1. Phương pháp
- Gọi \(\left( \Delta \right)\) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.
- Giả sử \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) là tiếp điểm. Khi đó \({{x}_{0}}\) thỏa mãn: \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=k\)(*) .
- Giải (*) tìm \({{x}_{0}}\). Suy ra \({{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)\).
- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\)
Ví dụ. Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+8x+5\) có đồ thị là \(\left( \text{C} \right).\) Khẳng định nào sau đây đúng nhất ?
A. Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau
B. Luôn có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau
C. Hàm số đi qua điểm \(M\left( 1;17 \right)\)
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có \(y'(x)=3{{x}^{2}}-4x+8\)
Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị \(\left( \text{C} \right)\) vuông góc với nhau.
Gọi \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó.
Gọi \({{k}_{1}},{{k}_{2}}\) lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên \(\left( \text{C} \right)\) có hoành độ \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\).
Khi đó \({{k}_{1}},{{k}_{2}}=-1\Rightarrow {{y}^{'}}\left( {{x}_{1}} \right).{{y}^{'}}\left( {{x}_{2}} \right)=-1\Rightarrow \left( 3{{x}_{1}}^{2}-4{{x}_{1}}+8 \right)\left( 3{{x}_{2}}^{2}-4{{x}_{2}}+8 \right)=-1\) \(\left( 1 \right)\)
Tam thức \(f\left( t \right)=3{{t}^{2}}-4t+8\) có \(\Delta '<0\) nên \(f\left( t \right)>0\forall t\in \mathbb{R}\) từ đó và từ \(\left( 1 \right)\) suy ra mâu thuẫn.
Vậy, giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm)
2. Bài tập
Câu 1. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\frac{2-3x}{x-1}\) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành bằng :
A. \(9\).
B. \(\frac{1}{9}.\)
C. \(-9.\)
D. \(-\frac{1}{9}.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định:\(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Đạo hàm: \({y}'=\frac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}.\)
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại \(A\left( \frac{2}{3};\,\,0 \right).\)
Hệ số góc của tiếp tuyến là \({y}'\left( \frac{2}{3} \right)=9.\)
Câu 2. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\frac{{{x}^{3}}}{3}+3{{x}^{2}}-2\) có hệ số góc \(k=-9,\) có phương trình là :
A. \(y-16=-9(x+3).\)
B. \(y=-9(x+3).\)
C. \(y-16=-9(x-3).\)
D. \(y+16=-9(x+3).\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định:\(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm:\({y}'={{x}^{2}}+6x.\)
\(k=-9\Leftrightarrow {y}'\left( {{x}_{o}} \right)=-9\Leftrightarrow x_{o}^{2}+6{{x}_{o}}=-9\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{o}}+3 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow {{x}_{o}}=-3\Rightarrow {{y}_{o}}=16\)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(\left( d \right):y=-9\left( x+3 \right)+16\Leftrightarrow y-16=-9\left( x+3 \right).\)
Câu 3. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\frac{x-1}{x+1}\) tại giao điểm với trục tung bằng :
A. \(-2.\) B. \(2.\) C. \(1.\) D. \(-1.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Tập xác định:\(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}.\)
Đạo hàm: \({y}'=\frac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}.\)
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có \({{x}_{o}}=0\Rightarrow {{{y}'}_{o}}=2\).
Câu 4. Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Có bao nhiêu tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song đường thẳng \(y=9x+10?\)
A. 1. B. 3. C. 2. D. 4.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Tập xác định:\(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \({y}'=3{{x}^{2}}-6x.\)
\(k=9\Rightarrow 3x_{o}^{2}-6{{x}_{o}}-9=0\Leftrightarrow x_{o}^{2}-2{{x}_{o}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{o}}=3 \\ & {{x}_{o}}=-1 \\ \end{align} \right..\)
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5. Gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị của hàm số \(y={{x}^{4}}+x\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d:x+5y=0\) có phương trình là:
A. \(y=5x-3\). B. \(y=3x-5\). C. \(y=2x-3\). D. \(y=x+4\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có : \({y}'=4{{x}^{3}}+1\)
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y=-\frac{1}{5}x\) nên tiếp tuyến có hệ số góc \({y}'\left( {{x}_{0}} \right)=4x_{0}^{3}+1=5\) \(\Rightarrow {{x}_{0}}=1\) \(\left( {{y}_{0}}=2 \right)\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( 1;2 \right)\) có dạng
\(y=5\left( x-1 \right)+2=5x-3\).
Câu 6. Gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}+3x+2}{x-1}\). Tìm tọa độ các điểm trên \(\left( C \right)\) mà tiếp tuyến tại đó với \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng có phương trình \(y=x+4\).
