Ứng dụng tích phân giải bài toán về chuyển động

• Cho hàm số $f\left(x\right)$ biểu diễn cho sự tăng (hay giảm) số lượng của một đối tượng nào đó (số người, vi khuẩn, vi trùng, lượng nước chảy,...).

• Giá trị $f\left(x\right)$ là số lượng của đối tượng đó tại thời điểm $x$.

• Đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ chính là tốc độ tăng (hay giảm) của đối tượng đó tại thời điểm $x$.

• Số lượng tăng thêm (hoặc giảm đi) của đối tượng trong khoảng $x\in [a;b]$ là:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$

Ví dụ: Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau x tháng kể từ bây giờ, dân số của thành phố A sẽ tăng với tốc độ $v\left(x\right)=10+2\sqrt{2x+1}$ (người/tháng). Dân số của thành phố sẽ tăng thêm bao nhiêu trong 4 tháng tới.

Hướng dẫn giải

Gọi $f\left(x\right)$ là dân số của thành phố sau x tháng kể từ bây giờ.

Tốc độ thay đổi của dân số là $v\left(x\right)=10+2\sqrt{2x+1}$.

Suy ra $f\left(x\right)=\int (10+2\sqrt{2x+1})dx=10x+2\int \sqrt{2x+1}dx$.

Mà $\int \sqrt{2x+1}dx=\frac{1}{2}\int {(2x+1)}^{\frac{1}{2}}d(2x+1)=\frac{1}{3}{(2x+1)}^{\frac{3}{2}}+C$.

Do đó $f\left(x\right)=10x+\frac{2}{3}{(2x+1)}^{\frac{3}{2}}+C$.

Số dân trong 4 tháng tới là:

$f\left(4\right)-f\left(0\right)=10.4+\frac{2}{3}{(2.4+1)}^{\frac{3}{2}}+C-(0+\frac{2}{3}+C)\approx 57$ người

Bài 1: Tốc độ thay đổi của số lượng người V ( tính bằng ngàn người ) tham gia công tác tình nguyện ở nước Mỹ từ năm 2000 đến năm 2006 có thể được mô hình bởi hàm số $V\left(t\right)=119,85t^2-30e^t+37,26e^{-t}$ với t là năm ( t = 0 ứng với năm 2000 )

Hỏi số lượng người tham gia tình nguyện trong giai đoạn trên tăng lên hay giảm đi với số lượng bao nhiêu. ( Nguồn: Cục thống kê lao động nước Mỹ ).

Hướng dẫn giải

Sự chênh lệch của số người tham gia tình nguyện trong giai đoạn từ năm 2000 đến năm 2006 là:

$\underset{0}{\overset{6}{\int }}V\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{6}{\int }}(119,85t^2-30e^t+37,261e^{-t})dt$

$={(\frac{119,85}{3}{t}^3-30e^t-37,261e^{-t})|}_0^6=-3473,756166-(-67,261)\approx -3406$.

Vậy trong khoảng thời gian từ năm 2000 đến năm 2006, số lượng người tham gia công tác tình nguyện đã giảm đi khoảng 3406 người.

Bài 2: Tốc độ tăng các cặp đôi kết hôn ( đơn vị tính: triệu người ) của nước Mỹ từ năm 1970 đến năm 2005 có thể được mô hình bởi hàm số $f\left(t\right)=1,218t^2-44,72t+709,1$ với t là năm (t = 0 ứng với năm 1970 ) . Số lượng cặp đôi kết hôn vào năm 2005 là 59513 ngàn người.

Tìm một mô hình biểu thị cho số lượng các cặp đôi kết hôn của nước Mỹ.

Sử dụng mô hình đó để dự đoán số lượng các cặp đôi kết hôn của nước Mỹ vào năm 2012. Kết quả của bạn liệu có hợp lí? Giải thích vì sao?

Hướng dẫn giải

Để tìm một mô hình cho số lượng các cặp đôi kết hôn ta tìm nguyên hàm của $f\left(t\right)$

$F\left(t\right)=\int (1,218t^2-44,72t+709,1)dt=\frac{1,218}{3}{t}^3-\frac{44,72}{2}{t}^2+709,1t+C$

Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2005 là 59513 triệu người nên ta có

$F\left(35\right)=59513\iff 0,{406.35}^3-22,{36.35}^2+709,1.35+C=59513\iff C=44678,25$

Vậy một mô hình cần tìm là $F\left(t\right)=0,406t^3-22,36t^2+709,1t+44678,25$

Số lượng các cặp đôi kết hôn vào năm 2012 là $F\left(42\right)=65097,138$ triệu người

Theo báo cáo của Cục điều tra dân số nước Mỹ thì vào năm 2012 tổng số các cặp đôi kết hôn của nước Mỹ khoảng 61,047 triệu người. So với kết quả lý thuyết thì sự chênh lệch là tạm chấp nhận được.

