Phương pháp tìm giới hạn của hàm số lượng giác

Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau:

$\bullet$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1$, từ đây suy ra$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\tan x}=1$.

$\bullet$ Nếu $\underset{x\to x_0}{lim}u(x)=0\Rightarrow \underset{x\to x_0}{lim}\frac{\sin u(x)}{u(x)}=1$ và$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\tan u(x)}{u(x)}=1$.

Ví dụ 1. Tìm giới hạn $B=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\sqrt[3]{1+2\sin 2x}}{\sin 3x}$ :

 A. $+\mathrm{\infty }$                     B. $-\mathrm{\infty }$                      C. $-\frac{4}{9}$              D. 0

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có $B=\underset{x\to 0}{lim}\frac{-2\sin 2x}{\sin 3x(1+\sqrt[3]{1+2\sin 2x}+\sqrt[3]{{(1+2\sin 2x)}^2})}=-\frac{4}{9}$

Ví dụ 2. Tìm giới hạn $C=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\sin }^{2}2x}{\sqrt[3]{\cos x}-\sqrt[4]{\cos x}}$ :

A. $+\mathrm{\infty }$                     B. $-\mathrm{\infty }$                      C. $-96$                            D. 0

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: $C=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{{\sin }^{2}2x}{x^2}}{\frac{\sqrt[3]{\cos x}-1}{x^2}+\frac{1-\sqrt[4]{\cos x}}{x^2}}=-96$

Câu 1. Tìm giới hạn $A=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos ax}{x^2}$ :

A. $+\mathrm{\infty }$                     B. $-\mathrm{\infty }$                      C. $\frac{a}{2}$               D. 0

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có:$A=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2{\sin }^2\frac{ax}{2}}{x^2}=\frac{a}{2}\underset{x\to 0}{lim}{\left(\frac{\sin \frac{ax}{2}}{\frac{ax}{2}}\right)}^2=\frac{a}{2}$.

Câu 2. Tìm giới hạn $A=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1+\sin mx-\cos mx}{1+\sin nx-\cos nx}$ :

A. $+\mathrm{\infty }$                     B. $-\mathrm{\infty }$                      C. $\frac{m}{n}$              D. 0

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: $\frac{1+\sin mx-\cos mx}{1+\sin nx-\cos nx}=\frac{2{\sin }^2\frac{mx}{2}+2\sin \frac{mx}{2}\cos \frac{mx}{2}}{2{\sin }^2\frac{nx}{2}+2\sin \frac{nx}{2}\cos \frac{nx}{2}}$

             $=\frac{m}{n}\frac{\sin \frac{mx}{2}}{\frac{mx}{2}}.\frac{\frac{nx}{2}}{\sin \frac{nx}{2}}.\frac{\sin \frac{mx}{2}+\cos \frac{mx}{2}}{\sin \frac{nx}{2}+\cos \frac{nx}{2}}$

$A=\frac{m}{n}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin \frac{mx}{2}}{\frac{mx}{2}}.\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{nx}{2}}{\sin \frac{nx}{2}}.\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin \frac{mx}{2}+\cos \frac{mx}{2}}{\sin \frac{nx}{2}+\cos \frac{nx}{2}}=\frac{m}{n}$.

Câu 3. Tìm giới hạn $B=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x.\cos 2x.\cos 3x}{x^2}$ :

A. $+\mathrm{\infty }$                     B. $-\mathrm{\infty }$                      C. 3                                    D. 0

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có:

$\frac{1-\cos x.\cos 2x.\cos 3x}{x^2}$$=\frac{1-\cos x+\cos x\cos 2x(1-\cos 3x)+\cos x(1-\cos 2x)}{x^2}$  

$=\frac{1-\cos x}{x^2}+\cos x.\cos 2x\frac{1-\cos 3x}{x^2}+\cos x\frac{1-\cos 2x}{x^2}$

$B=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{x^2}+\underset{x\to 0}{lim}\cos x.\cos 2x\frac{1-\cos 3x}{x^2}+\underset{x\to 0}{lim}\cos x\frac{1-\cos 2x}{x^2}=3$ 

Câu 4. Tìm giới hạn $A=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos 2x}{2\sin \frac{3x}{2}}$ :

A. $+\mathrm{\infty }$                     B. $-\mathrm{\infty }$                      C. 1                                    D. 0

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có:$A=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\sin }^{2}x}{\sin \frac{3x}{2}}=\underset{x\to 0}{lim}x{(\frac{\sin x}{x})}^2.\frac{3}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}=0$.

