1. Phương pháp
\(\bullet \) Dãy số \(({{u}_{n}})\) là một cấp số cộng \(\Leftrightarrow {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=d\) không phụ thuộc vào n và d là công sai.
\(\bullet \) Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng \(\Leftrightarrow a+c=2b\).
\(\bullet \) Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({{u}_{1}}\) và d.
Ví dụ: Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có: \({{u}_{1}}=-0,3;\,\,{{u}_{8}}=8\). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4.
B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5.
C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,6.
D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \({{u}_{8}}=8\Leftrightarrow {{u}_{1}}+7d=8\Leftrightarrow 0,3+7d=8\Leftrightarrow d=\frac{11}{10}\)
Số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là: \({{u}_{n}}=0,3+\frac{11}{10}\left( n-1 \right)\) \(\Rightarrow {{u}_{7}}=6,9\)
2. Bài tập
Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số \(-\frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2};\,1;\frac{3}{2};.....\) là một cấp số cộng: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = - \frac{1}{2}\\ d = \frac{1}{2} \end{array} \right.\).
B. Dãy số \(\frac{1}{2};\,\frac{1}{{{2}^{2}}};\,\frac{1}{{{2}^{3}}};.....\) là một cấp số cộng: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = \frac{1}{2}\\ d = \frac{1}{2};n = 3 \end{array} \right.\).
C. Dãy số :\(~\text{ }2;\text{ }\text{ }2;\text{ }\text{ }2;\text{ }\text{ }2;\text{ }\ldots ~\) là cấp số cộng \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = - 2\\ d = 0 \end{array} \right.\).
D. Dãy số: \(0,1;\text{ }0,01;\text{ }0,001;\text{ }0,0001;\text{ }\ldots \) không phải là một cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Dãy số \(\frac{1}{2};\,\frac{1}{{{2}^{2}}};\,\frac{1}{{{2}^{3}}};.....\) không phải cấp số cộng do \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} = \frac{1}{2}\\ d = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Rightarrow {u_2} = 1\).
Câu 2: Cho một cấp số cộng có \({{u}_{1}}=-\frac{1}{2};\,\,d=\frac{1}{2}\). Hãy chọn kết quả đúng
A. Dạng khai triển : \(-\frac{1}{2};\,0;\,1;\,\frac{1}{2};\,1....\)
B. Dạng khai triển : \(-\frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2}.....\)
C. Dạng khai triển : \(\frac{1}{2};\,1;\,\frac{3}{2};\,2;\,\frac{5}{2};.....\)
D. Dạng khai triển: \(-\frac{1}{2};\,0;\,\frac{1}{2};\,1;\,\frac{3}{2}.....\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu 3. Cho một cấp số cộng có \({{u}_{1}}=-3;\,\,{{u}_{6}}=27\). Tìm \(d\) ?
A. \(d=5\). B. \(d=7\). C. \(d=6\). D. \(d=8\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \({{u}_{6}}=27\Leftrightarrow {{u}_{1}}+5d=27\Leftrightarrow -3+5d=27\Leftrightarrow d=6\)
Câu 4: Cho một cấp số cộng có \({{u}_{1}}=\frac{1}{3};\,\,{{u}_{8}}=26\) Tìm \(d\)?
A. \(d=\frac{11}{3}\).
B.\(d=\frac{3}{11}\).
C. \(d=\frac{10}{3}\).
D. \(d=\frac{3}{10}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \({{u}_{8}}=26\Leftrightarrow {{u}_{1}}+7d=26\Leftrightarrow \frac{1}{3}+7d=26\Leftrightarrow d=\frac{11}{3}\)
Câu 5: Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có: \({{u}_{1}}=-0,1;\,\,d=0,1\). Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:
A. \(1,6\). B. \(6\). C. \(~0,5\). D. \(0,6\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là: \({{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right).0,1\Rightarrow {{u}_{7}}=-0,1+\left( 7-1 \right).0,1=\frac{1}{2}\)
Câu 6. Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có: \({{u}_{1}}=-0,1;\,\,d=1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6.
B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6.
C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5
D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Số hạng tổng quát của cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) là: \({{u}_{n}}=-0,1+\left( n-1 \right).1=n-\frac{11}{10}\).
Giả sử tồn tại \(k\in {{\mathbb{N}}^{*}}\) sao cho \({{u}_{k}}=0,5\Leftrightarrow k-\frac{11}{10}=0,5\Leftrightarrow k=\frac{8}{5}\)(loại). Tương tự số 0,6
Câu 7: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.
A. \(1,5,6,8\) B. \(2,4,6,8\) C. \(1,4,6,9\) D. \(1,4,7,8\)
Hướng dẫn giải:
Giả sử bốn số hạng đó là \(a-3x;a-x;a+x;a+3x\) với công sai là \(d=2x\). Khi đó, ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {a - 3x} \right) + \left( {a - x} \right) + \left( {a + x} \right) + \left( {a + 3x} \right) = 20}\\ {{{\left( {a - 3x} \right)}^2} + {{\left( {a - x} \right)}^2} + {{\left( {a + x} \right)}^2} + {{\left( {a + 3x} \right)}^2} = 120} \end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4a = 20}\\ {4{a^2} + 20{x^2} = 120} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a = 5}\\ {x = \pm 1} \end{array}} \right.\)
Vậy bốn số cần tìm là \(2,4,6,8\).