Bài 3: Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn trong hồ bơi được mô hình bởi hàm số $B^{\prime }\left(t\right)=\frac{1000}{{(1+0,3t)}^2},t\ge 0$, trong đó B(t) là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước tại ngày thứ t. Số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước. Biết rằng mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lí và thay nước mới cho hồ bơi.

Hướng dẫn giải

Số lượng của vi khuẩn tại ngày thứ t được mô hình bởi hàm số B(t) là nguyên hàm của B’(t).

$B\left(t\right)=\int \frac{1000}{{(1+0,3t)}^2}dt=1000\int {(1+0,3t)}^{-2}dt=-\frac{1000}{0,3(1+0,3t)}+C$.

Số lượng vi khuẩn lúc ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước nên

$B\left(0\right)=500\iff -\frac{1000}{0,3(1+0,3.0)}+C=500\iff C=\frac{11500}{3}$.

Suy ra hàm số biểu thị cho số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t là

$B\left(t\right)=-\frac{1000}{0,3(1+0,3t)}+\frac{11500}{3}$.

Số lượng vi khuẩn dưới 3000 con trên mỗi ml nước thì người bơi vẫn an toàn; và người bơi không an toàn khi

$B\left(t\right)\ge 3000\iff -\frac{1000}{0,3(1+0,3t)}+\frac{11500}{3}\ge 3000$

$\iff -\frac{1000}{0,3(1+0,3t)}\ge -\frac{2500}{3}\iff 1+0,3t\ge 4\iff t\ge 10$.

Vậy vào ngày thứ 10 thì số lượng vi khuẩn sẽ là 3000 con và hồ bơi không còn an toàn, cần phải thay nước mới.

Bài 4: Một hồ nước bị ô nhiễm được xử lý bằng một chất diệt khuẩn. Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn sống sót được mô hình bởi $B^{\prime }\left(t\right)=\frac{3000}{{(1+0,2t)}^2},t\ge 0$ với B(t) là số lượng vi khuẩn trên mỗi ml nước là t là số ngày tính từ khi hồ nước được xử lý. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu là 10000 con/ml nước. Sử dụng mô hình này xác định số lượng vi khuẩn sau 5 ngày. Liệu số lượng vi khuẩn có thể vượt 2000 con/ml nước.

Hướng dẫn giải

Tốc độ phát triển của số lượng vi khuẩn sống sót được mô hình bởi công thức đạo hàm $B^{\prime }\left(t\right)=-\frac{3000}{{(1+0,2t)}^2},t\ge 0$.

Nguyên hàm của $B^{\prime }\left(t\right)$ là hàm $B\left(t\right)$ biểu thị số lượng vi khuẩn sống sót trong ngày thứ t. Ta có

$B\left(t\right)=\int \frac{-3000}{{(1+0,2t)}^2}dt=-3000\int {(1+0,2t)}^{-2}dt=15000{(1+0,2t)}^{-1}+C=\frac{15000}{1+0,2t}+C$

Vì số lượng vi khuẩn ban đầu là 10.000 con/ml nước nên có

$B\left(0\right)=10000\Rightarrow 15000+C=10000\Rightarrow C=-5000$.

Vậy hàm số biểu thị số lượng vi khuẩn sống sót tại ngày thứ t là

$B\left(t\right)=\frac{15000}{1+0,2t}-5000$.

Số vi khuẩn sau 5 ngày sẽ là $B\left(5\right)=2500con/1ml$.

Như vậy số lượng vi khuẩn đã vượt qua 2000 con/ml nước.

Bài 5: Người ta thay nước mới cho 1 bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là $h_1=280cm$. Giả sử h(t) là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ t là $h^{\prime }\left(t\right)=\frac{1}{500}\sqrt[3]{t+3}$ và lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau bao lâu thì nước bơm được $\frac{3}{4}$ độ sâu của hồ bơi?

Hướng dẫn giải

Ta biết rằng chiều cao h(t) của mực nước bơm được chính là nguyên hàm của tốc độ tăng h’(t) của chiều cao mực nước.

