Tổng hợp lý thuyết trọng tâm về cực trị của hàm số

Định nghĩa 1. Hàm số $f\left(x\right)$ xác định trên tập $D\subset \mathbb{R}$

- Điểm $x_0\in D$ được gọi là điểm cực đại của hàm số $f\left(x\right)$ nếu tồn tại một khoảng $\left(a;b\right)\subset D$ sao cho $x_0\in \left(a;b\right)$ và $f\left(x\right)<f\left(x_0\right),\mathrm{\forall }x\in \left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}.$

- Điểm $x_0\in D$ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số $f\left(x\right)$ nếu tồn tại một khoảng $\left(a;b\right)\subset D$ sao cho $x_0\in \left(a;b\right)$ và $f\left(x\right)>f\left(x_0\right),\mathrm{\forall }x\in \left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}.$

Định lí 1 (Điều kiện cần ). Nếu hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực trị tại điểm $x_0$ và hàm số $f$ có đạo hàm tại điểm $x_0$, thì $f^{\prime }\left(x_0\right)=0.$

Tuy nhiên hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm , chẳng hạn với hàm $y=\left|x\right|$, đạt cực trị tại $x=0$ nhưng không có đạo hàm tại đó.

Định lí 2 (Điều kiện đủ ). Ta có

+) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0,\mathrm{\forall }x\in \left(a;x_0\right)$và$f^{\prime }\left(x\right)>0,\mathrm{\forall }x\in \left(x_0;b\right)$ thì hàm số$f\left(x\right)$đạt cực tiểu tại điểm $x_0.$

+) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0,\mathrm{\forall }x\in \left(a;x_0\right)$và $f^{\prime }\left(x\right)<0,\mathrm{\forall }x\in \left(x_0;b\right)$ thì hàm số $f\left(x\right)$đạt cực đại tại điểm $x_0.$

Tức là, nếu đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x_0$

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $M\left(x_0;y_{CT}\right)$.

Nếu đạo hàm của hàm số $y=f\left(x\right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x_0$

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực đại là $M\left(x_0;y_{CD}\right)$.

Chú ý: Không cần xét có hay không đạo hàm tại $x_0$.

Định lí 3. Hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp một trên $\left(a;b\right)$ chứa $x_0$ mà $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$ và $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp hai khác không tại $x_0$. Khi đó,

• Nếu $f^{”}\left(x_0\right)>0$ thì hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x_0$.

• Nếu $f^{”}\left(x_0\right)<0$ thì hàm số $y=f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x_0$.Từ đây, ta có phương pháp cực trị của hàm số.

  • Tính đạo hàm $y^{\prime }$, tìm những điểm tại đó $y^{\prime }=0$ hoặc $y^{\prime }$ không xác định.

  • Xét dấu $y^{\prime }$ dựa vào định lí 2 để kết luận điểm cực đại, điểm cực tiểu.

Hoặc xét dấu $y”\left(x_0\right)$ ( $x_0$ là nghiệm của $y^{\prime }$) dựa vào định lí 3 để kết luận.

Hoặc xét dấu $y^{”}\left(x_0\right)$ ( $x_0$ là nghiệm của $y^{\prime }$) dựa vào định lí 3 để kết luận.

Chú ý: Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y=\frac{ax+b}{cx+d}$

Ta có

$y^{\prime }=\frac{ad-bc}{{\left(cx+d\right)}^2}.$

Dấu của đạo hàm không phụ thuộc vào $x$, hay độc lập với $x$ nên hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Do đó hàm số luôn không có cực trị.

Cho hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\left(a\ne 0\right)$ có đồ thị là $\left(C\right)$.

Ta có $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c\left(a\ne 0\right).$

Số lượng điểm cực trị .

Hàm số bậc ba có đạo hàm là một tam thức bậc hai nên

• Hàm số có cực trị $\iff$ có cực đại $\iff$có cực tiểu $\iff$ có cả cực đại và cực tiểu $\iff$ có hai cực trị $\iff$ phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt $\iff$$\mathrm{\Delta }>0$.

• Hàm số không có cực trị $\iff$phương trình $y^{\prime }=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\iff$$\mathrm{\Delta }\le 0.$

Chú ý: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Trong trường hợp hàm số có hai điểm cực trị, ta viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị như sau:

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức: $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ cho $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$được thương là $q\left(x\right)$ và phần dư là $r\left(x\right)=mx+n$, ta được:

$y=y^{\prime }.q\left(x\right)+r\left(x\right)$

Bước 2: Chứng minh đường thẳng $\left(d\right)$: $y=r\left(x\right)=mx+n$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Giả sử $M\left(x_1;y_1\right),N\left(x_2;y_2\right)$ trong đó $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $y^{\prime }=0$  nên $y^{\prime }\left(x_1\right)=y^{\prime }\left(x_2\right)=0$.

