Phương pháp tìm nghiệm của phương trình, bất phương trình lôgarit

- Phương pháp:

${\log }_{a}x=b\iff x=a^b$

${\log }_{a}f\left(x\right)=b\iff f\left(x\right)=a^b$

Ví dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình ${\log }_2(x–1)=3$.

Ⓐ. $x=9$. 

Ⓑ. $x=7$. 

Ⓒ.$x=8$. 

Ⓓ. $x=10$.

Lời giải

Chọn A

${\log }_2\left(x–1\right)=3\iff x–1=2^3\iff x=9$

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình ${\log }_9\left(x+1\right)=\frac{1}{2}$.

Ⓐ. $x=2$. 

Ⓑ. $x=–4$. 

Ⓒ.$x=4$. 

Ⓓ. $x=\frac{7}{2}$

Lời giải

Chọn A

${\log }_9\left(x+1\right)=\frac{1}{2}\iff x+1=9^{\frac{1}{2}}\iff x=2$

Phương pháp:

${\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right)\iff f\left(x\right)=g\left(x\right),0<a\ne 1;f\left(x\right)>0;\left(hayg\left(x\right)>0\right)$

Ví dụ 3: Phương trình ${\log }_3\left(5x–3\right)+{\log }_{\frac{1}{3}}\left(x^2+1\right)=0$ có 2 nghiệm $x_1;x_2$ trong đó $x_1<x_2$. Giá trị của $P=2x_1+3x_2$ là

Ⓐ. $13$. 

Ⓑ. $14$.

Ⓒ.$3$. 

Ⓓ. $5$.

Lời giải

Chọn B

Phương trình tương đương với ${\log }_3\left(5x–3\right)={\log }_3\left(x^2+1\right)$$\iff \{\begin{array}{l}{x}^2+1=5x–3\\ 5x–3>0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=4\end{array}$, do $x_1<x_2$ nên $x_1=1;x_2=4$

Suy ra $P=2x_1+3x_2=2+12=14$.

Ví dụ 4: Cho phương trình $2{\log }_{9}x+{\log }_3\left(10–x\right)={\log }_{2}9.{\log }_{3}2$. Hỏi phương trình đã cho có mấy nghiêm

Ⓐ. $4$. 

Ⓑ. $3$. 

Ⓒ.$1$. 

Ⓓ. $2$.

Lời giải

Chọn D

Điều kiện $0<x<10$

Ta có : $2{\log }_{9}x+{\log }_3\left(10–x\right)={\log }_{2}9.{\log }_{3}2\iff {\log }_{3}x+{\log }_3\left(10–x\right)=2$

$\iff {\log }_3\left(x\left(10–x\right)\right)=2\iff –x^2+10x–9=0\iff [\begin{array}{l}x=1\left(\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{ậ}\mathrm{n}\right)\\ x=9\left(\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{ậ}\mathrm{n}\right)\end{array}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{1;9\right\}$.

Phương pháp:

Dạng: $A.{\log }_a^{2}f\left(x\right)+B.{\log }_{a}f\left(x\right)+C=0$

Đặt $t={\log }_{a}f\left(x\right),f\left(x\right)>0$.

Khi đó, phương trình trở thành : $A.t^2+B.t+C=0$.

Giải phương trình tìm $t$ , thay $t$ vào cách đặt để tìm $x$thỏa ĐK.

Chú ý : Nếu đặt $t={\log }_{a}f\left(x\right)$ thì ${\log }_a^{2}f\left(x\right)=t^2,{\log }_{\frac{1}{a}}f\left(x\right)=–t,{\log }_{a^2}f\left(x\right)=\frac{1}{2}t,\dots .$

Ví dụ 5: Tích tất cả các nghiệm của phương trình${\log }_3^{2}x–2{\log }_{3}x–7=0$ là

Ⓐ. 9.  

Ⓑ. -7.   

Ⓒ. 1.    

Ⓓ. 2.

Lời giải

Chọn A

Điều kiện : $x>0$.

