Phương pháp tính giá trị, chứng minh, giải PT, BPT, HPT có chứa $P_n,A_n^k,C_n^k$

Dựa vào công thức tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị để chuyển phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tổ hợp về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số.

Ví dụ: Giải bất phương trình sau:$\frac{P_{x+5}}{(x-k)!}\le 60A_{x+3}^{k+2}$

A. $(x;k)=(0;0),(1;1),(3;3)$ 

B. $(x;k)=(0;0),(1;0),(2;2)$

C. $(x;k)=(1;0),(1;1),(2;2),(3;3)$ 

D. $(x;k)=(0;0),(1;0),(1;1),(2;2),(3;3)$

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}k,x\in N\\ k\le x\end{array}$

Bpt $\iff (x+4)(x+5)(x+1-k)\le 60$

$\bullet$$x\ge 4\Rightarrow$ bất phương trình vô nghiệm

$\bullet$ $0\le x\le 4$ ta có các cặp nghiệm: $(x;k)=(0;0),(1;0),(1;1),(2;2),(3;3)$.

Câu 1: Cho $C_n^{n-3}=1140$. Tính $A=\frac{A_n^6+A_n^5}{A_n^4}$

A. 256                                B. 342                                C. 231                                D. 129

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

ĐK: $\{\begin{array}{rl}& n\in \mathbb{N}\\ & n\ge 6\end{array}$

Ta có: $C_n^{n-3}=1140\iff \frac{n!}{3!(n-3)!}=1140\iff n=20$

Khi đó: $A=\frac{n(n-1)...(n-5)+n(n-1)...(n-4)}{n(n-1)...(n-3)}=n-4+(n-4)(n-5)=256$

Câu 2: Tính $B=\frac{1}{A_2^2}+\frac{1}{A_3^2}+...+\frac{1}{A_n^2}$, biết $C_n^1+2\frac{C_n^2}{C_n^1}+...+n\frac{C_n^n}{C_n^{n-1}}=45$

A. $\frac{9}{10}$            

B. $\frac{10}{9}$            

C. $\frac{1}{9}$              

D. 9

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: $C_n^1=n$; $2\frac{C_n^2}{C_n^1}=2.\frac{\frac{n!}{2!.(n-2)!}}{\frac{n!}{1!.(n-1)!}}=n-1$;.; $n\frac{C_n^n}{C_n^{n-1}}=\frac{1}{\frac{n!}{1!.(n-1)!}}=1$

Nên $C_n^1+2\frac{C_n^2}{C_n^1}+...+n\frac{C_n^n}{C_n^{n-1}}=45\iff \frac{n(n-1)}{2}=45\iff n=10$

$B=\frac{1}{A_2^2}+\frac{1}{A_3^2}+...+\frac{1}{A_n^2}=1-\frac{1}{n}=\frac{9}{10}$.

Câu 3: Tính $M=\frac{A_{n+1}^4+3A_n^3}{(n+1)!}$, biết $C_{n+1}^2+2C_{n+2}^2+2C_{n+3}^2+C_{n+4}^2=149$.

A. $\frac{9}{10}$            

B. $\frac{10}{9}$            

C. $\frac{1}{9}$              

D. $\frac{3}{4}$

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}n\in N\\ n\ge 3\end{array}$

Ta có: $C_{n+1}^2+2C_{n+2}^2+2C_{n+3}^2+C_{n+4}^2=149$

$\iff \frac{(n+1)!}{2!(n-1)!}+2\frac{(n+2)!}{2!n!}+2\frac{(n+3)!}{2!(n+1)!}+\frac{(n+4)!}{2!(n+2)!}=149\iff n=5$

Do đó: $M=\frac{A_6^4+3A_5^3}{6!}=\frac{3}{4}$.

Câu 4: Cho biết $C_n^{n-k}=28$. Giá trị của n và k lần lượt là:

A. 8 và 4.    

B. 8 và 3.

C. 8 và 2.

D. Không thể tìm được.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Thử đáp án, dễ dàng tìm được n=8 và k=2.

Câu 5: Nếu $A_x^2=110$ thì:

A. $x=10$.    

B. $x=11$

C. $x=11$ hay $x=10$.  

D. $x=0$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Điều kiện: $x\in \mathbb{Z},x\ge 2$

Ta có: $A_x^2=110\iff \frac{x!}{\left(x-2\right)!}=110\iff x(x-1)=110\iff [\begin{array}{l}x=11\\ x=-10\end{array}$.

So sánh điều kiện ta nhận $x=11$.

Câu 6: Nếu 2A⁴_n = 3A⁴_n-1 thì n bằng:

A. n = 11.                         

B. n = 12.                         

C. n = 13.                         

D. n = 14.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Câu 7:  Kết quả nào sau đây sai:

A. C⁰_n+1 = 1.                       

B. Cⁿ_n = 1.                         

C. C¹_n = n + 1.                    

D. C^n-1_n = n.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Vì C1n = 1 nên câu C sai

Câu 8: Nghiệm của phương trình $A_n^3=20n$ là

A. $n=6$.                         

B. $n=5$.                         

C. $n=8$.                         

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

PT$\iff \frac{n!}{(n-3)!}=20n,(n\in \mathbb{N},n\ge 3)$$\iff n(n-1)(n-2)=20n$

$\iff (n-1)(n-2)=20$$\iff n^2-3n-18=0$

$\iff [\begin{array}{l}n=6\left(nhan\right)\\ n=-3\left(loai\right)\end{array}$$\iff n=6$.

Câu 9: Giá trị của $n\in \mathbb{N}$ thỏa mãn đẳng thức $C_n^6+3C_n^7+3C_n^8+C_n^9=2C_{n+2}^8$là

A. $n=18$.                       

B. $n=16$.                       

C. $n=15$.                       

D. $n=14$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

PP sử dụng máy tính để chọn đáp số đúng (PP trắc nghiệm):

+ Nhập PT vào máy tính: $C_n^6+3C_n^7+3C_n^8+C_n^9-2C_{n+2}^8=0$

+ Tính (CALC) lần lượt với $X=18$ (không thoả); với $X=16$ (không thoả); với $X=15$ (thoả), với $X=14$ (không thoả)

Câu 10: Giá trị của $n$ thỏa mãn $3A_n^2-A_{2n}^2+42=0$là

A. $9$.                             

B. $8$.                                  

C. $6$.                        

D. $10$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

* PP tự luận:

+ PT $\iff 3.\frac{n!}{(n-2)!}-\frac{\left(2n\right)!}{(2n-2)!}+42=0,(n\in \mathbb{N},n\ge 2)$

$\iff 3n(n-1)-2n.(2n-1)+42=0$$\iff -n^2-n+42=0$ $\iff [\begin{array}{l}n=6\left(nhan\right)\\ n=-7\left(loai\right)\end{array}$ $\iff n=6$.

* PP trắc nghiệm:

+ Nhập vào máy tính PT $3A_n^2-A_{2n}^2+42=0$.

+ Tính (CALC) lần lượt với $X=9$ (không thoả); với $X=8$ (không thoả), với $X=6$ (thoả), với $X=10$ (không thoả).

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tính giá trị, chứng minh, giải PT, BPT, HPT có chứa $P_n,A_n^k,C_n^k$. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp xác định cấp số nhân và các yếu tố của cấp số nhân

• Phương pháp tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng

Chúc các em học tập tốt!