1. Dãy số tăng, dãy số giảm
- (un) là dãy số tăng ⇔ un+1 > un với \(\forall \) n \(\in\) N*.
⇔ un+1 – un > 0 với \(\forall \) n \(\in\) N* ⇔ \(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}>1\) với \(\forall \) n \(\in\) N* ( un > 0).
- (un) là dãy số giảm ⇔ un+1 < un với \(\forall \) n \(\in\) N*.
⇔ un+1 – un< 0 với \(\forall \) n \(\in\) N* ⇔ \(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}<1\) với \(\forall \) n \(\in\) N* (un > 0).
2. Dãy số bị chặn
-
(un) là dãy số bị chặn trên ⇔ \(\exists \)M \(\in\) R: un \(\le\) M, \(\forall \)n \(\in\) N*.
-
(un) là dãy số bị chặn dưới ⇔ \(\exists \)m \(\in\) R: un \(\ge\) m, \(\forall \)n \(\in\) N*.
-
(un) là dãy số bị chặn ⇔ \(\exists \)m, M \(\in\) R: m \(\le\) un \(\le\) M, \(\forall \)n \(\in\) N*.
Ví dụ: Dãy số \(({{u}_{n}})\) xác định bởi \({{u}_{n}}=\sqrt{2010+\sqrt{2010+...+\sqrt{2010}}}\) (n dấu căn)Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Tăng
B. Giảm
C. Không tăng, không giảm
D. A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có \(u_{n+1}^{2}=2010+{{u}_{n}}\) \(\Rightarrow {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=-u_{n+1}^{2}+{{u}_{n+1}}+2010\)
Bằng quy nạp ta chứng minh được \({{u}_{n}}<\frac{1+\sqrt{8041}}{2}\text{ }\forall n\)
Suy ra \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}>0\Rightarrow \) dãy \(({{u}_{n}})\) là dãy tăng.
3. Bài tập
Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: \({{u}_{n}}=\frac{3{{n}^{2}}-2n+1}{n+1}\)
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{5{{n}^{2}}+10n+2}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}>0\) nên dãy \(({{u}_{n}})\) là dãy tăng
Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: \({{u}_{n}}=n-\sqrt{{{n}^{2}}-1}\)
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Ta có: \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{1}{\left( n+1 \right)+\sqrt{{{\left( n+1 \right)}^{2}}-1}}-\frac{1}{n+\sqrt{{{n}^{2}}-1}}<0\)
Chọn B.
Nên dãy \(({{u}_{n}})\) giảm.
Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: \({{u}_{n}}=\frac{{{3}^{n}}-1}{{{2}^{n}}}\)
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{{{3}^{n}}+1}{{{2}^{n+1}}}>0\Rightarrow \)dãy \(({{u}_{n}})\) tăng.
Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: \({{u}_{n}}=\frac{n+{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{n}^{2}}}\)
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng không giảm D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \({u_1} = 0;{u_2} = \frac{1}{2};{u_3} = \frac{2}{9} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} > {u_1}}\\ {{u_3} < {u_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow \)Dãy số không tăng không giảm.
Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(({{u}_{n}})\), biết: \({{u}_{n}}=\frac{2n-13}{3n-2}\)
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số giảm, bị chặn
C. Dãy số không tăng không giảm, không bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{2n-11}{3n+1}-\frac{2n-13}{3n-2}=\frac{34}{(3n+1)(3n-2)}>0\) với mọi \(n\ge 1\).
Suy ra \({{u}_{n+1}}>{{u}_{n}}\text{ }\forall n\ge 1\Rightarrow \) dãy \(({{u}_{n}})\) là dãy tăng.
Mặt khác: \({{u}_{n}}=\frac{2}{3}-\frac{35}{3(3n-2)}\Rightarrow -11\le {{u}_{n}}<\frac{2}{3}\text{ }\forall n\ge 1\)
Vậy dãy \(({{u}_{n}})\) là dãy bị chặn.
Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(({{u}_{n}})\), biết: \({{u}_{n}}=\frac{{{n}^{2}}+3n+1}{n+1}\)
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{{{(n+1)}^{2}}+3(n+1)+1}{n+2}-\frac{{{n}^{2}}+3n+1}{n+1}\)
\(=\frac{{{n}^{2}}+5n+5}{n+2}-\frac{{{n}^{2}}+3n+1}{n+1}\)
\(=\frac{({{n}^{2}}+5n+5)(n+1)-({{n}^{2}}+3n+1)(n+2)}{(n+1)(n+2)}\)
\(=\frac{{{n}^{2}}+3n+3}{(n+1)(n+2)}>0\text{ }\forall n\ge 1\)
\(\Rightarrow {{u}_{n+1}}>{{u}_{n}}\text{ }\forall n\ge 1\Rightarrow \) dãy \(({{u}_{n}})\) là dãy số tăng.
\({{u}_{n}}>\frac{{{n}^{2}}+2n+1}{n+1}=n+1\ge 2\Rightarrow \) dãy \(({{u}_{n}})\) bị chặn dưới.
Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(({{u}_{n}})\), biết: \({{u}_{n}}=\frac{1}{\sqrt{1+n+{{n}^{2}}}}\)
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \({{u}_{n}}>0\text{ }\forall n\ge 1\)
\(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{\sqrt{{{n}^{2}}+n+1}}{\sqrt{{{(n+1)}^{2}}+(n+1)+1}}=\sqrt{\frac{{{n}^{2}}+n+1}{{{n}^{2}}+3n+3}}<1\text{ }\forall n\in \mathbb{N}*\)
\(\Rightarrow {{u}_{n+1}}<{{u}_{n}}\text{ }\forall \ge 1\Rightarrow \) dãy \(({{u}_{n}})\) là dãy số giảm.
Mặt khác: \(0<{{u}_{n}}<1\Rightarrow \) dãy \(({{u}_{n}})\) là dãy bị chặn.
Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(({{u}_{n}})\), biết: \({{u}_{n}}=\frac{{{2}^{n}}}{n!}\)
A. Dãy số tăng, bị chặn trên
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{2}^{n+1}}}{(n+1)!}:\frac{{{2}^{n}}}{n!}=\frac{{{2}^{n+1}}}{(n+1)!}.\frac{n!}{{{2}^{n}}}=\frac{2}{n+1}<1\text{ }\forall n\ge 1\)
Mà \({{u}_{n}}>0\text{ }\forall n\Rightarrow {{u}_{n+1}}<{{u}_{n}}\text{ }\forall n\ge 1\Rightarrow \) dãy \(({{u}_{n}})\) là dãy số giảm.
Vì \(0<{{u}_{n}}\le {{u}_{1}}=2\text{ }\forall n\ge 1\Rightarrow \) dãy \(({{u}_{n}})\) là dãy bị chặn.
Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số \(({{u}_{n}})\), biết: \({{u}_{n}}=1+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+...+\frac{1}{{{n}^{2}}}\).
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
C. Dãy số giảm, bị chặn trên
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{1}{{{(n+1)}^{2}}}>0\Rightarrow \) dãy \(({{u}_{n}})\) là dãy số tăng.
Do \({{u}_{n}}<1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n-1)n}=2+\frac{1}{n}\)
\(\Rightarrow 1<{{u}_{n}}<3\text{ }\forall n\ge 1\Rightarrow \) dãy \(({{u}_{n}})\) là dãy bị chặn.
Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: \({{u}_{n}}=\frac{2n+1}{n+2}\)
A. Bị chặn
B. Không bị chặn
C. Bị chặn trên
D. Bị chặn dưới
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có \(0<{{u}_{n}}<2\text{ }\forall n\) nên dãy \(({{u}_{n}})\) bị chặn
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về dãy số đơn điệu và dãy số bị chặn. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
