bên. Hỏi người thợ hồ đã dùng một công là bao nhiêu để nâng xô nước lên cao 20m, với giả sử rằng bỏ qua trọng lượng sợi dây ?

Hướng dẫn giải

Vì trọng lượng của xô là 3N không thay đổi nên công để đưa xô lên cao 20m là

\({{W}_{x\hat{o}}}={{P}_{x\hat{o}}}.h=3.20=60\left( Nm \right)\).

Trọng lượng của nước thay đổi tùy thuộc vào độ cao của xô so với mặt đất.

Gọi x là độ cao của xô so với mặt đất, khi đó \(f\left( x \right)=ax+b\) là trọng lượng của nước tương ứng với độ cao x.

Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)=ax+b\) đi qua 2 điểm A(0;2) và B(20;0) nên

\(\left\{ \begin{array}{l} a.0 + b = 2\\ a.20 + b = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = 2\\ a = - \frac{1}{{10}} \end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) = - \frac{1}{{10}}x + 2\).

Công sinh ra khi đưa nước từ mặt đất lên cao 20 là:

\(\int\limits_{0}^{20}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{20}{\left( -\frac{1}{10}x+2 \right)dx}=\left. \left( -\frac{1}{20}{{x}^{2}}+2x \right) \right|_{0}^{20}=20\left( Nm \right)\).

Vậy công toàn bộ để đưa cả xô và nước lên cao 20m là \(60+20=80\left( Nm \right)\).

Bài 2: Một lực có độ lớn 40 N (newton) cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên 10 cm lên 15 cm. Biết rằng theo định luật Hooke trong Vật lý, khi một chiếc lò xo bị kéo căng thêm x (đơn vị độ dài) so với độ dài tự nhiên của lò xo thì lò xo trì lại (chống lại) với một lực cho bởi công thức \(f\left( x \right)=kx\,\,\left( N \right)\), trong đó k là hệ số đàn hồi (hoặc độ cứng) của lò xo. Hãy tìm công sinh ra khi kéo lò xo có độ dài từ 15 cm đến 20 cm ?  (kí hiệu \(J\,\,\left( Jun \right)\) là đơn vị của công)

Hướng dẫn giải         

Khi kéo lò xo từ 10 cm đến 15 cm nó bị kéo căng thêm 5 cm = 0,05 m.

\(\Rightarrow f\left( 0,05 \right)=40\Leftrightarrow 0,05k=40\Rightarrow k=800\) .

Do đó \(f\left( x \right)=800x\)

Công được sinh ra khi kéo căng lò xo từ 15 cm đến 20 cm là \(W=\int\limits_{0,05}^{0,1}{f\left( x \right)dx}\)

\(\Rightarrow W=\int\limits_{0,05}^{0,1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0,05}^{0,1}{\left( 800x \right)dx=800\left. \left( \frac{{{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0,05}^{0,1}=3\,\,\left( J \right)}\)

Bài 3: Một lực 12 N nén lò xo từ chiều dài tự nhiên là 18 cm xuống còn 16 cm. Hỏi công sinh ra là bao nhiêu nếu ta tiếp túc nén lò xo từ 16 cm xuống 14 cm ?

Hướng dẫn giải

Đầu tiên ta sẽ xác định hằng số lò xo (theo đơn vị m) Ta có \(F=kx\)

\(\Leftrightarrow 12=k\left( 18-16 \right){{.10}^{-2}}\Rightarrow k=600\,\,N/m\)

Do đó ta có \(F=600x\). Nên công sinh ra được xác định \(A=\int\limits_{0,02}^{0,04}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0,02}^{0,04}{600xdx}\) 

\(\Rightarrow A=300\left. \left( {{x}^{2}} \right) \right|_{0,02}^{0,04}=3,6\,\,N\) .

Bài 4 : Việc thở là những vòng tuần hoàn, mỗi vòng tính từ lúc bắt đầu hít vào đến lúc kết thúc thở ra, thường kéo dài trong 5s. Vận tốc cực đại của khí là V l/s,vì thế nó được mô hình hoá bởi \(v(t)=V\sin \frac{3\pi t}{5}\) . Tính thể tích khí hít vào phổi sau thời gian 2s.