Chú ý:
* Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn.
* Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai \(d=x\), là chẵn thì gọi công sai \(d=2x\) rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng.
* Nếu cấp số cộng \(({a_n})\) thỏa: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n} = p}\\ {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2 = {s^2}} \end{array}} \right.\) thì:
\({{a}_{1}}=\frac{1}{n}\left[ p-\frac{n\left( n-1 \right)}{2}.d \right]\) và \(d=\pm \sqrt{\frac{12\left( n{{s}^{2}}-{{p}^{2}} \right)}{{{n}^{2}}\left( {{n}^{2}}-1 \right)}}\).
Câu 8: Cho CSC \(({{u}_{n}})\) thỏa : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\ {{u_4} + {u_6} = 26} \end{array}} \right.\)
1. Xác định công sai và;
A. \(d=2\) B. \(d=4\) C. \(d=3\) D. \(d=5\)
2. công thức tổng quát của cấp số
A. \({{u}_{n}}=3n-2\) B. \({{u}_{n}}=3n-4\) C. \({{u}_{n}}=3n-3\) D. \({{u}_{n}}=3n-1\)
2. Tính \(S={{u}_{1}}+{{u}_{4}}+{{u}_{7}}+...+{{u}_{2011}}\).
A. \(S=673015\) B. \(S=6734134\) C. \(S=673044\) D. S = 141
Hướng dẫn giải:
Gọi d là công sai của CSC, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} ({u_1} + d) - ({u_1} + 2d) + ({u_1} + 4d) = 10\\ ({u_1} + 3d) + ({u_1} + 5d) = 26 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 3d = 10\\ {u_1} + 4d = 13 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 1\\ d = 3 \end{array} \right.\)
1. Ta có công sai \(d=3\) và số hạng tổng quát : \({{u}_{n}}={{u}_{1}}+(n-1)d=3n-2\).
2. Ta có các số hạng \({{u}_{1}},{{u}_{4}},{{u}_{7}},...,{{u}_{2011}}\) lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai \(d'=3d\), nên ta có: \(S=\frac{670}{2}\left( 2{{u}_{1}}+669d' \right)=673015\)
Câu 9: Cho cấp số cộng \(({{u}_{n}})\) thỏa: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_5} + 3{u_3} - {u_2} = - 21\\ 3{u_7} - 2{u_4} = - 34 \end{array} \right.\).
1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;
A. \({{u}_{100}}=-243\) B. \({{u}_{100}}=-295\) C. \({{u}_{100}}=-231\) D. \({{u}_{100}}=-294\)
2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;
A. \({{S}_{15}}=-244\) B. \({{S}_{15}}=-274\) C. \({{S}_{15}}=-253\) D. \({{S}_{15}}=-285\)
3. Tính \(S={{u}_{4}}+{{u}_{5}}+...+{{u}_{30}}\).
A. \(S=-1286\) B. \(S=-1276\) C. \(S=-1242\) D. \(S=-1222\)
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết bài toán, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) - ({u_1} + d) = - 21\\ 3({u_1} + 6d) - 2({u_1} + 3d) = - 34 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 3d = - 7\\ {u_1} + 12d = - 34 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} = 2\\ d = - 3 \end{array} \right.\).
1. Số hạng thứ 100 của cấp số: \({{u}_{100}}={{u}_{1}}+99d=-295\)
2. Tổng của 15 số hạng đầu: \({{S}_{15}}=\frac{15}{2}\left[ 2{{u}_{1}}+14d \right]=-285\)
3. Ta có: \(S={{u}_{4}}+{{u}_{5}}+...+{{u}_{30}}=\frac{27}{2}\left[ 2{{u}_{4}}+26d \right]\)
\(=27\left( {{u}_{1}}+16d \right)=-1242\).
Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau:
\(S={{S}_{30}}-{{S}_{3}}=15\left( 2{{u}_{1}}+29d \right)-\frac{3}{2}\left( 2{{u}_{1}}+2d \right)=-1242\).
Câu 10 : Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\ {{u_4} + {u_6} = 26} \end{array}} \right.\)
1. Xác định công sai?
A. d=3 B. d=5 C. d=6 D. d=4
2. Tính tổng \(S={{u}_{5}}+{{u}_{7}}+\ldots +{{u}_{2011}}\)
A. \(S=3028123\) B. \(S=3021233\) C. \(S=3028057\) D. \(S=3028332\)
Hướng dẫn giải:
1. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {u_1} + d - ({u_1} + 2d) + {u_1} + 4d = 10\\ {u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {u_1} + 3d = 10\\ {u_1} + 4d = 13 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow {{u}_{1}}=1,d=3\);\({{u}_{5}}={{u}_{1}}+4d=1+12=13\)
2. Ta có \({{u}_{5}},{{u}_{7}},...,{{u}_{2011}}\) lập thành CSC với công sai \(d=6\) và có 1003 số hạng nên \(S=\frac{1003}{2}\left( 2{{u}_{5}}+1002.6 \right)=3028057\).
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
