Lý thuyết và bài tập về định nghĩa và các tính chất của phép đối xứng trục

Cho đường thẳng $d$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thuộc $d$ thành chính nó, biến mỗi điểm $M$ không thuộc $d$ thành điểm

$M^{\prime }$ sao cho $d$ là đường trung trực của đoạn $M{M}^{\prime }$ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng $d$, hay còn gọi là phép đối xứng trục $d$.

 Phép đối xứng trục có trục là đường thẳng $d$ được kí hiệu là $d$. Như vậy $d\left(M\right)=M^{\prime }\iff \overrightarrow{IM}=-\overrightarrow{I{M}^{\prime }}$ với $I$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $d$.

Nếu $d\left[\left(H\right)\right]=\left(H\right)$ thì $d$ được gọi là trục đối xứng của hình $\left(H\right)$.

Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Biến một đường thẳng thành đường thẳng.

Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho.

Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Ví dụ 1: Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng?

A. Không có.                    

B. Một.    

C. Hai.                              

D. Vô số

 Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Một đường tròn có vô số trục đối xứng đi qua tâm của đường tròn đó.

Vậy: Trục đối xứng thỏa yêu cầu của bài toán là đường thẳng nối hai tâm của đường tròn đã cho.

Ví dụ 2: Hình gồm hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ vuông góc với nhau đó có mấy trục đối xứng?

A. $0$.             

B. $2$.     

C. $4$.                        

D. Vô số

 Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Có bốn trục đối xứng gồm $d,d^{\prime }$ và hai đường phân giác của hai góc tạo bởi $d,d^{\prime }$.

Câu 1: Cho tam giác $ABC$ có $B,C$ cố định, $A$ di động trên đường tròn ($O;R).$ Hai đường tròn tâm $B$ và tâm $C$ qua $A$ cắt nhau tại điểm thứ 2 là $D.$ Điểm $D$ di dộng trên đường tròn cố định nào?

A. Đường tròn$(O,R).$                                                                      

B. Đường tròn $(B,BA).$

C. Đường tròn$(C,CA).$             

D. Đường tròn $(O,R),$ với $O$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC.$

 Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Câu 2: Cho góc nhọn $xOy$ và điểm $A$ thuộc miền trong của góc đó, điểm $B$ thuộc cạnh $Ox$ ($B$ khác $O$). Tìm $C$ thuộc $Oy$ sao cho chu vi tam giác $ABC$ nhỏ nhất?

A. $C$ là hình chiếu của $A$ trên $Oy.$                                                          

B. $C$ là hình chiếu của $B$ trên $Oy.$

C. $C$ là hình chiếu trung điểm $I$ của $AB$ trên $Oy.$

D. $C$ là giao điểm của $BA;A$ đối xứng với $A$ qua $Oy.$

 Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Câu 3: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. Đường tròn là hình có vô số trục đối xứng.

B. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình tròn.

C. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm những đường tròn đồng tâm.

D. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm hai đường thẳng vuông góc.

 Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Một đường tròn có vô số trục đối xứng đi qua tâm của đường tròn đó.

Câu B, C, D là khẳng định sai vì đường thẳng vẫn có vô số trục đối xứng (là các đường vuông góc với đường thẳng đó).

Câu 4: Xem các chữ cái in hoa A, B, C, D, X, Y như những hình. Khẳng định nào sau đậy đúng?

A. Hình có một trục đối xứng: A, Y các hình khác không có trục đối xứng.

B. Hình có một trục đối xứng: A, B, C, D, Y. Hình có hai trục đối xứng: X.

C. Hình có một trục đối xứng: A, B. Hình có hai trục đối xứng: D, X.

D. Hình có một trục đối xứng: C, D, Y. Hình có hai trục đối xứng: X. Các hình khác không có trục đối xứng.

 Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Câu 5: Giả sử rằng qua phép đối xứng trục ${}_a$ ($a$ là trục đối xứng), đường thẳng $d$ biến thành đường thẳng $d^{\prime }$. Hãy chọn câu sai trong các câu sau:

A. Khi $d$ song song với $a$ thì $d$ song song với $d^{\prime }$.

B. $d$ vuông góc với $a$ khi và chỉ khi $d$ trùng với $d^{\prime }$.

C. Khi $d$ cắt $a$ thì $d$ cắt $d^{\prime }$. Khi đó giao điểm của $d$ và $d^{\prime }$ nằm trên $a$.

D. Khi $d$ tạo với $a$ một góc 450 thì $d$ vuông góc với $d^{\prime }$.

 Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Khẳng định C là sai vì khi $d\mathrm{\perp }a$ thì $d\equiv d^{\prime }$.

Câu 6: Cho 3 đường tròn có bán kính bằng nhau và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau tạo thành hình $\left(H\right)$. Hỏi $\left(H\right)$ có mấy trục đối xứng?

A. 0.                                  

B. 1.                                  

C. 2.                                  

D. 3.

 Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Có 3 trục đối xứng là 3 đường trung trực của các đoạn nối tâm.

Câu 7: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.                      

B. Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.

C. Phép đối xứng trục biến tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.         

D. Phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn bằng đường tròn đã cho.

 Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Câu B sai vì thiếu trường hợp đường thẳng và trục đối xứng hợp nhau góc nhọn thì trục đối xứng là đường phân giác của đường thẳng và ảnh của nó.

Câu 8: Phát biểu nào sau đây là đúng về phép đối xứng trục $d$?

A. Phép đối xứng trục $d$ biến điểm $M$ thành điểm $M^{\prime }\iff \overrightarrow{MI}=\overrightarrow{I{M}^{\prime }}$ (I là giao điểm của M{M}' và trục $d$).

B. Nếu điểm $M$ thuộc $d$ thì ${}_d:M\to M$.

C. Phép đối xứng trục $d$ không phải là phép dời hình.

D. Phép đối xứng trục $d$ biến điểm $M$ thành điểm $M^{\prime }\iff \overrightarrow{M{M}^{\prime }}\mathrm{\perp }d$.

Câu 9: Cho đường tròn $(O;R),$ đường kính $AB.$ Điểm $M$ nằm trên $AB.$ Qua $AB.$ kẻ dây $CD$ tạo với $AB.$ một góc ${45}^0$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $D$ qua $AB.$ Tính \)M{{C}^{2}}+MD{{'}^{2}}\) theo$R$?

A. $2R^2$              

B. $4R^2$              

C. $3R^2$             

D. $\frac{3}{2}{R}^2$

 Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Câu 10: Cho 2 điểm $A,B.$ Một đường thẳng $d$ cắt đoạn thẳng $AB$ tại một điểm. Tìm trên $d$ điểm $C$ sao cho đường thẳng $d$ là phân giác trong của tam giác $ABC.$

A. A’ là điểm đối xứng của A qua $d$; A’B cắt $d$ tại $C$.                            

B. $C$ là giao điểm của $d$ và đường tròn đường kính $AB$.

C. $D$ là giao điểm của $AB$ và $d$; $C$ là giao điểm của $d$ và đường tròn tâm $D$, bán kính $DA.$

D. $D$ là giao điểm của $AB$ và $d$; $C$là giao điểm của $d$ và đường tròn tâm $D$, bán kính $DB.$

 Hướng dẫn giải:

Chọn A.

 

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về định nghĩa và các tính chất của phép đối xứng trục. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và bài tập về định nghĩa và các tính chất của phép tịnh tiến

• Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

Chúc các em học tập tốt!