Lý thuyết và bài tập về phép đồng dạng

Phép biến hình \(F\) được gọi là phép đồng dạng tỉ số \(k\)\(\left( k>0 \right)\) nếu với hai điểm \(M,N\) bất kì và ảnh \(M',N'\) của chúng ta luôn có \(M'N'=k.MN\).

Nhận xét.

• Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số \(k=1\).

• Phép vị tự tỉ số \(k\)là phép đồng dạng tỉ số \(\left| k \right|\).

• Nếu thực hiện liên tiếp các phép đồng dạng thì được một phép đồng dạng.

Phép đồng dạng tỉ số k

• Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm và bảo toàn thứ tự giữa ba điểm đó.

• Biến một đường thẳng thành đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.

• Biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác đã cho, biến góc thành góc bằng nó.

• Biến đường tròn có bán kính \(R\) thành đường tròn có bán kính \(k.R\)

Hai hình được gọi là đồng dạng nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.

Ví dụ : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(I\left( 1;1 \right)\) và đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\) bán kính bằng \(2\). Gọi đường tròn \(\left( {{C}'} \right)\) là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm \(O\), góc \(45{}^\circ \) và phép vị tự tâm \(O\), tỉ số \(\sqrt{2}\). Tìm phương trình của đường tròn \(\left( {{C}'} \right)\)?

A. \({{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=8\).   

B. \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=8\).

C. \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=8\).   

D. \({{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=8\).

 Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I(1;1)\), bán kính bằng \(2\).

Gọi \(J({{x}_{J}};{{y}_{J}})\) là ảnh của \(I(1;1)\) qua phép quay tâm \(O\) góc quay \(45{}^\circ \).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_J} = 1.\cos 45^\circ - 1.\sin 45^\circ = 0\\ {y_J} = 1.\cos 45^\circ + 1.\sin 45^\circ = \sqrt 2 \end{array} \right.\). (công thức này không có trong SGK cơ bản, nếu sử dụng phải chứng minh cho hs)

Phương trình của ảnh của đường tròn qua phép quay trên là: \({{x}^{2}}+{{\left( y-\sqrt{2} \right)}^{2}}=4\,\).

Gọi \(K({{x}_{K}};{{y}_{K}})\) là ảnh của \(J\) qua phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(\sqrt{2}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{K}}=\sqrt{2}.0=0 \\ & {{y}_{K}}=\sqrt{2}.\sqrt{2}=2 \\ \end{align} \right.\). Bán kính của đường tròn qua phép vị tự này bằng \(2\sqrt{2}\).

Phương trình của ảnh của đường tròn qua phép vị tự trên là \({{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=8\).

Câu 1: Mọi phép dời hình cũng là phép đồng dạng tỉ số

A. \(k=1\)                          

B. \(k=1\)                          

C. \(k=0\)                          

D. \(k=3\)

 Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Theo tính chất của phép đồng dạng.

Câu 2: Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?

A. Phép dời là phép đồng dạng tỉ số\(k=1\)                

B. Phép đồng dạng biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

C. Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|

D. Phép đồng dạng bảo toàn độ lớn góc.

 Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Vì phép quay là phép đồng dạng mà phép quay với góc quay \(\alpha \ne k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\) thì không biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

Câu 3: Cho hình vẽ sau:

Hình 1.88

Xét phép đồng dạng biến hình thang HICD thành hình thang LJIK. Tìm khẳng định đúng :

A. Phép đối xứng trục \({{\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{N}}\!\!\text{ }}_{AC}}\)và phép vị tự \({{V}_{\left( B,2 \right)}}\)

B. Phép đối xứng tâm \({{\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{N}}\!\!\text{ }}_{I}}\)và phép vị tự \({{V}_{\left( C,\frac{1}{2} \right)}}\)

