Phương pháp tìm hàm số hữu tỉ khi biết đồ thị hàm số

Chú ý các đặc điểm nhận dạng sau:

Quan sát dáng đồ thị, chú ý dấu đạo hàm \(y’ = \frac{{ad – bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}\)

Xác định các đường tiệm cận đứng: \(x = \frac{{ – d}}{c}\), ngang : \(y = \frac{a}{c}\)

Các giao điểm đặc biệt với trục Ox, Oy.

Ví dụ 1: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với \(a,b,c,d\) là các số thực.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Ⓐ. \(y’ < 0,\forall x \ne 1\)

Ⓑ. \(y’ < 0,\forall x \ne 2\)

Ⓒ. \(y’ > 0,\forall \ne 2\)

Ⓓ.\(y’ > 0,\forall x \ne 1\)

Lời giải

Chọn C

Dựa vào đồ thị ta nhận thấy tiệm cận đứng bằng 2,

Hàm số nghịch biến vậy chọn B

Ví dụ 2: Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Ⓐ. \(y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}\).

Ⓑ. \(y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\).

Ⓒ. \(y = {x^4} + {x^2} + 1\).

Ⓓ.\(y = {x^3} – 3x – 1\).

Lời giải

Chọn Ⓑ.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(y’ = \frac{{ – 2}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} < 0\), \(\forall x \ne 1\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x + 1}}{{x – 1}} = 1 \Rightarrow y = 1\) là đường tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x – 1}} = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{x + 1}}{{x – 1}} = – \infty \).

\( \Rightarrow x = 1\) là đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị đã cho là của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\).

Ví dụ 3: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các phương án A, B, C, D dưới đây?

Ⓐ. \(y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}.\)

Ⓑ. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\)

Ⓒ. \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}.\)

Ⓓ.\(y = \frac{{x + 3}}{{1 – x}}.\)

Lời giải

Chọn B

Từ đồ thị ta có: Tiệm cận đứng \(x = – 1\); tiệm cận ngang \(y = 2.\)

\(y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x – 1}}{{x + 1}} = 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{x – 1}}{{x + 1}} = – \infty \Rightarrow \) tiệm cận đứng \(x = – 1\); tiệm cận ngang \(y = 1\)

A sai

\(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = 2,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = – \infty \Rightarrow \) tiệm cận đứng \(x = – 1\); tiệm cận ngang \(y = 2\)

B đúng

\(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\) có\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{x + 1}} = 1,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = + \infty \Rightarrow \) tiệm cận đứng \(x = – 1\); tiệm cận ngang \(y = 1\)

C sai

\(y = \frac{{x + 3}}{{1 – x}}\) có\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 3}}{{1 – x}} = – 1,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = – \infty \Rightarrow \) tiệm cận đứng \(x = 1\); tiệm cận ngang \(y = – 1\)

D sai

Câu 1: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. \(y = \frac{{2x – 1}}{{x + 1}}\) 

B. \(y = \frac{{1 – 2x}}{{x + 1}}\) 

C. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}\) 

D. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\)

Câu 2: Đồ thị hình dưới đây là của hàm số nào?

A. \(y = \frac{{ – x}}{{x + 1}}\). 

B. \(y = \frac{{ – x + 1}}{{x + 1}}\). 

C. \(y = \frac{{ – 2x + 1}}{{2x + 1}}\). 

D. \(y = \frac{{ – x + 2}}{{x + 1}}\).

Câu 3: Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?

A. \(y = {x^4} – 3{x^2} + 1\). 

B. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}\). 

C. \(y = \frac{{x – 1}}{{x – 2}}\). 

D. \(y = – x + 2\).

Câu 4: Đường cong ở hình bên là đồ thị hàm số \(y = \frac{{ax + 2}}{{cx + b}}\) với \(a, b, c\) là các số thực.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(a = 2; b = 2; c = – 1\). 

B. \(a=2; b = – 2; c = 1\). 

C. \(a = 1; b = 2; c = 1\). 

D. \(a = 1; b = 1; c = – 1\).

Câu 5: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. \(y = \frac{{2x – 1}}{{x – 1}}\). 

B. \(y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\). 

C. \(y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}\). 

D. \(y = \frac{{x + 1}}{{1 – x}}.\)

Câu 6: Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. \(y = \frac{x}{{x – 1}}\). 

B. \(y = \frac{{2x – 3}}{{2x – 2}}\). 

C. \(y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\). 

D. \(y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}\).

Câu 7: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?

A. \(y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}\). 

B. \(y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\). 

C. \(y = \frac{{2x – 3}}{{2x – 2}}\). 

D. \(y = \frac{x}{{x – 1}}\).

Câu 8: Đường cong trong hình vẽ dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A. \(y = \frac{{x + 2}}{{ – 2x + 4}}\). 

B. \(y = \frac{{ – x + 1}}{{x – 2}}\). 

C. \(y = \frac{{2x – 3}}{{x + 2}}\). 

D. \(y = \frac{{ – x + 3}}{{2x – 4}}\).

Câu 9: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. \(y = – {x^3} + 3x + 1\). 

B. \(y = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}\). 

C. \(y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}\). 

D. \(y = {x^3} – 3{x^2} – 1\).

Câu 10: Đồ thị sau đây là của hàm số nào?

A. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}\). 

B. \(y = \frac{{x + 2}}{{x – 2}}\). 

C. \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\). 

D. \(y = \frac{{x – 1}}{{x + 1}}\).

Câu 11: Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ. Chọn mệnh đề đúng?

A. \(ac > 0\).

B. \(cd > 0\).

C. \(ab > 0\). 

D. \(ad > bc\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm hàm số hữu tỉ khi biết đồ thị hàm số. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm hàm số bậc ba khi biết đồ thị hàm số

• Phương pháp tìm hàm số trùng phương khi biết đồ thị hàm số

Chúc các em học tốt!