1. Lý thuyết
\(\bullet \) Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số \(f\) có đạo hàm \(f'\). Nếu \(f'\) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của \(f\) và được kí hiệu là: \(f''\), tức là: \(f''=(f')'\).
\(\bullet \) Đạo hàm cấp \(n\): Cho hàm số \(f\) có đạo hàm cấp \(n-1\) (với \(n\in \mathbb{N},n\ge 2\)) là \({{f}^{(n-1)}}\). Nếu \({{f}^{(n-1)}}\) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp \(n\) của \(f\) và được kí hiệu là \({{f}^{(n)}}\), tức là:
\({{f}^{(n)}}=({{f}^{(n-1)}})'\).
Để tính đạo hàm cấp n:
-
Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n.
-
Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng.
Ví dụ. Cho hàm số \(y=\text{si}{{\text{n}}^{2}}\text{2}x\). Tính \({{y}^{\left( 4 \right)}}\left( \frac{\pi }{6} \right)\) bằng:
A. \(64\).
B. \(-64\).
C. \(64\sqrt{3}\).
D. \(-64\sqrt{3}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Vì: \({y}'=2\text{sin2}x\left( 2\text{cos2}x \right)=2\text{sin4}x\); \({y}''=8\text{cos4}x\) ; \({y}'''=-32\text{sin4}x\);
\({{y}^{\left( 4 \right)}}=-128\text{cos4}x\)\(\Rightarrow {{y}^{\left( 4 \right)}}\left( \frac{\pi }{6} \right)=64\sqrt{3}\).
2. Bài tập
Câu 1. Hàm số \(y=\frac{x}{x-2}\)có đạo hàm cấp hai là:
A. \({{y}'}'=0\).
B. \({{y}'}'=\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\).
C. \({{y}'}'=-\frac{4}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\).
D. \({{y}'}'=\frac{4}{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có \({y}'={{\left( \frac{x}{x-2} \right)}^{\prime }}=\frac{-2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\) ; \({{y}'}'={{\left( \frac{-2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}} \right)}^{\prime }}=2.\frac{2\left( x-2 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{4}}}=\frac{4}{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}\)
Câu 2. Hàm số \(y={{\left( {{x}^{2}}+\text{ }1 \right)}^{3}}\) có đạo hàm cấp ba là:
A. \({{{y}'}'}'=\text{ }12\left( {{x}^{2}}+\text{ }1 \right)\).
B. \({{{y}'}'}'=\text{ }24\left( {{x}^{2}}+\text{ }1 \right)\).
C. \({{{y}'}'}'=\text{ }24\left( 5{{x}^{2}}+\text{ }3 \right)\).
D. \({{{y}'}'}'=\text{ }12\left( {{x}^{2}}+\text{ }1 \right)\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có \(y={{x}^{6}}+3{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+1\) ; \({y}'=6{{x}^{5}}+12{{x}^{3}}+6x\)
\({{y}'}'=30{{x}^{4}}+36{{x}^{2}}+6\) ; \({{{y}'}'}'=120{{x}^{3}}+72x=24\left( 5{{x}^{2}}+3 \right)\).
Câu 3. Hàm số \(y=\sqrt{2x+5}\) có đạo hàm cấp hai bằng:
A. \({{y}'}'=\frac{1}{(2x+5)\sqrt{2x+5}}\).
B. \({{y}'}'=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}\).
C. \({{y}'}'=-\frac{1}{(2x+5)\sqrt{2x+5}}\).
D. \({{y}'}'=-\frac{1}{\sqrt{2x+5}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có \({y}'={{\left( \sqrt{2x+5} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{2\sqrt{2x+5}}=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}\)
\({{y}'}'=-\frac{{{\left( \sqrt{2x+5} \right)}^{\prime }}}{2x+5}=-\frac{\frac{2}{2\sqrt{2x+5}}}{2x+5}=-\frac{1}{\left( 2x+5 \right)\sqrt{2x+5}}\).
Câu 4. Hàm số \(y\text{ }=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}\) có đạo hàm cấp 5 bằng:
A. \({{y}^{(5)}}=-\frac{120}{{{(x+1)}^{6}}}\).
B. \({{y}^{(5)}}=\frac{120}{{{(x+1)}^{6}}}\).
C. \({{y}^{(5)}}=\frac{1}{{{(x+1)}^{6}}}\).
D. \({{y}^{(5)}}=-\frac{1}{{{(x+1)}^{6}}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có \(y=x+\frac{1}{x+1}\) \(\Rightarrow {y}'=1-\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\) .