Hướng dẫn giải

Vận tốc của khí hít vào được mô hình bởi công thức \(v(t)=V\sin \frac{3\pi t}{5}\). Suy ra lượng khí hít vào sau 2 giây  là :

\(N\left( 2 \right)=\int\limits_{0}^{2}{v(x)dx}=\int\limits_{0}^{2}{V\sin \frac{3\pi t}{5}dt}=\frac{5V}{3\pi }\left( 1-\cos \frac{3\pi .2}{5} \right)=1,06V\) lít khí.

Bài 5: Một mạch kín gồm một nguồn điện có suất điện động biến thiên theo thời gian \(e=10\cos \left( 100\pi t \right)\left( V \right)\) và điện trở trong không đáng kể, nối với mạch ngoài có một điện trở \(R=50\Omega \). Tính điện lượng chuyển qua điện trở trong thời gian từ t=0 đến \(t=\frac{1}{600}s\)  ?

Hướng dẫn giải

Ta có \(i=\frac{u}{R}=0,02\cos \left( 100\pi t \right)\) (A). Ta có \(i\left( t \right)=q'\left( t \right)\)

Do đó \(q=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{i\left( t \right)}dt\) . Xét điện lượng từ \(t=0\) đến \(t=\frac{1}{600}s\) 

Ta có: \(q=0,02\int\limits_{0}^{\frac{1}{600}}{\cos \left( 100\pi t \right)}dt=3,{{18.10}^{-5}}C\).

Bài 6: Trong mạch điện của thiết bị điện tử, cường độ dòng điện (đơn vị mA) là một hàm số theo thời gian t là \(i\left( t \right)=0,3-0,2t\,\,\left( mA \right)\). Tổng điện tích đi qua một điểm trong mạch trong giây 0,05s là bao nhiêu, biết rằng tại thời điểm ban đầu thì lượng điện tích chạy qua dây dẫn bằng 0 ?

Hướng dẫn giải

Ta biết rằng cường độ dòng diện là lượng điện tích đi qua tiết diện vật dẫn trong một đơn vị thời gian. Nếu gọi hàm \(i\left( t \right)\) biểu thị cho cường độ dòng điện thì lượng điện tích \(q\left( t \right)\) là nguyên hàm của \(i\left( t \right)\).

Ta có biểu thức điện tích \(q\left( t \right)=\int{i\left( t \right)dt=\int{\left( 0,3-0,2t \right)dt=0,3t-0,1{{t}^{2}}+C}}\)

Ta có khi \(q\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow C=0\) . Do đó tổng điện tích đi qua một điểm trong 0,05 s là:

\(q\left( 0,05 \right)=0,3.\left( 0,05 \right)-0,1.{{\left( 0,05 \right)}^{2}}=0,015\,\,mC\).

Bài 7: Hiệu điện thế đi qua tụ điện có điện dung \(C=8,5\,\,nF\) đặt trong mạch thu sóng FM gần bằng 0. Nếu có cường độ dòng điện \(i=0,042t\,\,\left( mA \right)\) nạp vào tụ. Tìm hiệu điện thế sau \(2\mu s\), biết rằng hiệu điện thế tại thời điểm t được tính theo công thức \(U\left( t \right)=\frac{q\left( t \right)}{C}\) với \(q\left( t \right)\) là điện lượng qua tiết diện dây dẫn trong thời gian t .

Hướng dẫn giải

Lưu ý \(1nF={{10}^{-9}}F,\,\,1\mu s={{10}^{-6}}s\).

Ta biết rằng điện tích \(q\left( t \right)\) là nguyên hàm của cường độ dòng điện \(i\left( t \right)\)

Ta có \({{U}_{C}}=\frac{1}{C}\int{i\left( t \right)dt=\frac{0,{{042.10}^{-3}}}{8,{{5.10}^{-9}}}\int{tdt}=\left( \frac{4,{{94.10}^{3}}}{2} \right){{t}^{2}}}+K\)

Theo giả thiết ta có \(U\left( 0 \right)=0\Leftrightarrow K=0\)

Do đó \({{U}_{C}}\left( t \right)=2,{{47.10}^{3}}{{t}^{2}}\)

Khi \({{U}_{C}}\left( 2\mu s \right)=2,{{47.10}^{3}}{{\left( {{2.10}^{-6}} \right)}^{2}}=9,{{882.10}^{-9}}=9,882\,\,nV\) .

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là toàn bộ nội dung Ứng dụng tích phân giải bài toán về công của lực tác dụng vào vật. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Ứng dụng tích phân giải bài toán về tăng trưởng, phát triển

• Ứng dụng tích phân giải bài toán về chuyển động

Chúc các em học tập tốt!