Câu 5. Tìm giới hạn $B=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos 2x-\cos 3x}{x(\sin 3x-\sin 4x)}$ :

A. $+\mathrm{\infty }$                     B. $-\mathrm{\infty }$                      C. $\frac{5}{2}$               D. 0

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

$B=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\sin \frac{5x}{2}\sin \frac{x}{2}}{-2x\cos \frac{7x}{2}\sin \frac{x}{2}}=-\underset{x\to 0}{lim}(\frac{5}{2}.\frac{\sin \frac{5x}{2}}{\frac{5x}{2}}).\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\cos \frac{7x}{2}}=\frac{5}{2}$.

Câu 6. Tìm giới hạn $C=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\tan }^{2}2x}{1-\sqrt[3]{\cos 2x}}$ :

A. $+\mathrm{\infty }$                     B. $-\mathrm{\infty }$                      C. 6                                    D. 0

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

$C=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\tan }^{2}2x}{1-\sqrt[3]{\cos 2x}}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\tan }^{2}2x(1+\sqrt[3]{\cos 2x}+\sqrt[3]{{\cos }^{2}2x})}{1-\cos 2x}$

$\begin{array}{rl}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\tan }^{2}2x(1+\sqrt[3]{\cos 2x}+\sqrt[3]{{\cos }^{2}2x})}{2{\sin }^{2}x}\\ & =2\underset{x\to 0}{lim}{(\frac{\tan 2x}{2x})}^2.{(\frac{x}{\sin x})}^2(1+\sqrt[3]{\cos 2x}+\sqrt[3]{{\cos }^{2}2x}).\end{array}$

$\Rightarrow C=6$.

Câu 7. Tìm giới hạn $D=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2}{\sqrt{1+x\sin 3x}-\cos 2x}$ :

A. $+\mathrm{\infty }$                     B. $-\mathrm{\infty }$                      C. $\frac{7}{2}$               D. 0

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: $D=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\frac{\sqrt{1+x\sin 3x}-\cos 2x}{x^2}}$

Mà : $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1+x\sin 3x}-\cos 2x}{x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1+x\sin 3x}-1}{x^2}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos 2x}{x^2}$

   $=3\underset{x\to 0}{lim}(\frac{\sin 3x}{3x}.\frac{1}{\sqrt{1+x\sin 3x}+1})+2=\frac{7}{2}$.

Vậy:$D=\frac{7}{2}$.

Câu 8. Tìm giới hạn $A=\underset{x\to 1}{lim}.\frac{\sin (\pi x^m)}{\sin (\pi x^n)}$ :

 A. $+\mathrm{\infty }$                     B. $-\mathrm{\infty }$                      C. $\frac{n}{m}$              D. 0

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

$A=\underset{x\to 1}{lim}\frac{\sin \pi (1-x^m)}{\sin \pi (1-x^n)}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{\sin \pi (1-x^m)}{\pi (1-x^m)}.\underset{x\to 1}{lim}\frac{\pi (1-x^n)}{\sin \pi (1-x^n)}.\underset{x\to 1}{lim}\frac{1-x^n}{1-x^m}$

  $=\underset{x\to 1}{lim}\frac{1-x^n}{1-x^m}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{(1-x)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)}{(1-x)(x^{m-1}+x^{m-2}+...+1)}=\frac{n}{m}.$

Câu 9. Tìm giới hạn $B=\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}(\frac{\pi }{2}-x)\tan x$ :

A. $+\mathrm{\infty }$                     B. $-\mathrm{\infty }$                      C. $\frac{5}{2}$               D. 1

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có:$B=\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}(\frac{\pi }{2}-x)\frac{\sin x}{\cos \text{x}}=\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\frac{\frac{\pi }{2}-x}{\sin (\frac{\pi }{2}-x)}.\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\sin x=1$.

Câu 10. Tìm giới hạn $C=\underset{x\to 0}{lim}{x}^{\alpha }\sin \frac{1}{x}\text{ (}\alpha >0)$ :

A. $+\mathrm{\infty }$                     B. $-\mathrm{\infty }$                      C. $\frac{5}{2}$               D. 0

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có:$0\le |x^{\alpha }\sin \frac{1}{x}|<x^{\alpha }$. Mà $\underset{x\to 0}{lim}{x}^{\alpha }=0$ 

Nên theo nguyên lí kẹp$\Rightarrow A_{39}=0$.

 

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm giới hạn của hàm số lượng giác. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

• Phương pháp xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định

Chúc các em học tập tốt!