C. Phép tịnh tiến \({{T}_{\overrightarrow{AB}}}\)và phép vị tự \({{V}_{\left( I,2 \right)}}\)

D. Phép đối xứng trục \({{\text{ }\!\!\tilde{\mathrm{N}}\!\!\text{ }}_{BD}}\)và phép vị tự \({{V}_{\left( B,-2 \right)}}\)

 Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có:

\({{\text{D}}_{I}}:HICD\mapsto KIAB;\)

\({{V}_{\left( C,\frac{1}{2} \right)}}\text{:}KIAB\text{ }\mapsto LJIK\)

Do đó ta chọn đáp án B

Câu 4: Cho \(\Delta ABC\) đều cạnh 2. Qua ba phép đồng dạng liên tiếp : Phép tịnh tiến \({{T}_{\overrightarrow{BC}}}\), phép quay \(Q\left( B,\,{{60}^{o}} \right)\), phép vị tự \({{V}_{\left( A,\,3 \right)}}\),\(\Delta ABC\) biến thành \(\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\). Diện tích \(\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\) là :

A. \(5\sqrt{2}\)                           

B. \(9\sqrt{3}\)        

C. \(9\sqrt{2}\)   

D. \(5\sqrt{3}\)

 Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Do phép tịnh tiến và phép quay bảo toàn khoảng cách giữa các cạnh nên phép tịnh tiến \({{T}_{\overrightarrow{BC}}}\), phép quay \(Q\left( B,{{60}^{o}} \right)\), phép vị tự \({{V}_{\left( A,3 \right)}}\),\(\Delta ABC\) biến thành \(\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\) thì \({{A}_{1}}{{B}_{1}}=3AB=6\)

Tam giác đều \(\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\) có cạnh bằng 6\(\Rightarrow {{S}_{\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}=\frac{{{6}^{2}}\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\).

Câu 5: Cho hình vuông \(ABCD;\text{ }P\)thuộc cạnh \(AB.\text{ }H\)là chân đường vuông góc hạ từ \(B\)đến\(PC\). Phép đồng dạng biến tam giác \(BHC\) thành tam giác\(PHB\). Tìm ảnh của \(B\)và \(D\)

A. \(P\text{ }v\grave{a}\text{ }Q\) (\(Q\in BC\) và \(BQ=BP\))

B. \(C\text{ }v\grave{a}\text{ }Q\) (\(Q\in BC\) và \(BQ=BP\))

C. \(H\text{ }v\grave{a}\text{ }Q\)

D. \(P\text{ }v\grave{a}\text{ }C\)

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Câu 6: Các phép biến hình biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó có thể kể ra là:

A. Phép vị tự.     

B. Phép đồng dạng, phép vị tự.   

C. Phép đồng dạng, phép dời hình, phép vị tự.          

D. Phép dời dình, phép vị tự.

 Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Câu 7: Cho tam giác \(ABC\text{ }v\grave{a}\text{ }ABC\) đồng dạng với nhau theo tỉ số \(k\). Chọn câu sai.

A. \(k\) là tỉ số hai trung tuyến tương ứng

B. \(k\) là tỉ số hai đường cao tương ứng

C. \(k\) là tỉ số hai góc tương ứng            

D. \(k\)là tỉ số hai bán kính đường tròn ngoại tiếp tương ứng

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Câu 8: Trong măt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(M\left( 2;4 \right).\) Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số \(k=\frac{1}{2}\) và phép đối xứng qua trục Oy sẽ biến M thành điểm nào trong các điểm sau?

A. \(\left( 1;2 \right).\)  

B. \(\left( -2;4 \right).\)     

C. \(\left( -1;2 \right).\)                      

D. \(\left( 1;-2 \right).\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: \({M}'={{V}_{\left( O,\frac{1}{2} \right)}}\left( M \right);{M}''={{D}_{Oy}}\left( {{V}_{\left( O;\frac{1}{2} \right)}}\left( M \right) \right).\)

Tọa độ điểm \({M}'\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x' = 2.\frac{1}{2} + \left( {1 - \frac{1}{2}} \right)0}\\ {y' = 4.\frac{1}{2} + \left( {1 - \frac{1}{2}} \right)0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x' = 1}\\ {y' = 2} \end{array}} \right..\)

Tọa độ điểm \({M}''\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x' = - x}\\ {y' = y} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x' = - 1}\\ {y' = 2} \end{array}} \right..\)

Câu 9: Trong măt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng d có phương trình \(2x-y=0.\) Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k=-2 và phép đối xứng qua trục Oy sẽ biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng sau?

