1. Phương trình logarit cơ bản.
- Phương pháp:
\({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\)
\({\log _a}f\left( x \right) = b \Leftrightarrow f\left( x \right) = {a^b}\)
Ví dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình \({\log _2}(x – 1) = 3\).
Ⓐ. \(x = 9\).
Ⓑ. \(x = 7\).
Ⓒ.\(x = 8\).
Ⓓ. \(x = 10\).
Lời giải
Chọn A
\({\log _2}\left( {x – 1} \right) = 3 \Leftrightarrow x – 1 = {2^3} \Leftrightarrow x = 9\)
Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình \({\log _9}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2}\).
Ⓐ. \(x = 2\).
Ⓑ. \(x = – 4\).
Ⓒ.\(x = 4\).
Ⓓ. \(x = \frac{7}{2}\)
Lời giải
Chọn A
\({\log _9}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x + 1 = {9^{\frac{1}{2}}} \Leftrightarrow x = 2\)
2. Phương trình logarit đưa về cùng cơ số
Phương pháp:
\({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right),0 < a \ne 1;f\left( x \right) > 0\,;\,\left( {hay\,\,g\left( x \right) > 0} \right)\)
Ví dụ 3: Phương trình \({\log _3}\left( {5x – 3} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\) có 2 nghiệm \({x_1}\,;\,{x_2}\) trong đó \({x_1} < {x_2}\). Giá trị của \(P = 2{x_1} + 3{x_2}\) là
Ⓐ. \(13\).
Ⓑ. \(14\).
Ⓒ.\(3\).
Ⓓ. \(5\).
Lời giải
Chọn B
Phương trình tương đương với \({\log _3}\left( {5x – 3} \right) = {\log _3}\left( {{x^2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 5x – 3\\5x – 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\), do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_1} = 1\,;\,{x_2} = 4\)
Suy ra \(P = 2{x_1} + 3{x_2} = 2 + 12 = 14\).
Ví dụ 4: Cho phương trình \(2{\log _9}x + {\log _3}\left( {10 – x} \right) = {\log _2}9.{\log _3}2\). Hỏi phương trình đã cho có mấy nghiêm
Ⓐ. \(4\).
Ⓑ. \(3\).
Ⓒ.\(1\).
Ⓓ. \(2\).
Lời giải
Chọn D
Điều kiện \(0 < x < 10\)
Ta có : \(2{\log _9}x + {\log _3}\left( {10 – x} \right) = {\log _2}9.{\log _3}2 \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _3}\left( {10 – x} \right) = 2\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x\left( {10 – x} \right)} \right) = 2 \Leftrightarrow – {x^2} + 10x – 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\left( {{\rm{nhận}}} \right)\\x = 9\,\,\,\left( {{\rm{nhận}}} \right)\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {1\,;\,9} \right\}\).
3. Đặt ẩn phụ
Phương pháp:
Dạng: \(A.\log _a^2f\left( x \right) + B.{\log _a}f\left( x \right) + C = 0\)
Đặt \(t = {\log _a}f\left( x \right),f\left( x \right) > 0\).
Khi đó, phương trình trở thành : \(A.{t^2} + B.t + C = 0\).
Giải phương trình tìm \(t\) , thay \(t\) vào cách đặt để tìm \(x\)thỏa ĐK.
Chú ý : Nếu đặt \(t = {\log _a}f\left( x \right)\) thì \(\log _a^2f\left( x \right) = {t^2},{\rm{ }}{\log _{\frac{1}{a}}}f\left( x \right) = – t,{\rm{ }}{\log _{{a^2}}}f\left( x \right) = \frac{1}{2}t,….\)
Ví dụ 5: Tích tất cả các nghiệm của phương trình\(\log _3^2x – 2{\log _3}x – 7 = 0\) là
Ⓐ. 9.
Ⓑ. -7.
Ⓒ. 1.
Ⓓ. 2.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện : \(x > 0\).
