1. Phương pháp:
L = \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{P(x)}{Q(x)}\) trong đó\(P(x),Q(x)\to \infty \), dạng này ta còn gọi là dạng vô định\(\frac{\infty }{\infty }\) với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.
Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn:
+ \(\underset{\begin{smallmatrix} x\to +\infty \\ (x\to -\infty ) \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2k}}=+\infty \) ; \(\underset{\begin{smallmatrix} x\to +\infty \\ (x\to -\infty ) \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2k+1}}=+\infty \text{ }(-\infty )\).
+ \(\underset{\begin{smallmatrix} x\to +\infty \\ (x\to -\infty ) \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\frac{k}{{{x}^{n}}}=0\text{ }(n>0;k\ne 0)\).
+ \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty \text{ }(-\infty )\Leftrightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{k}{f(x)}=0\text{ }(k\ne 0)\).
Ví dụ 1. Tìm giới hạn \(D=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{1+{{x}^{4}}+{{x}^{6}}}}{\sqrt{1+{{x}^{3}}+{{x}^{4}}}}\) :
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(\frac{4}{3}\)
D. 1
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(D=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\sqrt[3]{\frac{1}{{{x}^{6}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+1}}{{{x}^{2}}\sqrt{\frac{1}{{{x}^{4}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+1}}=1\)
Ví dụ 2. Tìm giới hạn \(C=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-\sqrt{3{{x}^{2}}+2}}{5x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\) :
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(\frac{2-\sqrt{3}}{6}\)
D. 0
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(C=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-\sqrt{3+\frac{2}{{{x}^{2}}}}}{5+\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}=\frac{2-\sqrt{3}}{6}\)
2. Bài tập
Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+8x}{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x+2}\) là:
A. \(-\frac{21}{5}\).
B. \(\frac{21}{5}\).
C. \(-\frac{24}{5}\).
D. \(\frac{24}{5}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+8x}{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x+2}\) thành\(\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+8x}{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x+2}\)
\(\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+8x}{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x+2}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)}{\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}=\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}=-\frac{24}{5}.\)
Câu 2. Tìm giới hạn \(E=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(\sqrt{{{\text{x}}^{\text{2}}}-x+1}-x)\) :
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(-\frac{1}{2}\)
D. 0
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(E=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+x}=-\frac{1}{2}\)
Câu 3. Tìm giới hạn \(F=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,x(\sqrt{4{{x}^{2}}+1}-x)\) :
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(\frac{4}{3}\)
D. 0
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(F=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}\left( -\sqrt{4+\frac{1}{{{x}^{2}}}}-1 \right)=-\infty \)
Câu 4. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 4{{x}^{5}}-3{{x}^{3}}+x+1 \right)\) là:
A. \(-\infty \).
B. \(0\).
C. \(4\).
D. \(+\infty \).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 4{{x}^{5}}-3{{x}^{3}}+x+1 \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{5}}\left( 4-\frac{3}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{4}}}+\frac{1}{{{x}^{5}}} \right)=-\infty .\).
Câu 5. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x}\) là:
A. \(-\infty \).
B. \(0\).
C. \(1\).
D. \(+\infty \).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{4}}\left( 1-\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{{{x}^{3}}} \right)}=+\infty .\).
Câu 6. Tìm giới hạn \(B=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x-\sqrt{{{x}^{2}}+x+1} \right)\) :
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(\frac{4}{3}\)
D. 0
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(B=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( x-\left| x \right|\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}} \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,x\left( 1+\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}} \right)=-\infty \)
Câu 7. Tìm giới hạn \(M=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,(\sqrt{{{x}^{2}}+3x+1}-\sqrt{{{x}^{2}}-x+1})\) :
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(\frac{4}{3}\)
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(M=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3x+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}}=\left\{ \begin{align} & 2\text{ khi }x\to +\infty \\ & -2\text{ khi }x\to -\infty \\ \end{align} \right.\)
Câu 8. Tìm giới hạn \(N=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt[3]{8{{\text{x}}^{\text{3}}}+2\text{x}}-2\text{x} \right)\) :
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(\frac{4}{3}\)
D. 0
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(N=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{\sqrt[3]{{{(8{{x}^{3}}+2x)}^{2}}}+2x\sqrt[3]{8{{x}^{3}}+2x}+4{{x}^{2}}}=0\)
Câu 9. Tìm giới hạn \(H=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt[4]{16{{x}^{4}}+3x+1}-\sqrt{4{{x}^{2}}+2} \right)\) :
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(\frac{4}{3}\)
D. 0
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(H=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{16{{x}^{4}}+3x+1}-(4{{x}^{2}}+2)}{\sqrt[4]{16{{x}^{4}}+3x+1}+\sqrt{4{{x}^{2}}+2}}\)
\(=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{16{{x}^{4}}+3x+1-{{(4{{x}^{2}}+2)}^{2}}}{\left( \sqrt[4]{16{{x}^{4}}+3x+1}+\sqrt{4{{x}^{2}}+2} \right)\left( \sqrt{16{{x}^{4}}+3x+1}+4{{x}^{2}}+2 \right)}\)
\(=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-16{{x}^{2}}+3x-3}{\left( \sqrt[4]{16{{x}^{4}}+3x+1}+\sqrt{4{{x}^{2}}+2} \right)\left( \sqrt{16{{x}^{4}}+3x+1}+4{{x}^{2}}+2 \right)}\)
Suy ra \(H=0\).
Câu 10. Tìm giới hạn \(K=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-x}-2x \right)\) :
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(-\frac{1}{2}\)
D. 0
Hướng dẫn giải:
Ta có: \(K=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2{{x}^{2}}-x+1+2\sqrt{({{x}^{2}}+1)({{x}^{2}}-x)}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-x}+2x}\)
\(=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4({{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x)-{{\left( 2{{x}^{2}}+x-1 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-x}+2x \right)\left( 2\sqrt{({{x}^{2}}+1)({{x}^{2}}-x)}+2{{x}^{2}}+x-1 \right)}\)
\(=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4({{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x)-{{\left( 2{{x}^{2}}+x-1 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-x}+2x \right)\left( 2\sqrt{({{x}^{2}}+1)({{x}^{2}}-x)}+2{{x}^{2}}+x-1 \right)}\)
\(=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-8{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-2x-1}{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{x}^{2}}-x}+2x \right)\left( 2\sqrt{({{x}^{2}}+1)({{x}^{2}}-x)}+2{{x}^{2}}+x-1 \right)}=-\frac{1}{2}\)
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tính giới hạn dạng vô định \(\frac{\infty }{\infty }\). Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
