1. Phương pháp
\(\bullet \) Tìm giới hạn của hàm số \(y=f(x)\) khi \(x\to {{x}_{0}}\) và tính \(f({{x}_{0}})\)
\(\bullet \) Nếu tồn tại \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\) thì ta so sánh \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\) với \(f({{x}_{0}})\).
Chú ý:
1. Nếu hàm số liên tục tại \({{x}_{0}}\) thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó
2. \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=l\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=l\).
3. Hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l} f(x){\rm{ khi }}x \ne {x_0}\\ k{\rm{ khi }}x = {x_0} \end{array} \right.\) liên tục tại \(x={{x}_{0}}\Leftrightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=k\).
4. Hàm số liên tục tại điểm \(x={{x}_{0}}\) khi và chỉ khi \(\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{1}}(x)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,{{f}_{2}}(x)={{f}_{1}}({{x}_{0}})\).
Chú ý:
\(\bullet \) Hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l} f(x){\rm{ khi }}x \ne {x_0}\\ k{\rm{ khi }}x = {x_0} \end{array} \right.\) liên tục tại \(x={{x}_{0}}\) khi và chỉ khi
\(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=k\).
\(\bullet \) Hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l} f(x){\rm{ khi }}x > {x_0}\\ g(x){\rm{ khi }}x \le {x_0} \end{array} \right.\) liên tục tại \(x={{x}_{0}}\) khi và chỉ khi
\(\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,g(x)\).
Ví dụ. Tìm a để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt {3x + 1} - 2}}{{{x^2} - 1}}{\rm{ khi }}x > 1\\ \frac{{a({x^2} - 2)}}{{x - 3}}{\rm{ khi }}x \le 1 \end{array} \right.\) liên tục tại \(x=1\)
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{4}\)
C. \(\frac{3}{4}\)
D. 1
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có : \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{3x+1}-2}{{{x}^{2}}-1}=\frac{3}{8}\)
\(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{a({{x}^{2}}-2)}{x-3}=\frac{a}{2}\)
Suy ra hàm số liên tục tại \(x=1\Leftrightarrow \frac{a}{2}=\frac{3}{8}\Rightarrow a=\frac{3}{4}\).
2. Bài tập
Câu 1. Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}\) và \(f\left( 2 \right)={{m}^{2}}-2\)với \(x\ne 2\). Giá trị của \(m\)để \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x=2\)là:
A. \(\sqrt{3}\).
B. \(-\sqrt{3}\).
C. \(\pm \sqrt{3}\).
D. \(\pm 3\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Hàm số liên tục tại \(x=2\)\(\Leftrightarrow \underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 2 \right)\).
Ta có \(\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( x-1 \right)=1\).
Vậy \({{m}^{2}}-2=1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=\sqrt{3} \\ & m=-\sqrt{3} \\ \end{align} \right.\)
Câu 2. Cho hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-4}\). Chọn câu đúng trong các câu sau:
(I) \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x=2\).
(II) \(f\left( x \right)\) gián đoạn tại \(x=2\).
(III) \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ -2;\,2 \right]\).
A. Chỉ \(\left( I \right)\) và \(\left( III \right)\).
B. Chỉ \(\left( I \right)\).
C. Chỉ \(\left( II \right)\).
D. Chỉ \(\left( II \right)\) và \(\left( III \right)\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \(D=\left( -\infty ;-2 \right]\cup \left[ 2;+\infty\right)\).
\(\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-4}=0\).
\(f\left( 2 \right)=0\).
Vậy hàm số liên tục tại \(x=2\).
Câu 3. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - x + 6}}} \,\,\,\,\,\,\,x \ne 3;\,\,x \ne 2\\ b + \sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 3;\,\,b \in R \end{array} \right.\). Tìm \(b\) để \(f\left( x \right)\)liên tục tại \(x=3\).
A. \(\sqrt{3}\).
B. \(-\sqrt{3}\).
C. \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\).
D. \(-\frac{2\sqrt{3}}{3}.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Hàm số liên tục tại \(x=3\Leftrightarrow \underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 3 \right)\).
\(\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{3}}-x+6}}=\sqrt{\frac{1}{3}}\).
\(f\left( 3 \right)=b+\sqrt{3}\).
Vậy: \(b+\sqrt{3}=\sqrt{\frac{1}{3}}\Leftrightarrow b=-\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{-2}{\sqrt{3}}\).
Câu 4. Cho hàm số\(f\left( x \right)=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(\left( I \right)\)\(f\left( x \right)\) gián đoạn tại \(x=1.\)
\(\left( II \right)\)\(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x=1.\)
\(\left( III \right)\)\(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{1}{2}\)
A. Chỉ \(\left( I \right)\).
B. Chỉ \(\left( I \right)\).
C. Chỉ \(\left( I \right)\) và \(\left( III \right)\).
D. Chỉ \(\left( II \right)\) và \(\left( III \right).\)
Hướng dẫn giải:
C.
