Phương pháp tìm sự tương giao của đồ thị bậc ba

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm dạng \(F\left( {x,m} \right) = 0\)(phương trình ẩn x tham số m)

+) Cô lập m đưa phương trình về dạng \(m = f\left( x \right)\)

+) Lập BBT cho hàm số \(y = f\left( x \right)\).

+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m.

*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x.

+) Lập phương trình hoành độ giao điểm \(F\left( {x,m} \right) = 0\)

+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử \(x = {x_0}\) là 1 nghiệm của phương trình.

+) Phân tích: \(F\left( {x,m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - {x_0}} \right).g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_0}\\g\left( x \right) = 0\end{array} \right.\) (là \(g\left( x \right) = 0\) là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m ).

+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc hai \(g\left( x \right) = 0\).

Ví dụ: Đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A. \(0.\) 

B. \(1.\) 

C. \(2.\) 

D. \( - 2.\)

Lời giải

Chọn C

Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn \(x = 0 \Rightarrow y = 2\)

Câu 1: Số giao điểm của đồ thị \((C):y = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\) và đường thẳng \(y = 1\) là

A. 0. 

B. 3. 

C. 1. 

D. 2.

Lời giải

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 3{x^2} + 2x + 1 = 1 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Vậy có ba giao điểm \(A\left( {0;1} \right),B\left( {1;1} \right),C\left( {2;1} \right).\)

Câu 2. Cho hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 1\) có đồ thị \((C)\) và đường thẳng \(d\):\(y = x - 1\). Số giao điểm của \((C)\) và \(d\) là

A. 1. 

B. 2. 

C. 4. 

D. 3.

Lời giải.

Chọn D

Phương trình hoành độ giao điểm

\(2{x^3} - 3{x^2} + 1 = x - 1 \Leftrightarrow 2{x^3} - 3{x^2} - x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^2} - x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{{1 - \sqrt {17} }}{4}\\x = \frac{{1 + \sqrt {17} }}{4}\end{array} \right.\)

Vậy số giao điểm là 3

Câu 3. Đồ thị hàm số \(y = \;{x^3} - 3{x^2} + 1\) cắt đường thẳng \(y = m\) tại ba điểm phân biệt thì tất cả các giá trị tham số \(m\) thỏa mãn là

A. \(m > 1\;.\) 

B. \( - 3 \le m \le 1\;.\) 

C. \( - 3 < m < 1\;.\) 

D. \(m < - 3.\)

Lời giải

Chọn C

Lập phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 3{x^2} + 1 = m\)

Ta có: \(y’ = 3{x^2} - 6x\) ; \(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\, \vee \,\,x = 2.\)

Bảng biến thiên:

Do đó, đồ thị cắt đường thẳng \(y = m\) tại ba điểm phân biệt khi \( - 3 < m < 1\;\).

Vậy chọn \( - 3 < m < 1\).

Câu 4. Tất cả giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = - 2{x^3} + 3{x^2} + 2m - 1\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt là

A. \(\frac{1}{4} \le m < \frac{1}{2}.\) 

B. \( - \frac{1}{2} < m < \frac{1}{2}.\)

C. \(0 < m < \frac{1}{2}.\) 

D. \(0 \le m \le \frac{1}{2}.\)

Lời giải:

Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của \((C)\) và trục \(Ox\): \( - 2{x^3} + 3{x^2} + 2m - 1 = 0\). Ta khảo sát hàm số \(\left( {C’} \right):y = 2{x^3} - 3{x^2} + 1\) và cũng chỉ là tìm \({y_{CD}},{y_{CT}}\). Cụ thể\({y_{CD}} = 1,{y_{CT}} = 0\). Do đó yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow 0 < 2m < 1 \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{2}\) .

Vậy chọn \(0 < m < \frac{1}{2}\)

Phương pháp trắc nghiệm:

+ Với \(m = 0,\) ta có phương trình \( - 2{x^3} + 3{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{2}\\x = 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) loại B, D.

+ Với \(m = 0.1\), ta có phương trình \( - 2{x^3} + 3{x^2} - 0.8 = 0\) có 3 nghiệm \( \Rightarrow \) loại A.

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} + 4 + m = 0\) có nghiệm duy nhất lớn hơn \(2\). Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\) là hình bên.

A. \(m > 0.\) 

B. \(m \le - 4.\)

C. \(m < - 4.\) 

D. \(m \le - 4\) hoặc \(m \ge 0.\)

Lời giải:

Chọn C

Ta có \({x^3} - 3{x^2} + 4 + m = 0{\rm{ }}\left( * \right).\)

Xem phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \((C)\):\(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\) và đường thẳng \(d\):\(y = m\).

Số giao điểm của \((C)\) và \(d\) là số nghiệm của (*). Dựa vào đồ thị hàm số, yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow m < - 4\).

Vậy chọn \(m < - 4\).

Câu 6. Tất cả giá trị của thm số \(m\) để phương trình \({x^3} - 3x - m + 1 = 0\) có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm dương là

A. \( - 1 \le m \le 1.\) 

B. \( - 1 < m \le 1.\) 

C. \( - 1 < m < 3.\) 

D. \( - 1 < m < 1.\)

Lời giải:

Chọn D

Phương pháp tự luận:

Ta có đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) như hình bên.