Đặt \(t = {\log _3}x\) . Khi đó pt trở thành :
\({t^2} – 2t – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + 2\sqrt 2 \\t = 1 – 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)
Với \(\left[ \begin{array}{l}{\log _3}x = 1 + 2\sqrt 2 \\{\log _3}x = 1 – 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {3^{1 + 2\sqrt 2 }}{\rm{ }}(n)\\{x_2} = {3^{1 – 2\sqrt 2 }}{\rm{ }}(n)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {x_1}.{x_2} = 9\)
Ví dụ 6: Số nghiệm của phương trình \(\log _2^2{x^2} + 8{\log _2}x + 4 = 0\) là
Ⓐ. \(x = 2\).
Ⓑ. \(x = 3\).
Ⓒ.\(x = 1\).
Ⓓ. \(x = 0\).
Lời giải
Chọn D
Điều kiện : \(x > 0\).
\(\begin{array}{l}{\rm{ }}\log _2^2{x^2} + 8{\log _2}x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2{{\log }_2}x} \right)^2} + 8{\log _2}x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + 8{\log _2}x + 4 = 0\end{array}\)
Đặt \(t = {\log _2}x\) . Khi đó pt trở thành :
\(4{t^2} + 8t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = – 1\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}x = – 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\left( n \right)\).
4. Bài tập
Câu 1: Phương trình \({\log _2}\left( {x – 2} \right) = 1\) có nghiệm là
A. \(x = 4\).
B. \(x = 1\).
C. \(x = 3\).
D. \(x = 2\).
Câu 2: Tìm các nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {2x – 3} \right) = 2\).
A. \(x = \frac{{11}}{2}\).
B. \(x = \frac{9}{2}\).
C. \(x = 6\).
D. \(x = 5\).
Câu 3: Phương trình \({\log _3}\left( {3x – 2} \right) = 3\) có nghiệm là
A. \(x = \frac{{25}}{3}\).
B. \(x = \frac{{29}}{3}\).
C. \(x = 87\).
D. \(x = \frac{{11}}{3}\).
Câu 4: Cho phương trình \({\log _3}(x – 1) = 1\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(x \in \left( {1;3} \right)\).
B. \(x \in \left( {0;2} \right)\).
C. \(x \in \left( {3;4} \right)\).
D. \(x \in \left( {3;5} \right)\).
Câu 5: Tập nghiệm \(S\) của phương trình \({\log _3}\left( {2x + 3} \right) = 1\).
A. \(S = \left\{ 3 \right\}\).
B. \(S = \left\{ { – 1} \right\}\).
C. \(S = \left\{ 0 \right\}\).
D. \(S = \left\{ 1 \right\}\).
Câu 6: Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x – 3} \right) \ge {\log _{\frac{1}{2}}}4\).
A. \(S = \left( {3;\;7} \right]\).
B. \(S = \left[ {3;\;7} \right]\).
C. \(S = \left( { – \infty ;\;7} \right]\).
D. \(S = \left[ {7;\; + \infty } \right)\).
Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{{\log }_2}x} \right) = 1\).
A. \(x = 2\).
B. \(x = 6\).
C. \(x = 8\).
D. \(x = 9\).
Câu 8: Phương trình \(\log (x + 1) = 2\)có nghiệm là
A. 19.
B. 1023.
C. 101.
D. 99.
Câu 9: Tìm nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x – 5} \right) = 4\).
A. \(x = 11\).
B. \(x = 21\).
C. \(x = 3\).
D. \(x = 13\).
Câu 10: Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} – 1} \right) \ge 3\) là:
A. \(\left( { – \infty ; – 3} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\).
B. \(\left[ { – 3;3} \right]\).
C. \(\left[ { – 2;2} \right]\).
D. \(\left( { – \infty ; – 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
ĐÁP ÁN
| 1.A | 2.C | 3.B | 4.D | 5.C | 6.A | 7.C | 8.D | 9.B | 10.A |
--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm nghiệm của phương trình, bất phương trình lôgarit. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tốt!
