1. Phương pháp
\(\bullet \) Dãy số \(({{u}_{n}})\) là một cấp số nhân \(\Leftrightarrow \frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=q\) không phụ thuộc vào n và \(q\) là công bội.
\(\bullet \) Ba số \(a,b,c\) theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân \(\Leftrightarrow ac={{b}^{2}}\).
\(\bullet \) Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và công bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua \({{u}_{1}}\) và \(q\).
Ví dụ: Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
\({{u}_{n}}={{n}^{3}}\).
A. \(q=3\)
B. \(q=2\)
C. \(q=4\)
D. \(q=\varnothing \)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{(n+1)}^{3}}}{{{n}^{3}}}\Rightarrow ({{u}_{n}})\) không phải là CSN.
Ví dụ 2: Cho dãy số \(({{u}_{n}})\) với \({{u}_{n}}={{3}^{\frac{n}{2}+1}}\)
1. Tìm công bội của dãy số (un).
A. \(q=\frac{3}{2}\)
B. \(q=\sqrt{3}\)
C. \(q=\frac{1}{2}\)
D. \(q=3\)
2. Tính tổng \(S={{u}_{2}}+{{u}_{4}}+{{u}_{6}}+\ldots +{{u}_{20}}\)
A. \(S=\frac{9}{2}({{3}^{20}}+1)\)
B. \(S=\frac{9}{2}({{3}^{20}}-1)\)
C. \(S=\frac{9}{2}({{3}^{10}}-1)\)
D. \(S=\frac{7}{2}({{3}^{10}}-1)\)
3. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số.
A. 15
B. 16
C. 19
D. 17
Hướng dẫn giải:
1. Ta có: \(\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{3}^{\frac{n+1}{2}+1}}}{{{3}^{\frac{n}{2}+1}}}=\sqrt{3}\,\,,\forall n\in {{N}^{*}}\Rightarrow \)Dãy số là cấp số nhân với \({{u}_{1}}=3\sqrt{3};q=\sqrt{3}\).
2. Ta có \({{u}_{2}};{{u}_{4}};{{u}_{6}};\ldots ;{{u}_{20}}\) lập thành cấp số nhân số hạng đầu \({{u}_{2}}=9;q=3\) và có 10 số hạng nên
\(S={{u}_{2}}.\frac{1-{{3}^{10}}}{1-3}=9.\frac{{{3}^{10}}-1}{2}=\frac{9}{2}({{3}^{10}}-1)\)
3. Ta có : \({{u}_{n}}=19683\Leftrightarrow {{3}^{\frac{n}{2}+1}}={{3}^{9}}\Leftrightarrow \frac{n}{2}+1=9\Leftrightarrow n=16\)
Vậy số 19683 là số hạng thứ 16 của cấp số.
2. Bài tập
Câu 1: Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân
B. Số hạng tổng quát un = 1n =1
C. Dãy số này là cấp số nhân có u1= –1, q = –1
D. Số hạng tổng quát un = (–1)2n.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có \(1=-1(-1);\text{ }-1=1(-1)\). Vậy dãy số trên là cấp số nhân với \({{u}_{1}}=-1;\text{ q=}-\text{1}\).
Câu 2. Cho dãy số : \(1;\text{ }\frac{\text{1}}{\text{2}};\text{ }\frac{\text{1}}{\text{4}};\text{ }\frac{\text{1}}{\text{8}};\text{ }\frac{\text{1}}{\text{16}};\text{ }...\). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số này là cấp số nhân có u1= 1, q = \(\frac{1}{2}\).
B. Số hạng tổng quát un = \(\frac{1}{{{2}^{n-1}}}\).
C. Số hạng tổng quát un = \(\frac{1}{{{2}^{n}}}\).
D. Dãy số này là dãy số giảm.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có \(\frac{1}{2}=1.\frac{1}{2} ;\text{ }\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2};\text{ }\frac{1}{8}=\frac{1}{4}.\frac{1}{2};\text{ }\frac{1}{16}=\frac{1}{8}.\frac{1}{2};....\)Vậy daỹ số trên là cấp số nhân với \({{u}_{1}}=1;\text{ q=}\frac{1}{2}\).
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có :\({{u}_{n}}={{u}_{1}}{{q}^{n-1}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1}}=\frac{1}{{{2}^{n-1}}}\).
Câu 3. Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Dãy số này không phải là cấp số nhân.
B. Là cấp số nhân có \({{u}_{1}}=-1;\text{ q=1}\text{.}\)
C. Số hạng tổng quát \({{u}_{n}}={{(-1)}^{n}}.\)
D. Là dãy số giảm.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Các số hạng trong dãy giống nhau nên gọi là cấp số nhân với \({{u}_{1}}=-1;\text{ q=1}\text{.}\)
Câu 4. Cho dãy số : \(-1;\text{ }\frac{\text{1}}{\text{3}};\text{ }-\frac{\text{1}}{\text{9}};\text{ }\frac{\text{1}}{\text{27}};\text{ }-\frac{\text{1}}{\text{81}}\). Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Dãy số không phải là một cấp số nhân.
B. Dãy số này là cấp số nhân có \({{u}_{1}}=-1;\text{ q=}-\frac{1}{3}\).
C. Số hạng tổng quát.\({{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}.\frac{1}{{{3}^{n-1}}}\)
D. Là dãy số không tăng, không giảm.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \(\frac{1}{3}=-1.\left( -\frac{1}{3} \right);\text{ }-\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}.\left( -\frac{1}{3} \right);\text{ }\frac{1}{27}=-\frac{1}{9}.\left( -\frac{1}{3} \right);.......\) Vậy dãy số trên là cấp số nhân với \({{u}_{1}}=-1;\text{ q=-}\frac{1}{3}\).