A. \((1+\sqrt{3};5+3\sqrt{3}),(1-\sqrt{3};5-3\sqrt{3}).\)
B. \(\left( 2;\,\,12 \right).\)
C. \(\left( 0;\,\,0 \right).\)
D. \(\left( -2;\,\,0 \right).\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định:\(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Đạo hàm: \({y}'=\frac{\left( 2x+3 \right)\left( x-1 \right)-\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-2x-5}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}.\)
Giả sử \({{x}_{o}}\) là hoành độ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán \(\Rightarrow {y}'\left( {{x}_{o}} \right)=-1\)
\(\Rightarrow \frac{x_{o}^{2}-2{{x}_{o}}-5}{{{\left( {{x}_{o}}-1 \right)}^{2}}}=-1\Rightarrow x_{o}^{2}-2{{x}_{o}}-5=-{{\left( {{x}_{o}}-1 \right)}^{2}}\)
\(\Leftrightarrow 2x_{o}^{2}-4{{x}_{o}}-4=0\Leftrightarrow x_{o}^{2}-2{{x}_{o}}-2=0\)
\(\Leftrightarrow {{x}_{o}}=1\pm \sqrt{3}\Rightarrow y=5\pm 3\sqrt{3}.\)
Câu 7. Biết tiếp tuyến \(\left( d \right)\) của hàm số \(y={{x}^{3}}-2x+2\) vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Phương trình \(\left( d \right)\) là:
A. \(y=-x+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{18-5\sqrt{3}}{9},y=-x+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{18+5\sqrt{3}}{9}.\)
B. \(y=x,y=x+4.\)
C. \(y=-x+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{18-5\sqrt{3}}{9},y=-x-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{18+5\sqrt{3}}{9}.\)
D. \(y=x-2,y=x+4.\)
Hướng dẫn giải:
Tập xác định:\(D=\mathbb{R}.\)
Chọn C.
\({y}'=3{{x}^{2}}-2.\)
Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình \(\Delta :x=y.\)
\(\Rightarrow \left( d \right)\) có hệ số góc là \(-1.\)
\({y}'\left( {{x}_{o}} \right)=-1\Leftrightarrow 3x_{o}^{2}-2=-1\Leftrightarrow {{x}_{o}}=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.\)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
\(\left( d \right):y=-x+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{18-5\sqrt{3}}{9},\,\,y=-x-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{18+5\sqrt{3}}{9}.\)
Câu 8. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị \(y=\tan x\) tại điểm có hoành độ \(x=\frac{\pi }{4}\).
A. \(k=1\).
B. \(k=\frac{1}{2}\).
C. \(k=\frac{\sqrt{2}}{2}\).
D. \(2\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(y=\tan x\)\(\Rightarrow {y}'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\).
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị \(y=\tan x\) tại điểm có hoành độ \(x=\frac{\pi }{4}\) là \(k={y}'\left( \frac{\pi }{4} \right)=2\).
Câu 9. Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong \(y=f\left( x \right)=-\frac{1}{2}\sin \frac{x}{3}\) tại điểm có hoành độ \({{x}_{0}}=\pi \) là:
A. \(-\frac{\sqrt{3}}{12}\).
B. \(\frac{\sqrt{3}}{12}\).
C. \(-\frac{1}{12}\).
D. \(\frac{1}{12}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
\({f}'\left( x \right)=-\frac{1}{6}\cos \frac{x}{3}\) \(\Rightarrow {f}'\left( \pi \right)=-\frac{1}{6}\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{12}\)
Câu 10. Cho hàm số \(y={{x}^{3}}6{{x}^{2}}+7x+5\)\(\left( C \right)\). Tìm trên \(\left( C \right)\) những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm đó bằng \)-2\)?
A. \(\left( 1;9 \right);\,\,\left( 3;1 \right)\).
B. \(\left( 1;7 \right);\,\,\left( 3;1 \right)\).
C. \(\left( 1;7 \right);\,\,\left( 3;97 \right)\).
D. \(\left( 1;7 \right);\,\,\left( 1;9 \right)\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi \(M\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm. Ta có \({y}'=3{{x}^{2}}-12x+7\).
Hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-2\) \(\Rightarrow {y}'\left( {{x}_{0}} \right)=-2\) \(\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}-12{{x}_{0}}+7=-2\)
\(\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}-12{{x}_{0}}+9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=7 \\ & {{x}_{0}}=3\Rightarrow {{y}_{0}}=-1 \\ \end{align} \right.\)
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp viết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
