Phương pháp tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng

\(\bullet \) \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành CSC \(\Leftrightarrow a+c=2b\)

Ví dụ: Xác định m để:

1. Phương trình \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+m=0\) có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. \(m=16\)                       

B. \(m=11\)                       

C. \(m=13\)                       

D. \(m=12\)       

2. Phương trình \({{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+2m+1=0\) (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. \(m=2\) hoặc \(m=-\frac{4}{9}\) 

B. \(m=4\) hoặc \(m=-\frac{4}{9}\)

C. \(m=4\) hoặc \(m=-2\)  

D. \(m=3\) hoặc \(m=-1\)      

Hướng dẫn giải:

1. Giải sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Khi đó:\({{x}_{1}}+{{x}_{3}}=2{{x}_{2}},{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=3\Rightarrow {{x}_{2}}=1\)

Thay vào phương trình ta có : \(m=11\).

Với \(m=11\) ta có phương trình :\({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x+11=0\)

\(\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x-11 \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=1-\sqrt{12},{{x}_{2}}=1,{{x}_{3}}=1+\sqrt{12}\)

Ba nghiệm này lập thành CSC.

Vậy \(m=11\) là giá trị cần tìm.

2. Đặt \(t={{x}^{2}},t\ge 0\).

Phương trình trở thành: \({{t}^{2}}-2\left( m+1 \right)t+2m+1=0\) (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt \({{t}_{2}}>{{t}_{1}}>0\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta ' > 0}\\ {P > 0}\\ {S > 0} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {m + 1} \right)}^2} - \left( {2m + 1} \right) > 0}\\ {2m + 1 > 0}\\ {2\left( {m + 1} \right) > 0} \end{array} \Leftrightarrow } \right. - \frac{1}{2} < m \ne 0\)

Khi đó PT(2) có bốn nghiệm là: \(-\sqrt{{{t}_{2}}};-\sqrt{{{t}_{1}}};\sqrt{{{t}_{1}}};\sqrt{{{t}_{2}}}\)

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi : 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \sqrt {{t_2}} + \sqrt {{t_1}} = - 2\sqrt {{t_1}} }\\ { - \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 2\sqrt {{t_1}} } \end{array}} \right. \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} = 3\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}\)

Theo định lý viet thì : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{t_1} + {t_2} = 2\left( {m + 1} \right)}\\ {{t_1}{t_2} = 2m + 1} \end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{t_1} + 9{t_1} = 2\left( {m + 1} \right)}\\ {{t_1}9{t_1} = 2m + 1} \end{array}} \right. \Rightarrow 9{m^2} - 32m - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = 4}\\ {m = - \frac{4}{9}} \end{array}} \right.\)

Vậy \(m=4\) hoặc \(m=-\frac{4}{9}\) là những giá trị cần tìm

Câu 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. \({{a}^{2}}+{{c}^{2}}=2ab+2bc\).   

B. \({{a}^{2}}-{{c}^{2}}=2ab-2bc\).                                 

C. \({{a}^{2}}+{{c}^{2}}=2ab-2bc\).

D. \({{a}^{2}}-{{c}^{2}}=ab-bc\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:

\(b-a=c-b\Leftrightarrow {{\left( b-a \right)}^{2}}={{\left( c-b \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}-{{c}^{2}}=2ab-2bc\).

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 2: Cho \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. \({{a}^{2}}+{{c}^{2}}=2ab+2bc+2ac\).            

B. \({{a}^{2}}-{{c}^{2}}=2ab+2bc-2ac\).

C. \({{a}^{2}}+{{c}^{2}}=2ab+2bc-2ac\).             

D. \({{a}^{2}}-{{c}^{2}}=2ab-2bc+2ac\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

\(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

\(b-a=c-b\Leftrightarrow {{\left( b-a \right)}^{2}}={{\left( c-b \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}-{{c}^{2}}=2ab-2bc\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{c}^{2}}=2{{c}^{2}}+2ab-2bc=2ab+2c\left( c-b \right) \\ & \text{ }=2ab+2c\left( b-a \right)=2ab+2bc-2ac \\ \end{align}\)

Câu 3: Cho \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng ?

A. \(2{{b}^{2}},a,{{c}^{2}}\).   

B. \(-2b,-2a,-2c\).              

C. \(2b,a,c\).   

D. \(2b,-a,-c\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có \(a,b,c\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi \(a+c=2b\)

\(\Leftrightarrow -2\left( b+c \right)=-2.2a\Leftrightarrow \left( -2b \right)+\left( -2c \right)=2\left( -2a \right)\)

\(\Leftrightarrow -2b,-2a,-2c\) lập thành một cấp số cộng

Câu 4: Xác định \(x\) để 3 số : \(1-x;{{x}^{2}};1+x\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A. Không có giá trị nào của \(x\). 

B. \(x=\pm 2\).

C. \(x=\pm 1\). 

D. \(x=0\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ba số : \(1-x;{{x}^{2}};1+x\) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi\({{x}^{2}}-\left( 1-x \right)=1+x-{{x}^{2}}\)

 \(\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=2\Leftrightarrow x=\pm 1\) suy ra chọn đáp án C.

Câu 5: Xác định \(x\) để 3 số :\(1+2x;2{{x}^{2}}-1;-2x\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A.\(x=\pm 3\).    

B. \(x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\).

C. \(x=\pm \frac{\sqrt{3}}{4}\).

D. Không có giá trị nào của \(x\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ba số :\(1+2x;2{{x}^{2}}-1;-2x\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi

\(2{{x}^{2}}-1-1-2x=-2x-2{{x}^{2}}+1\)

\(\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}=3\Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\). Suy ra chọn đáp án B.