Đặt $t={\log }_{3}x$ . Khi đó pt trở thành :

$t^2–2t–7=0\iff [\begin{array}{l}t=1+2\sqrt{2}\\ t=1–2\sqrt{2}\end{array}$

Với $[\begin{array}{l}{\log }_{3}x=1+2\sqrt{2}\\ {\log }_{3}x=1–2\sqrt{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}{x}_1=3^{1+2\sqrt{2}}(n)\\ x_2=3^{1–2\sqrt{2}}(n)\end{array}$

$\Rightarrow x_1.x_2=9$

Ví dụ 6: Số nghiệm của phương trình ${\log }_2^2{x}^2+8{\log }_{2}x+4=0$ là

Ⓐ. $x=2$. 

Ⓑ. $x=3$. 

Ⓒ.$x=1$. 

Ⓓ. $x=0$.

Lời giải

Chọn D

Điều kiện : $x>0$.

$\begin{array}{l}{\log }_2^2{x}^2+8{\log }_{2}x+4=0\\ \iff {\left(2{\log }_{2}x\right)}^2+8{\log }_{2}x+4=0\\ \iff 4{\left({\log }_{2}x\right)}^2+8{\log }_{2}x+4=0\end{array}$

Đặt $t={\log }_{2}x$ . Khi đó pt trở thành :

$4t^2+8t+4=0\iff t=–1$

$\iff {\log }_{2}x=–1\iff x=\frac{1}{2}\left(n\right)$.

Câu 1: Phương trình ${\log }_2\left(x–2\right)=1$ có nghiệm là

A. $x=4$. 

B. $x=1$. 

C. $x=3$. 

D. $x=2$.

Câu 2: Tìm các nghiệm của phương trình ${\log }_3\left(2x–3\right)=2$.

A. $x=\frac{11}{2}$. 

B. $x=\frac{9}{2}$. 

C. $x=6$. 

D. $x=5$.

Câu 3: Phương trình ${\log }_3\left(3x–2\right)=3$ có nghiệm là

A. $x=\frac{25}{3}$. 

B. $x=\frac{29}{3}$. 

C. $x=87$. 

D. $x=\frac{11}{3}$.

Câu 4: Cho phương trình ${\log }_3(x–1)=1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $x\in \left(1;3\right)$. 

B. $x\in \left(0;2\right)$. 

C. $x\in \left(3;4\right)$. 

D. $x\in \left(3;5\right)$.

Câu 5: Tập nghiệm $S$ của phương trình ${\log }_3\left(2x+3\right)=1$.

A. $S=\left\{3\right\}$. 

B. $S=\left\{–1\right\}$. 

C. $S=\left\{0\right\}$. 

D. $S=\left\{1\right\}$.

Câu 6: Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x–3\right)\ge {\log }_{\frac{1}{2}}4$.

A. $S=\left(3;7\right]$.

B. $S=\left[3;7\right]$.

C. $S=\left(–\mathrm{\infty };7\right]$.

D. $S=\left[7;+\mathrm{\infty }\right)$.

Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình ${\log }_3\left({\log }_{2}x\right)=1$.

A. $x=2$. 

B. $x=6$. 

C. $x=8$. 

D. $x=9$.

Câu 8: Phương trình $\log (x+1)=2$có nghiệm là

A. 19.

B. 1023.

C. 101.

D. 99.

Câu 9: Tìm nghiệm của phương trình ${\log }_2\left(x–5\right)=4$.

A. $x=11$. 

B. $x=21$. 

C. $x=3$. 

D. $x=13$.

Câu 10: Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_2\left(x^2–1\right)\ge 3$ là:

A. $\left(–\mathrm{\infty };–3\right]\cup \left[3;+\mathrm{\infty }\right)$. 

B. $\left[–3;3\right]$.

C. $\left[–2;2\right]$. 

D. $\left(–\mathrm{\infty };–2\right]\cup \left[2;+\mathrm{\infty }\right)$.

ĐÁP ÁN

1.A

2.C

3.B

4.D

5.C

6.A

7.C

8.D

9.B

10.A

 

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm nghiệm của phương trình, bất phương trình lôgarit. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm nghiệm của phương trình mũ Toán 12

• Chuyên đề ôn thi THPT QG về bất phương trình mũ

Chúc các em học tốt!