\(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
\(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}\)
Hàm số không xác định tại \(x=1.\) Nên hàm số gián đoạn tại \(x=1.\).
Câu 5. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt {2x + 8} - 2}}{{\sqrt {x + 2} }}\,\,\,\,\,\,x > - 2\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = - 2 \end{array} \right.\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
\(\left( I \right)\)\(\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\).
\(\left( II \right)\)\(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x=-2.\)
\(\left( III \right)\)\(f\left( x \right)\) gián đoạn tại \(x=-2.\)
A. Chỉ \(\left( I \right)\) và \(\left( III \right)\).
B. Chỉ \(\left( I \right)\) và \(\left( II \right)\).
C. Chỉ \(\left( I \right)\).
D. Chỉ \(\left( I \right)\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
\(\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2x+8}-2}{\sqrt{x+2}}=\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+8-4}{\left( \sqrt{2x+8}+2 \right)\sqrt{x+2}}=\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\sqrt{x+2}}{\left( \sqrt{2x+8}+2 \right)}=0\).
Vậy \(\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( -2 \right)\)nên hàm số liên tục tại \(x=-2.\).
Câu 6. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {4 - {x^2}} \,\,\,\,\,\, - 2 \le x \le 2\\ 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x > 2 \end{array} \right.\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:.
\(\left( I \right)\)\(f\left( x \right)\) không xác định tại \(x=3.\)
\(\left( II \right)\)\(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x=-2.\)
\(\left( III \right)\)\(\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=2\)
A. Chỉ \(\left( I \right)\).
B. Chỉ \(\left( I \right)\) và \(\left( II \right)\).
C. Chỉ \(\left( I \right)\) và \(\left( III \right)\).
D. Cả \(\left( I \right);\,\,\left( II \right);\,\,\left( III \right)\) đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
\(D=\left[ -2;\,\,2 \right]\)
\(f\left( x \right)\) không xác định tại \(x=3.\)
\(\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{4-{{x}^{2}}}=0\); \(f\left( -2 \right)=0\). Vậy hàm số liên tục tại \(x=-2.\)
\(\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{4-{{x}^{2}}}=0\); \(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=1\). Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số khi \(x\to 2.\).
Câu 7. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sin 5x}}{{5x}}\,\,\,\,\,\,x \ne 0\\ a + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\). Tìm \(a\) để \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x=0.\)
A. \(1\). B. \(-1\). C. \(-2\). D. \(2.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 5x}{5x}\,=1\); \(f\left( 0 \right)=a+2\).
Vậy để hàm số liên tục tại \(x=0\) thì \(a+2=1\Leftrightarrow a=-1\).
Câu 8. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + 1} \right)^2}{\rm{ }},x > 1\\ {x^2} + 3{\rm{ }},x < 1\\ {k^2}{\rm{ , }}x = 1 \end{array} \right.\). Tìm \(k\) để \(f\left( x \right)\) gián đoạn tại \(x=1\).
A. \(k\ne \pm 2\).
B. \(k\ne 2\).
C. \(k\ne -2\).
D. \(k\ne \pm 1\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\).
Với \(x=1\) ta có \(f\left( 1 \right)={{k}^{2}}\)
Với \(x\ne 1\) ta có
\(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+3 \right)=4\); \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{\left( x+1 \right)}^{2}}=4\) suy ra \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=4\).
Vậy để hàm số gián đoạn tại \(x=1\) khi \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne {{k}^{2}}\)\(\Leftrightarrow {{k}^{2}}\ne 4\)\(\Leftrightarrow k\ne \pm 2\).
Câu 9. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 4}}{\rm{ khi }}x \ne 4\\ \frac{1}{4}{\rm{ khi }}x = 4 \end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại \(x=4\)
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại \(x=4\)
C. Hàm số không liên tục tại \(x=4\)
D. Tất cả đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có : \(\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{4}=f(4)\)
Hàm số liên tục tại điểm \(x=4\).
Câu 10. Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\sqrt {x - 1} }} + 2{\rm{ khi }}x > 1\\ 3{x^2} + x - 1{\rm{ khi }}x \le 1 \end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất
A. Hàm số liên tục tại \(x=1\)
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại \(x=1\)
D. Tất cả đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{(x-1)(x-2)}{\sqrt{x-1}}+2 \right]=2\)
\(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 3{{x}^{2}}+x-1 \right)=3\ne \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)\)
Hàm số không liên tục tại \(x=1\).
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp xét tính liên tục của hàm số tại một điểm. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