A. \(2x-y=0.\) 

B. \(2x+y=0.\)                

C. \(4x-y=0.\)    

D. \(2x+y-2=0.\)

 Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Tâm vị tự O thuộc đường thẳng d nên \(d={{V}_{(O;-2)}}(d)\).

\({d}'={{D}_{Oy}}(d)\) có phương trình là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x' = - x}\\ {y' = y} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - x'}\\ {y = y'} \end{array}} \right..\)

Mà \(2x-y=0\Leftrightarrow 2\left( -{x}' \right)-{y}'=0\Leftrightarrow 2{x}'+{y}'=0.\)

Câu 10: Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4\). Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k=\frac{1}{2}\) và phép quay tâm \(O\) góc \({{90}^{0}}\) sẽ biến \(\left( C \right)\)thành đường tròn nào trong các đường tròn sau?

A. \({{\left( x2 \right)}^{2}}+{{\left( y2 \right)}^{2}}=1\)  

B. \({{\left( x1 \right)}^{2}}+{{\left( y1 \right)}^{2}}=1\)

C. \({{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y1 \right)}^{2}}=1\)   

D. \({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y1 \right)}^{2}}=1\)

 Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( 2;2 \right)\) bán kính \(R=2\)

Qua \(V\left( O;\frac{1}{2} \right):\left( C \right)\to \left( C' \right)\) nên \((C')\) có tâm \({I}'\left( x;y \right)\) và bán kính \({R}'=\frac{1}{2}R=1\)

Mà : \(\overrightarrow {OI'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OI} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x' = \frac{1}{2}x\\ y' = \frac{1}{2}y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1 \end{array} \right. \Rightarrow I'\left( {1;1} \right)\)

Qua \(Q(O;{{90}^{0}}):(C')\to (C'')\) nên \((C'')\) có tâm \({{I}'}'\left( -1;1 \right)\) bán kính \({{R}'}'={R}'=1\) ( vì góc quay \({{90}^{0}}\) ngược chiều kim đồng hồ biến \({I}'\left( 1;1 \right)\) thành \({{I}'}'\left( -1;1 \right)\) )

Vậy \(\left( {{{C}'}'} \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y1 \right)}^{2}}=1\)

Giả sử đường thẳng \(d:\,ax+by+c=0\) ( với \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}>0\) ) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{v}=(a;b)\)

Gọi \(M(x;y)\in d\), \(I({{x}_{0}};{{y}_{0}})\)

\({M}'\) là ảnh của M qua \(V\left( I;k \right)\) khi đó \(\overrightarrow {IM'} = k\overrightarrow {IM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x' = k(x - {x_0})\\ y' = k(y - {y_0}) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{x' + k{x_0}}}{k}\\ y = \frac{{y' + k{y_0}}}{k} \end{array} \right.\)

Do \(M\in d\) nên \(a\frac{{x}'+k{{x}_{0}}}{k}+b\frac{{y}'+k{{y}_{0}}}{k}+c=0\Leftrightarrow \frac{a}{k}{x}'+\frac{b}{k}{y}'+c+a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}=0\)

Nên phương trình ảnh \({d}'\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{{{v}'}}=k\left( a;b \right)\) do đó \(d\) và \({d}'\)song song hoặc trùng nhau.

Chú ý: loại phép dời hình và phép đồng dạng vì phép quay cũng là phép dời hình và đồng dạng

 

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về phép đồng dạng. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Định nghĩa và các tính chất của phép quay

• Lý thuyết và bài tập về phép vị tự

Chúc các em học tập tốt!