1. Phương pháp
+ Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số.
+ Nếu \(f(x)\) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng \(f({{x}_{0}})\)
+ Nếu \(f(x)\) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải).
Ví dụ 1. Tìm giới hạn hàm số \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\) bằng định nghĩa.
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(-2\) D. \(\frac{1}{4}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\frac{1}{4}\)
Ví dụ 2. Tìm giới hạn hàm số \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}-x+1}{x+2}\) bằng định nghĩa.
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(-2\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}-x+1}{x+2}=-\infty \)
2. Bài tập
Câu 1. Tìm giới hạn hàm số \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{4x-3}{x-1}\) bằng định nghĩa.
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(-2\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với mọi dãy \(({{x}_{n}}):{{x}_{n}}>1,\text{ }\forall n\) và \(\lim {{x}_{n}}=1\) ta có:\(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{4x-3}{x-1}=\lim \frac{4{{x}_{n}}-3}{{{x}_{n}}-1}=+\infty \).
Câu 2. Tìm giới hạn hàm số \(\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-1}{x-2}\) bằng định nghĩa.
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(-2\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Với mọi dãy \(({{x}_{n}}):{{x}_{n}}<2,\text{ }\forall n\) và \(\lim {{x}_{n}}=2\) ta có:\(\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-1}{x-2}=\lim \frac{3{{x}_{n}}-1}{{{x}_{n}}-2}=-\infty \).
Câu 3. Tìm giới hạn hàm số \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}+x-3}{x-1}\) bằng định nghĩa.
A. \(+\infty \) B. \(5\) C. \(-2\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Với mọi dãy \(({{x}_{n}}):\lim {{x}_{n}}=1\) ta có:\(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}+x-3}{x-1}=\lim \frac{2x_{n}^{2}+{{x}_{n}}-3}{{{x}_{n}}-1}=\lim \left( 2{{x}_{n}}+3 \right)=5\).
Câu 4. Tìm giới hạn hàm số \(\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{{{\left( 2-x \right)}^{4}}}\) bằng định nghĩa.
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(-2\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Câu 5. Tìm giới hạn hàm số \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}}{2{{x}^{2}}+1}\) bằng định nghĩa.
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(\frac{3}{2}\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Đáp số: \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}}{2{{x}^{2}}+1}=\frac{3}{2}\)
Câu 6. Tìm giới hạn hàm số \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+x-1 \right)\) bằng định nghĩa.
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(-2\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Câu 7. Tìm giới hạn hàm số \(\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-4}{\sqrt{\left( {{x}^{4}}+1 \right)\left( 2-x \right)}}\) bằng định nghĩa.
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. 0 D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 8. Tìm giới hạn hàm số \(\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+3x+2}{\left| x+1 \right|}\) bằng định nghĩa.
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(-2\) D. \(-1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Do \(x\to -{{1}^{-}}\Rightarrow \left| x+1 \right|=-(x+1)\).
Đáp số: \(\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+3x+2}{\left| x+1 \right|}=-1\).
Câu 9. Tìm giới hạn hàm số \(A=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+1}{x+1}\) bằng định nghĩa.
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(\frac{1}{2}\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:\(A=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+1}{x+1}=\frac{1-1+1}{1+1}=\frac{1}{2}\).
Câu 10. Tìm giới hạn hàm số \(B=\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\tan x+1}{\sin x+1}\) bằng định nghĩa.
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(\frac{4\sqrt{3}+6}{9}\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có \(B=\underset{x\to \frac{\pi }{6}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\tan x+1}{\sin x+1}=\frac{2\tan \frac{\pi }{6}+1}{\sin \frac{\pi }{6}+1}=\frac{4\sqrt{3}+6}{9}\).
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tính giới hạn của hàm số bằng định nghĩa. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