Câu 6: Xác định \(a\) để 3 số : \(1+3a;{{a}^{2}}+5;1-a\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A. Không có giá trị nào của \(\text{a}\).

B. \(a=0\).

C. \(a=\pm 1\)

D.\(a=\pm \sqrt{2}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ba số : \(1+3a;{{a}^{2}}+5;1-a\)theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi

\({{a}^{2}}+5-\left( 1+3a \right)=1-a-\left( {{a}^{2}}+5 \right)\)

\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}-3a+4=-{{a}^{2}}-a-4\)\(\Leftrightarrow {{a}^{2}}-a+4=0\). PT vô nghiệm

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 7: Tìm x biết :

1. \({{x}^{2}}+1,x-2,1-3x\) lập thành cấp số cộng ;

A. \(x=4,x=3\) 

B. \(x=2,x=3\)  

C. \(x=2,x=5\) 

D. \(x=2,x=1\)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: \({{x}^{2}}+1,x-2,1-3x\) lập thành cấp số cộng \(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+1+1-3x=2(x-2)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+6=0\Leftrightarrow x=2\,;\,x=3\)

Vậy \(x=2,x=3\) là những giá trị cần tìm.

Câu 8: Cho các số \(5x-y,\text{ }2x+3y,\text{ }x+2y\) lập thành cấp số cộng ; các số \({{\left( y+1 \right)}^{2}},xy+1,{{\left( x-1 \right)}^{2}}\) lập thành cấp số nhân.Tính \(x,y\)

A. \((x;y)=\left( 0;0 \right);\left( \frac{1}{3};\frac{4}{3} \right);\left( -\frac{3}{4};-\frac{3}{10} \right)\)       

B. \((x;y)=\left( 0;0 \right);\left( \frac{10}{3};\frac{4}{3} \right);\left( -\frac{3}{4};-\frac{3}{10} \right)\)

C. \((x;y)=\left( 1;0 \right);\left( \frac{11}{3};\frac{4}{3} \right);\left( -\frac{3}{4};-\frac{3}{10} \right)\)     

D. \((x;y)=\left( 0;1 \right);\left( \frac{10}{3};\frac{4}{3} \right);\left( -\frac{13}{4};-\frac{13}{10} \right)\)           

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có các số \(5x-y,\text{ }2x+3y,\text{ }x+2y\) lập thành CSC nên suy ra \(2\left( 2x+3y \right)=5x-y+x+2y\) hay \(2x=5y\) (1)

Các số \({{\left( y+1 \right)}^{2}},xy+1,{{\left( x-1 \right)}^{2}}\)lập thành CSN suy ra

\({{\left( xy+1 \right)}^{2}}={{\left( y+1 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left( 4+2y-2x \right)\left( 4xy+2x-2y \right)=0\) (2)

Thay (1) vào (2) ta được :\(\left( 4+2y-5y \right)\left( 10{{y}^{2}}+5y-2y \right)=0\)

\(\Leftrightarrow y\left( 4-3y \right)\left( 10y+3 \right)=0\Leftrightarrow y=0,y=\frac{4}{3},y=-\frac{3}{10}\).

Vậy \((x;y)=\left( 0;0 \right);\left( \frac{10}{3};\frac{4}{3} \right);\left( -\frac{3}{4};-\frac{3}{10} \right)\).

Câu 9: Tìm \(x,y\) biết: Các số \(x+5y,5x+2y,8x+y\) lập thành cấp số cộng và các số

\({{\left( y-1 \right)}^{2}},xy-1,{{\left( x+1 \right)}^{2}}\) lập thành cấp số nhân.

A. \((x;y)=\left( -\sqrt{3};\frac{3}{2} \right);\left( \sqrt{3};\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\) 

B. \((x;y)=\left( \sqrt{3};-\frac{\sqrt{3}}{2} \right);\left( -\sqrt{3};-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\)

C. \((x;y)=\left( \sqrt{3};\frac{\sqrt{3}}{2} \right);\left( \sqrt{3};\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\)    

D. \((x;y)=\left( -\sqrt{3};-\frac{\sqrt{3}}{2} \right);\left( \sqrt{3};\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\)     

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} x + 5y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\ {(x + 1)^2}{(y - 1)^2} = {(xy - 1)^2} \end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được

\((x;y)=\left( -\sqrt{3};-\frac{\sqrt{3}}{2} \right);\left( \sqrt{3};\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\).

Câu 10: Tìm \(x,y\) biết: Các số \(x+6y,5x+2y,8x+y\) lập thành cấp số cộng và các số \(x+\frac{5}{3}y,y-1,2x-3y\) lập thành cấp số nhân.

A. \((x;y)=\left( -3;-1 \right);\left( \frac{3}{8};\frac{1}{8} \right)\)           

B. \((x;y)=\left( -3;-1 \right);\left( \frac{1}{8};\frac{1}{8} \right)\)

C. \((x;y)=\left( 3;1 \right);\left( \frac{3}{8};\frac{1}{8} \right)\)  

D. \((x;y)=\left( -3;-1 \right);\left( \frac{12}{8};\frac{1}{8} \right)\)                         

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} x + 6y + 8x + y = 2(5x + 2y)\\ (x + \frac{5}{3}y)(2x - 3y) = {(y - 1)^2} \end{array} \right.\) giải hệ này ta tìm được

\((x;y)=\left( -3;-1 \right);\left( \frac{3}{8};\frac{1}{8} \right)\).

 

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng

• Phương pháp xác định cấp số nhân và các yếu tố của cấp số nhân

Chúc các em học tập tốt!