Khi đó vì $M,N$ thuộc $\left(C\right)$ nên

$y_1=y^{\prime }(x_1).q\left(x_1\right)+r\left(x_1\right)=r\left(x_1\right)\Rightarrow r\left(x_1\right)=m{x}_1+n\Rightarrow M\in \left(d\right)$.

$y_2=y^{\prime }(x_2).q\left(x_2\right)+r\left(x_2\right)=r\left(x_2\right)\Rightarrow r\left(x_2\right)=m{x}_2+n\Rightarrow N\in \left(d\right)$.

Tức là $\left(d\right)$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Cho hàm bậc 4 trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c\left(a\ne 0\right)$ có $y^{\prime }=4a{x}^3+2bx=2x\left(2a{x}^2+b\right)$.

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2=-\frac{b}{2a}.\end{array}$

Số lượng điểm cực trị .

Hàm số bậc bốn luôn có cực trị

• Hàm số có ba cực trị $\iff$ có cả cực đại và cực tiểu $\iff$ phương trình $y^{\prime }=0$ có ba nghiệm phân biệt $\iff -\frac{b}{2a}>0$.

• Hàm số có một cực trị $\iff$ phương trình $y^{\prime }=0$ có một nghiệm duy nhất $\iff -\frac{b}{2a}\le 0$.

Chú ý: Khi hàm số có ba điểm cực trị $A\left(0;c\right),B\left(\sqrt{-\frac{b}{2a}};y_1\right),C\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a}};y_2\right)$ thì:

• $y_1=y_2$

• $B,C$ đối xứng nhau qua trục $Oy$, điểm $A$ nằm trên trục $Oy$. Do đó tam giác $ABC$ cân tại $A$.

Ví dụ: Cho hàm số $f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau:

Điểm cực đại của hàm số đã cho là:

A. $x=-3$. 

B. $x=1$. 

C. $x=2$. 

D. $x=-2$.

Lời giải

Chọn D

Nhận thấy $f^{\prime }\left(x\right)$ đổi dấu từ dấu dương sang dấu âm khi đi qua $x=-2$ suy ra $x=-2$ là điểm cực đại của hàm số.

Mức độ 1

Câu 1. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại $x=0$.

B. Hàm số có đúng hai điểm cực trị.

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $0$ và giá trị nhỏ nhất bằng $-3$.

D. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng $-1$ và $1$.

Lời giải

Chọn A

Vì $f\left(x\right)$ xác định tại $x=0$ và $f^{\prime }\left(x\right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=0$.

Câu 2. Hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có điểm cực đại là $\left(1;-1\right)$. 

B. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $\left(1;-1\right)$.

C. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $\left(-1;3\right)$. 

D. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $\left(1;1\right)$.

Lời giải

Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có: Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $\left(1;-1\right)$ và điểm cực đại là $\left(-1;3\right)$.

Câu 3. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.

Khi đó số điểm cực trị của hàm số $y=f\left(x\right)$ là

A. $3$. 

B. $2$. 

C. $4$. 

D. $1$.

Lời giải

Chọn A

Do hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ và có biểu thức đạo hàm đổi dấu ba lần tại $x_1$; $x_2$; $x_3$ nên hàm số $y=f\left(x\right)$ có ba điểm cực trị.

Mức độ 2

Câu 1. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. $2$. 

B. $3$. 

C. $4$. 

D. $5$.

Lời giải

Chọn B

Tập xác định $D=R\mathrm{\setminus }\left\{x_1\right\}$.

Theo định lí về điều kiện đủ để hàm số có cực trị và dựa vào bảng biến thiên ta có các điểm cực trị của hàm số là: $x_2$; $x_4$; $x_5$.

Câu 2. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right){\left(x-2\right)}^2{\left(x-3\right)}^5}{\sqrt[3]{x-4}}$. Hỏi hàm số $y=f\left(x\right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. $2$. 

B. $4$. 

C. $3$. 

D. $5$.

Lời giải

Chọn C

Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=2\\ x=3\end{array}$.

Bảng xét dấu của $f^{\prime }\left(x\right)$ như sau:

Do $f^{\prime }\left(x\right)$ đổi dấu khi $x$ qua $1,3,4$ nên hàm số $y=f\left(x\right)$ có $3$ điểm cực trị.

Câu 3. Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }\left(x\right)$ là đường cong ở hình bên. Hỏi hàm số $y=f\left(x\right)$ có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 6. 

B. 3. 

C. 4. 

D. 5.

Lời giải

Chọn B

Dựa vào đồ thị $y=f^{\prime }\left(x\right)$ ta thấy phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ có 4 nghiệm nhưng giá trị $f^{\prime }\left(x\right)$ chỉ đổi dấu 3 lần.

Vậy hàm số $y=f\left(x\right)$ có 3 điểm cực trị.

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Tổng hợp lý thuyết trọng tâm về cực trị của hàm số. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm số cực tiểu, cực đại của hàm số từ bảng xét dấu y'

• Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm về cực trị dạng nhận biết và thông hiểu

Chúc các em học tập tốt!