$h\left(t\right)=\int h^{\prime }\left(t\right)dt=\int \frac{1}{500}\sqrt[3]{t+3}dt=\frac{3}{2000}{(t+3)}^{\frac{4}{3}}+C$.

Lúc ban đầu (tại $t=0$) hồ bơi không chứa nước, nghĩa là

$h\left(t\right)=0\iff \frac{3}{2000}{(0+3)}^{\frac{4}{3}}+C=0\iff C=-\frac{3^{\frac{7}{3}}}{2000}$.

Suy ra mực nước bơm được tại thời điểm t giây là

$h\left(t\right)=\frac{3}{2000}{(t+3)}^{\frac{4}{3}}-\frac{3^{\frac{7}{3}}}{2000}$.

Theo giả thiết, lượng nước bơm được bằng $\frac{3}{4}$ độ sâu của hồ bơi nên ta có

$h\left(t\right)=\frac{3}{4}{h}_1\iff \frac{3}{2000}{(t+3)}^{\frac{4}{3}}-\frac{3^{\frac{7}{3}}}{2000}=\frac{3}{4}.280\iff {(t+3)}^{\frac{4}{3}}=140004,33\iff t=7234\text{s}$.

Vậy sau khoảng thời gian 2 giờ 34 giây thì bơm được $\frac{3}{4}$ độ sâu của hồ bơi.

Bài 6: Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện Hố Hô đã xả lũ trong 40 phút với tốc độ lưu lượng nước tại thời điểm t giây là $v\left(t\right)=10t+500\left(m^3/s\right)$. Hỏi sau thời gian xả lũ trên thì hồ chứa nước của nhà máy đã thoát đi một lượng nước là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải

Lượng nước lũ đã xả trong khoảng thời gian 40 phút (2400 giây) sẽ bằng

$L=\underset{0}{\overset{2400}{\int }}{v}^{\prime }\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{2400}{\int }}(10t+500)dt={(5t^2+500t)|}_0^{2400}={3.10}^7\left(m^3\right)$.

Vậy trong khoảng thời gian 40 phút, nhà máy đã xả một lượng nước là 30 triệu khối, tức là hồ chứa nước đã thoát đi 30 triệu khối nước.

Bài 7: Trọng lượng của một bào thai người nặng khoảng 0,04 ounce

(1ounce = 28,3495 gram) sau 8 tuần tuổi. Trong suốt 35 tuần tiếp theo, trọng lượng của bào thai này được dự đoán tăng với tốc độ: $B^{\prime }\left(t\right)=\frac{2436e^{-0,193t}}{{(1+784e^{-0,193t})}^2},8\le t\le 43$ với B(t) là cân nặng tính bằng ounce và t là thời gian tính bằng tuần. Hãy tính trọng lượng của bào thai sau 25 tuần tuổi.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết thì trọng lượng của bào thai này được dự đoán tăng với tốc độ là hàm số $B^{\prime }\left(t\right)=\frac{2436e^{-0,193t}}{{(1+784e^{-0,193t})}^2},8\le t\le 43$ nên B(t) chính là nguyên hàm của B’(t).

$B\left(t\right)=\int \frac{24361e^{-0,193t}}{{(1+784e^{-0,193t})}^2}dt$.

Đặt $u=1+784e^{-0,193t}$, ta có

$B\approx -16,1\int \frac{du}{u^2}=\frac{16,1}{u}+C=\frac{16,1}{1+784e^{-0,193t}}+C$.

$\Rightarrow B\left(t\right)\approx \frac{16,1}{1+784e^{-0,193t}}+C$.

Sau 8 tuần tuổi thì bào thai cân nặng khoảng 0,04 ounce nên

$B\left(8\right)=0,04\Rightarrow \frac{16,1}{1+784e^{-0,193.8}}+C=0,04\Rightarrow C=-0,0556$

Do đó ta có hàm số cân nặng của bào thai là

$B\left(t\right)\approx \frac{16,1}{1+784e^{-0,193t}}-0,0556,8\le t\le 43.$

Cân nặng của bào thai sau 25 tuần tuổi là:

$B\left(25\right)\approx \frac{16,1}{1+784e^{-0,193.25}}-0,0556=2,152ounce$.

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là toàn bộ đoạn nội dung Ứng dụng tích phân giải bài toán về chuyển động. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Ứng dụng tích phân giải bài toán về công của lực tác dụng vào vật

• Ứng dụng tích phân giải bài toán về tăng trưởng, phát triển

Chúc các em học tập tốt!