1. Phương pháp
Cho hàm số \(\left( C \right):y=f\left( x \right)\) và điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.
- Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\). Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là \(f'\left( {{x}_{0}} \right)\)
- Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: \(y=f'\left( x \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\)
Ví dụ 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C):y=3x-4{{x}^{3}}\) tại điểm có hoành độ \({{x}_{0}}=0\) là:
A. \(y=3x\).
B. \(y=0\).
C. \(y=3x-2\).
D. \(y=-12x\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \(y'=3-12{{x}^{2}}\). Tại điểm \(A\in (C)\)có hoành độ: \({{x}_{0}}=0\Rightarrow {{y}_{0}}=0\)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(A\) là : \(k=y'\left( 0 \right)=3\).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm A là : \(y=k\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\Leftrightarrow y=3x\).
Ví dụ 2. Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2\) có đồ thị hàm số \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(y''=0\) là
A. \(y=-x-\frac{7}{3}\)
B. \(y=-x+\frac{7}{3}\)
C. \(y=x-\frac{7}{3}\)
D. \(y=\frac{7}{3}x\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có \({y}'={{x}^{2}}+2x\) và \({{y}'}'=2x+2\)
Theo giả thiết \({{x}_{0}}\) là nghiệm của phương trình \({{y}'}'({{x}_{0}})=0\)\(\Leftrightarrow 2x+2=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-1\)
Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(A\left( -1;-\frac{4}{3} \right)\)là: \(y=-x-\frac{7}{3}\)
2. Bài tập
Câu 1. Cho hàm số \(y=f(x)\), có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \({{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};f({{x}_{0}}) \right)\in (C)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({{M}_{0}}\) là:
A. \(y={f}'(x)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\).
B. \(y={f}'({{x}_{0}})\left( x-{{x}_{0}} \right)\).
C. \(y-{{y}_{0}}={f}'({{x}_{0}})\left( x-{{x}_{0}} \right)\)
D. \(y-{{y}_{0}}={f}'({{x}_{0}})x\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x2 \right)\) tại điểm có hoành độ \(x=2\) là
A. \(y=8x+4\).
B. \(y=9x+18\).
C. \(y=4x+4\).
D. \(y=9x-18\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Gọi \(M\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có \({{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=0\).
\(y={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x2 \right)={{x}^{3}}-3x+2\)\(\Rightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-3\)\(\Rightarrow {y}'\left( 2 \right)=9\).
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=9\left( x-2 \right)+0\)\(\Leftrightarrow y=9x-18\).
Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số \(y=x{{\left( 3x \right)}^{2}}\) tại điểm có hoành độ \(x=2\) là
A. \(y=3x+8\).
B. \(y=3x+6\).
C. \(y=3x8\).
D. \(y=3x6\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi \(M\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}} \right)\) là tọa độ tiếp điểm.
Ta có \({{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=2\).
\(y=x{{\left( 3-x \right)}^{2}}={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x\)\(\Rightarrow {y}'=3{{x}^{2}}-12x+9\)\(\Rightarrow {y}'\left( 2 \right)=-3\).
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=-3\left( x-2 \right)+2\)\(\Leftrightarrow y=-3x+8\).
Câu 4. Cho đường cong \(\left( C \right):y={{x}^{2}}\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( 1;1 \right)\) là
A. \(y=2x+1\).
B. \(y=2x+1\).
C. \(y=2x1\).
D. \(y=2x1\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\(y={{x}^{2}}\Rightarrow {y}'=2x\).
\({y}'\left( -1 \right)=-2\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: \(y=-2\left( x+1 \right)+1\)\(\Leftrightarrow y=-2x-1\).
Câu 5. Cho hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}+x}{x-2}\). Phương trình tiếp tuyến tại \(A\left( 1;2 \right)\) là
A. \(y=4\left( x1 \right)2\).
B. \(y=5\left( x1 \right)+2\).
C. \(y=5\left( x1 \right)2\).
D. \(y=3\left( x1 \right)2\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\(y=\frac{{{x}^{2}}+x}{x-2}\Rightarrow {y}'=\frac{{{x}^{2}}-4x-2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\), \({y}'\left( 1 \right)=-5\).
Phương trình tiếp tuyến cần tìm: \(y=-5\left( x-1 \right)-2\)\(\Leftrightarrow y=-5x+3\).
Câu 6. Cho hàm số\(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}3{{x}^{2}}+7x+2\) . Phương trình tiếp tuyến tại \(A\left( 0;2 \right)\) là:
A. \(y=7x+2\).
B. \(y=7x-2\).
C. \(y=-7x+2\) .
D. \(y=-7x-2\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có : \({y}'={{x}^{2}}-6x+7\)
Hệ số góc tiếp tuyến \({y}'\left( 0 \right)=7\)
Phương trình tiếp tuyến tại \(A\left( 0;2 \right)\) :
\(y=7\left( x-0 \right)+2=7x+2\).
Câu 7. Gọi \(\left( P \right)\) là đồ thị của hàm số \(y=2{{x}^{2}}-x+3\). Phương trình tiếp tuyến với \(\left( P \right)\) tại điểm mà \(\left( P \right)\) cắt trục tung là:
A. \(y=-x+3\).
B. \(y=-x-3\).
C. \(y=4x-1\).
D. \(y=11x+3\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có : \(\left( P \right)\) cắt trục tung tại điểm \(M\left( 0;3 \right)\).
\({y}'=4x-1\)
Hệ số góc tiếp tuyến : \({y}'\left( 0 \right)=-1\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( P \right)\) tại \(M\left( 0;3 \right)\) là \(y=-1\left( x-0 \right)+3=-x+3\).
Câu 8. Đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y=\frac{3x+1}{x-1}\) cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm A có phương trình là:
A. \(y=-4x-1\).
B. \(y=4x-1\).
C. \(y=5x-1\).
D. \(y=-5x-1\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có : điểm \(A\left( 0;-1 \right)\)
\({y}'=\frac{-4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\) \(\Rightarrow \) hệ số góc tiếp tuyến \({y}'\left( 0 \right)=-4\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( 0;-1 \right)\) là :
\(y=-4\left( x-0 \right)-1=-4x-1\).
Câu 9. Cho hàm số \(y=\frac{2x-4}{x-3}\) có đồ thị là \((\text{H})\). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của \((\text{H})\) với trục hoành là:
A. \(y=2x-4\).
B. \(y=3x+1\).
C. \(y=-2x+4\).
D. \(y=2x\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Giao điểm của \((\text{H})\) với trục hoành là \(A(2;\,0)\). Ta có: \(y'=\frac{-2}{{{(x-3)}^{2}}}\Rightarrow y'(2)=-2\)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y=-2(x-2)\) hay \(y=-2x+4\).
Câu 10. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x\) tại điểm có hoành độ \({{x}_{0}}=-1\) là:
A. \(y=10x+4.\)
B. \(y=10x-5.\)
C. \(y=2x-4.\)
D. \(y=2x-5.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tập xác định:\(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm:\({y}'=3{{x}^{2}}-4x+3.\)
\({y}'\left( -1 \right)=10;\,\,y\left( -1 \right)=-6\)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(\left( d \right):y=10\left( x+1 \right)-6=10x+4.\)
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp viết tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị hàm số. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
