Phương pháp dựa vào bảng biến thiên hay đồ thị suy ra đường tiệm cận của hàm số

1. Định nghĩa:

• Hàm số \(y = f(x)\) thỏa mãn một trong các điều kiện: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = {y_0}\end{array} \right. \Rightarrow y = {y_0}\) được gọi là TCN.

• Hàm số \(y = f(x)\) thỏa mãn một trong các điều kiện: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = – \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = – \infty \end{array} \right. \Rightarrow x = {x_0}\) được gọi là TCĐ.

2. Dựa vào bảng biến thiên hay đồ thị suy ra tiệm cận:

• Nếu \(x \to \pm \infty \) mà \(y \to {y_0}\)( một số) thì \(y = {y_0}\) là TCN.

• Nếu \(x \to {x_0}\)( một số) mà \(y \to \pm \infty \)thì \(x = {x_0}\) là TCĐ.

Ví dụ 1: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Ⓐ. Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.

Ⓑ. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng \(y = 0\).

Ⓒ. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là trục hoành.

Ⓓ. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Lời giải

Chọn C

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0 \Rightarrow y = 0\) tức trục hoành là TCN.

Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Khẳng định nào dưới đây đúng?

Ⓐ. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang.

Ⓑ. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 2\).

Ⓒ. Giá trị lớn nhất của hàm số là \(3\).

Ⓓ. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Lời giải

Chọn A

Khi \(x \to – \infty \Rightarrow y \to 1\) nên \(y = 1\) là TCN.

Khi \(x \to + \infty \Rightarrow y \to – 1\) nên \(y = – 1\) là TCN.

Câu 1: Đường thẳng \(y = \frac{1}{3}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

A. \(y = \frac{{3x + 1}}{{x – 3}}\) 

B. \(y = \frac{{x + 1}}{{3x – 3}}\) 

C. \(y = \frac{{2x + 1}}{{3x – 1}}\) 

D. \(y = \frac{{ – x + 1}}{{3x – 1}}\)

Câu 2: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 1} \right\}\)và có bảng biến thiên như sau: 

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại \(x = 1.\) 

B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. 

D. Hàm số không có đạo hàm tại \(x = – 1.\)

Câu 3: Đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây?

A. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}\). 

B. \(y = \frac{{3x – 4}}{{x – 2}}\). 

C. \(y = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}\). 

D. \(y = \frac{{ – x + 1}}{{ – 2x + 1}}\).

Câu 4: Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên

Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. \(4\).  

B. \(2\).  

C. \(1\)  

D. \(3\)

Câu 5: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) phù hợp với bảng biến thiên bên dưới. Tổng số đường tiệm cận là:

A. \(1\). 

B. \(2\). 

C. \(3\). 

D. \(4\).

Câu 6: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có tiệm cận đứng là

A. \(x = 1\). 

B. \(y = – 1\). 

C. \(x = – 1\). 

D. \(y = 2\).

Câu 7: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{ – x + 2}}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng

A. \(y = 2.\) 

B. \(y = -2.\)  

C. \(y = -1.\)  

D. \(y = 3.\)

Câu 8: Gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{2x – 4}}{{x – 3}}\). Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai.

A. \(\left( C \right)\) có đúng \(1\) tiệm cận ngang. 

B. \(\left( C \right)\) có đúng \(1\) trục đối xứng.

C. \(\left( C \right)\) có đúng \(1\) tâm đối xứng. 

D. \(\left( C \right)\) có đúng \(1\) tiệm cận đứng.

Câu 9: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x – 2025}}{{x + 5}}\) là :

A. \(y = – 5\) . 

B. \(y = -1001\) . 

C. \(y = – 405\)  . 

D. \(y = 5\) .

Câu 10: Cho hàm số \(y = \frac{{4x – 1}}{{x – 2}}\). Tìm khẳng định sai?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 2\).

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 4\).

C. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

D. Giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm \(M\left( {4;2} \right)\).

Câu 11: Cho hàm số\(y = \frac{{2x + 1}}{{x – 1}}\). Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:

A. Đường thẳng \(y = 1\). 

B. Đường thẳng \(x = 1\).

C. Đường thẳng \(y = 2\). 

D. Đường thẳng \(x = 2\).

Câu 12: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\).

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là

A. \(x = 1\). 

B. \(x = 2\). 

C. \(y = 1\). 

D. \(y = 2\).

Câu 13: Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên:

 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng có phương trình là

A. không tồn tại tiệm cận đứng. 

B. \(x = – 2\).

C. \(x = 1\). 

D. \(x = – 2\) và \(x = 1\).

Câu 14: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x – 2022}}{{2 + x}}\) có tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần lượt là các cặp đường nào sao đây?

A. \(y = – \frac{1}{2};x = 1\). 

B. \(y = – 1;x = 1\). 

C. \(y = 2;x = – 2\). 

D. \(y = 1,x = – \frac{1}{2}\).

Câu 15: Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận đứng?

A. \(y = \frac{1}{{{x^4} + 1}}\). 

B. \(y = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\). 

C. \(y = \frac{1}{{{x^2} + 1}}\). 

D. \(y = \frac{1}{{\sqrt x }}\).

ĐÁP ÁN

1.B	2.B	3.A	4.C	5.B	6.C	7.B	8.B	9.D	10.D
11.B	12.A	13.B	14.C	15.D

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp dựa vào bảng biến thiên hay đồ thị suy ra đường tiệm cận của hàm số. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

• Lý thuyết và bài tập về các loại đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Chúc các em học tốt!