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có \({{u}_{n}}={{u}_{1}}{{q}^{n-1}}=-1{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{n-1}}={{\left( -1 \right)}^{n}}.\frac{1}{{{3}^{n-1}}}\).
Câu 5. Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{1}}=-\frac{1}{2};\text{ }{{\text{u}}_{7}}=-32\). Tìm q ?
A. \(q=\pm \frac{1}{2}\).
B. \(q=\pm 2\).
C. \(q=\pm 4\).
D. \(q=\pm 1\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có \({{u}_{n}}={{u}_{1}}{{q}^{n-1}}\Rightarrow {{u}_{7}}={{u}_{1}}.{{q}^{6}}\Rightarrow {{q}^{6}}=64\Rightarrow \left[ \begin{align} & q=2 \\ & q=-2 \\ \end{align} \right.\)
Câu 6. Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với\({{u}_{1}}=-2;\text{ q=-5}\). Viết \(3\) số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ?
A. \(10;\text{ 50; }-250;\text{ }\left( -2 \right){{\left( -5 \right)}^{n-1}}\).
B. \(10;\text{ }-\text{50; }250;\text{ 2}\text{.}-{{5}^{n-1}}\).
C. \(10;\text{ }-\text{50; }250;\text{ }\left( -2 \right){{.5}^{n}}\).
D. \(10;\text{ }-\text{50; }250;\text{ }\left( -2 \right){{\left( -5 \right)}^{n-1}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có \({{u}_{2}}={{u}_{1}}.q=\left( -2 \right).\left( -5 \right)=10;\text{ }{{\text{u}}_{3}}={{u}_{2}}.q=10.\left( -5 \right)=-50;\text{ }{{\text{u}}_{4}}={{u}_{3}}.q=-50.\left( -5 \right)=250\).
Số hạng tổng quát \({{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}=\left( -2 \right).{{\left( -5 \right)}^{n-1}}\).
Câu 7. Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với\({{u}_{1}}=4;\text{ }q=-4\). Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát \({{u}_{n}}\)?
A. \(-16;\text{ 64; }-256;\text{ }-{{\left( -4 \right)}^{n}}\).
B. \(-16;\text{ 64; }-256;\text{ }{{\left( -4 \right)}^{n}}\).
C. \(-16;\text{ 64; }-256;\text{ 4}{{\left( -4 \right)}^{n}}\).
D. \(-16;\text{ 64; }-256;\text{ }{{\text{4}}^{n}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có \({{u}_{2}}={{u}_{1}}.q=4.\left( -4 \right)=-16;\text{ }{{\text{u}}_{3}}={{u}_{2}}.q=-16.\left( -4 \right)=64;\text{ }{{\text{u}}_{4}}={{u}_{3}}.q=64.\left( -4 \right)=-256\).
Số hạng tổng quát \({{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}=4.{{\left( -4 \right)}^{n-1}}\).
Câu 8. Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{1}}=-1;\text{ q=0,00001}\). Tìm \(q\) và \({{u}_{n}}\) ?
A. \(q=\frac{1}{10};\text{ }{{\text{u}}_{\text{n}}}=\frac{-1}{{{10}^{n-1}}}\)
B. \(q=\frac{-1}{10};\text{ }{{\text{u}}_{\text{n}}}=-{{10}^{n-1}}\)
C. \(q=\frac{-1}{10};\text{ }{{\text{u}}_{\text{n}}}=\frac{1}{{{10}^{n-1}}}\)
D. \(q=\frac{-1}{10};\text{ }{{\text{u}}_{\text{n}}}=\frac{{{(-1)}^{n}}}{{{10}^{n-1}}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có \({{u}_{6}}={{u}_{1}}.{{q}^{5}}\Rightarrow 0,00001=-1.{{q}^{5}}\Rightarrow q=-\frac{1}{10}\).
Số hạng tổng quát \({{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}=-1.{{\left( -\frac{1}{10} \right)}^{n-1}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{10}^{n-1}}}\).
Câu 9. Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\) với \({{u}_{1}}=-1;\text{ }q=\frac{-1}{10}\). Số \(\frac{1}{{{10}^{103}}}\) là số hạng thứ mấy của \(\left( {{u}_{n}} \right)\) ?
A. Số hạng thứ 103
B. Số hạng thứ 104
C. Số hạng thứ 105
D. Không là số hạng của cấp số đã cho.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có \({{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}\Rightarrow \frac{1}{{{10}^{103}}}=-1.{{\left( -\frac{1}{10} \right)}^{n-1}}\Rightarrow n-1=103\Rightarrow n=104\).
Câu 10. Cho cấp số nhân \(\left( {{u}_{n}} \right)\)với\({{u}_{1}}=3;\text{ q=}-2\). Số 192 là số hạng thứ mấy của \(\left( {{u}_{n}} \right)\)?
A. Số hạng thứ 5.
B. Số hạng thứ 6.
C. Số hạng thứ 7.
D. Không là số hạng của cấp số đã cho.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có \({{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}\Rightarrow 192=3.{{\left( -2 \right)}^{n-1}}\Rightarrow {{\left( -2 \right)}^{n-1}}=64\Rightarrow n-1=6\Rightarrow n=7\).
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp xác định cấp số nhân và các yếu tố của cấp số nhân. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