\(\Rightarrow {{y}'}'=\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}\) \(\Rightarrow {{y}^{\left( 3 \right)}}=\frac{-6}{{{\left( x+1 \right)}^{4}}}\) \(\Rightarrow {{y}^{\left( 4 \right)}}=\frac{24}{{{\left( x+1 \right)}^{5}}}\) \(\Rightarrow {{y}^{(5)}}=-\frac{120}{{{(x+1)}^{6}}}\).
Câu 5. Hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}\) có đạo hàm cấp 5 bằng :
A. \({{y}^{\left( 5 \right)}}=-\frac{120}{{{\left( x+1 \right)}^{6}}}\).
B. \({{y}^{\left( 5 \right)}}=\frac{120}{{{\left( x+1 \right)}^{5}}}\).
C. \({{y}^{\left( 5 \right)}}=\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{5}}}\).
D. \({{y}^{\left( 5 \right)}}=-\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{5}}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \(y=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}\).
\(\Rightarrow {y}'=1-\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\); \({y}''=\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}\); \({y}'''=-\frac{6}{{{\left( x+1 \right)}^{4}}}\); \({{y}^{\left( 4 \right)}}=\frac{24}{{{\left( x+1 \right)}^{5}}}\);\({{y}^{\left( 5 \right)}}=-\frac{120}{{{\left( x+1 \right)}^{6}}}\).
Câu 6. Hàm số \(y=x\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) có đạo hàm cấp 2 bằng :
A. \({y}''=-\frac{2{{x}^{3}}+3x}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\).
B. \({y}''=\frac{2{{x}^{2}}+1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\).
C. \({y}''=\frac{2{{x}^{3}}+3x}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\).
D. \({y}''=-\frac{2{{x}^{2}}+1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \({y}'=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{2{{x}^{2}}+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\) ; \({y}''=\frac{4x\sqrt{{{x}^{2}}+1}-\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{2{{x}^{3}}+3x}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\)
Câu 7. Hàm số \(y={{\left( 2x+5 \right)}^{5}}\) có đạo hàm cấp 3 bằng :
A. \({y}'''=80{{\left( 2x+5 \right)}^{3}}\).
B. \({y}'''=480{{\left( 2x+5 \right)}^{2}}\).
C. \({y}'''=-480{{\left( 2x+5 \right)}^{2}}\).
D. \({y}'''=-80{{\left( 2x+5 \right)}^{3}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \({y}'=5{{\left( 2x+5 \right)}^{4}}\cdot 2\)\(=10{{\left( 2x+5 \right)}^{4}}\) ;\({y}''=80{{\left( 2x+5 \right)}^{3}}\); \({y}''=480{{\left( 2x+5 \right)}^{2}}\).
Câu 8. Hàm số \(y=tanx\) có đạo hàm cấp 2 bằng :
A. \({y}''=-\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x}\).
B. \({y}''=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\).
C. \({y}''=-\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\).
D. \({y}''=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \({y}'=\frac{1}{\text{co}{{\text{s}}^{2}}x}\). \({y}''=-\frac{2\text{cos}x\left( -\text{sin}x \right)}{\text{co}{{\text{s}}^{4}}x}=\frac{2\text{sin}x}{\text{co}{{\text{s}}^{3}}x}\)
Câu 9. Cho hàm số \(y=\text{sin}x\). Chọn câu sai.
A. \({y}'=\sin \left( x+\frac{\pi }{2} \right)\).
B. \({y}''=\sin \left( x+\pi \right)\).
C. \({y}'''=\sin \left( x+\frac{3\pi }{2} \right)\).
D. \({{y}^{\left( 4 \right)}}=\sin \left( 2\pi -x \right)\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \({y}'=\text{cos}x=\text{sin}\left( \frac{\pi }{2}+x \right)\) ; \({y}''=\text{cos}\left( \frac{\pi }{2}+x \right)=\text{sin}\left( \pi +x \right)\).
\({y}'''=\text{cos}\left( \pi +x \right)=\text{sin}\left( \frac{3\pi }{2}+x \right)\); \({{y}^{\left( 4 \right)}}=\text{cos}\left( \frac{3\pi }{2}+x \right)=\text{sin}\left( 2\pi +x \right)\).
Câu 10. Hàm số \(y=\frac{-2{{x}^{2}}+3x}{1-x}\) có đạo hàm cấp 2 bằng :
A. \({y}''=2+\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}\).
B. \({y}''=\frac{2}{{{\left( 1-x \right)}^{3}}}\).
C. \({y}''=\frac{-2}{{{\left( 1-x \right)}^{3}}}\).
D. \({y}''=\frac{2}{{{\left( 1-x \right)}^{4}}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \(y=2x-1+\frac{1}{1-x}\) \(\Rightarrow {y}'=2+\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}\) ; \({y}''=\frac{2}{{{(1-x)}^{3}}}\).
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về đạo hàm cấp cao của hàm số. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