Dựa vào đồ thị ta tìm được kết quả để đồ thị cắt hàm số tại ba điểm phân biệt là \( - 1 < m < 3.\)

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 1\) nên yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow - 1 < m < 1\).

Vậy chọn \( - 1 < m < 1.\)

Phương pháp trắc nghiệm: 

Xét \(m = 1\), ta được phương trình \({x^3} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\)

không đủ hai nghiệm dương \( \Rightarrow \) loại A, B, C.

Vậy chọn \( - 1 < m < 1.\)

Câu 7. Cho hàm số \(y = - 2{x^3} + 3{x^2} - 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\) như hình vẽ. Dùng đồ thị \(\left( C \right)\) suy ra tất cả giá trị tham số \(m\) để phương trình \(2{x^3} - 3{x^2} + 2m = 0\)\(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt là

A. \(0 < m < \frac{1}{2}\).

B. \( - 1 < m < 0\).

C. \(0 \le m \le - 1\).

D. \( - 1 \le m \le 0\).

Lời giải:

Chọn A

Phương trình \(\left( 1 \right ) - 2{x^3} + 3{x^2} - 1 = 2m - 1\) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left( C \right)\) và \(d:y = 2m - 1\) (là đường thẳng song song hoặc trùng với \(Ox\)).

Phương trình có ba nghiệm phân biệt \(\left( C \right)\)cắt \(d\) tại ba điểm phân biệt \( - 1 < 2m - 1 < 0\) \(0 < m < \frac{1}{2}\).

Vậy chọn \(0 < m < \frac{1}{2}\).

Câu 8. Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(I\left( {1;2} \right)\) với hệ số góc \(k\). Tập tất cả các giá trị của \(k\) để \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt I, A, B sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB là

A. \(\left\{ 0 \right\}\) 

B. \(\mathbb{R}\) 

C. \(\left\{ { - 3} \right\}\) 

D. \(\left( { - 3; + \infty } \right)\)

Lời giải

Chọn D

Phương trình \(d:y = k\left( {x - 1} \right) + 2\).

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \((C)\) và đường thẳng \(d\):

\({x^3} - 3{x^2} + 4 = kx - k + 2 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - kx + k + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - k - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\underbrace {{x^2} - 2x - k - 2}_{g(x)} = 0\;\;(*)\end{array} \right.\)

\(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) Phương trình \((*)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) khác \(1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}{{\Delta ‘}_g} > 0 \hfill \\g\left( 1 \right) \ne 0 \hfill \\\end{gathered} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  k + 3 > 0 \hfill \\   - 3 - k \ne 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow k >  - 3\)

Hơn nữa theo Viet ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 = 2{x_I}\\{y_1} + {y_2} = k\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2k + 4 = 4 = 2{y_I}\end{array} \right.\) nên I là trung điểm AB.

Vậy chọn \(k > - 3\), hay \(\left( { - 3; + \infty } \right)\).

Câu 9. Với những giá trị nào của tham số m thì \(\left( {{C_m}} \right):y = {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} + 4m + 1} \right)x - 4m\left( {m + 1} \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1?

A.\(\frac{1}{2} < m \ne 1.\) 

B. \(m > \frac{1}{2}.\) 

C. \(m \ge \frac{1}{2}.\) 

D. \(m \ne 1.\)

Lời giải

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \((C)\) và trục \(Ox\):

\({x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 2\left( {{m^2} + 4m + 1} \right)x - 4m\left( {m + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - \left( {3m + 1} \right)x + 2{m^2} + 2m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\{x^2} - (3m + 1)x + 2{m^2} + 2m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 2m\\x = m + 1\end{array} \right.\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < 2m \ne 2\\1 < m + 1 \ne 2\\2m \ne m + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} < m \ne 1\\0 < m \ne 1\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m \ne 1\).

Vậy chọn \(\frac{1}{2} < m \ne 1\).

Câu 10. Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - m - 1\) có đồ thị \((C)\). Giá trị của tham số \(m\) để đồ thị \((C)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng là

A. \(m = 0.\) 

B. \(m = 3.\) 

C. \(m = - 3.\) 

D. \(m = \pm 6.\)

Lời giải:

Chọn C

Đồ thị \((C)\) cắt trục hoành tại điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng khi và chỉ khi phương trình \({x^3} - 3{x^2} - 1 = m\) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp cố cộng.

Suy ra đường thẳng \(y = m\) đi qua điểm uốn của đồ thị \(y = {x^3} - 3{x^2} - 1\) (do đồ thị \((C)\) nhận điểm uốn làm tâm đối xứng). Mà điểm uốn của \(y = {x^3} - 3{x^2} - 1\) là \(I(1; - 3)\). Suy ra \(m = - 3\). Vậy chọn \(m = - 3\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm sự tương giao của đồ thị bậc ba. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm sự tương giao của hàm số bậc bốn

• Phương pháp tìm tự tương giao của hàm số phân thức

Chúc các em học tập tốt!