Lý thuyết và bài tập về phép vị tự

Cho điểm O và số $k\ne 0$. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho $\overrightarrow{O{M}^{\prime }}=k$ $\overrightarrow{OM}$, được gọi là phép vị tự tâm $O$, tỉ số $k$

Phép vị tự tâm $O$, tỉ số $k$ và thường được kí hiệu là ${V_{(O,k)}}^{}$

- Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó

- Khi $k=1$, phép vị tự là phép đồng nhất

- Khi $k=-1$, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự

- M'=${V_{(O,k)}}^{}(M)$ $\iff M=$ $V_{(O,\frac{1}{k})}(M^{\prime })$

- Nếu phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k$ biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M', N' thì $\overrightarrow{M^{\prime }{N}^{\prime }}$ =$k\overrightarrow{MN}$ và $M^{\prime }{N}^{\prime }=|k|MN$

- Phép vị tự tỉ số $k$ có các tính chất:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng có độ dài bằng $a$ thành đoạn thẳng có độ dài bằng |k|a

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là |k|, biến góc thành góc bằng nó.

d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|R.

Cho điểm $M\left(x_0;y_0\right)$.

Phép vị tự tâm $O\left(a;b\right)$, tỉ số $k$ biến điểm $M$ thành M' có tọa độ $\left(x^{\prime };y^{\prime }\right)$ thỏa mãn: $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }-a=k\left(x_0-a\right)\\ y^{\prime }-b=k\left(y_0-b\right)\end{array}$

Ví dụ: Cho hai diểm $A,B$ phân biệt. Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:

A. Có duy nhất phép đối xứng trục biến điểm $A$ thành $B.$

B. Có duy nhất phép đối xứng tâm biến điểm $A$ thành $B.$

C. Có duy nhất phép tịnh tiến biến điểm $A$ thành $B.$

D. Có duy nhất phép vị tự biến điểm $A$ thành $B.$

 Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Có duy nhất phép đối xứng trục $d$ biến điểm $A$ thành $B$với $d$là trung trực AB ( mỗi đoạn có duy nhất một trung trực)

Có duy nhất phép đối xứng tâm I biến điểm $A$ thành $B$ (AB có duy nhất một trung điểm I)

Có duy nhất phép tịnh tiến biến điểm $A$ thành $B$ ( vì $\overrightarrow{AB}$ là duy nhất với A,B cố định cho trước)

Phép vị tự $V(I;k)\left(A\right)=B\Rightarrow \overrightarrow{IB}=k\overrightarrow{IA}$ do đó ứng với mỗi tâm vị tự I và một tỉ số $k$ cho ta một phép vị tự do đó có vô số phép vị tự.

Câu 1: Cho hai đường tròn tiếp xúc nhau ở A. Hãy chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:

A. Tiếp điểm A là tâm vị tự trong của hai đường tròn.

B. Tiếp điểm A là một trong hai tâm vị tự trong hoặc ngoài của hai đường tròn.

C. Nếu hai đường tròn đó tiếp xúc ngoài thì tiếp điểm A là tâm vị tự trong.

D. Nếu hai đường tròn đó tiếp xúc trong thì tiếp điểm A là tâm vị tự ngoài.

 Hướng dẫn giải:

Chọn A

Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau thì phép vị tự tâm A, tỉ số $k=\frac{R}{R^{\prime }}$ hoặc $k=\frac{R^{\prime }}{R}$ biến đường tròn này thành đường tròn kia. Do đó A chính là tâm vị tự ngoài. (Đáp án D đúng)

Câu 2: Cho hai đường tròn bằng nhau $(O;R)$ và $(O^{\prime };R)$. Có bao nhiêu phép vị tự biến đường tròn $(O;R)$ thành $(O^{\prime };R)$?

A. Vô số.                          

B. 1.                                  

C. 2.                                  

D. Không có.

 Hướng dẫn giải:

Chọn B

Chỉ có duy nhất một phép vị tự là phép vị tự có tâm là trung điểm của $O{O}^{\prime }$ và tỉ số vị tự bằng $-1$

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ và $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ lần lượt là trung điểm các cạnh$BC,CA,AB$. Gọi $O,G,H$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm của tam giác$ABC$. Lúc đó phép biến hình biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là:

A. $V_{(O;-\frac{1}{2})}$.                

B. $V_{(G;-\frac{1}{2})}$.         

C. $V_{(H;-\frac{1}{3})}$. 

D. $V_{(H;\frac{1}{3})}$.

 Hướng dẫn giải:

Chọn B

Ta có $\overrightarrow{G{A}^{\prime }}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GA}\Rightarrow V_{(G;-\frac{1}{2})}:A\to A^{\prime }$. $\overrightarrow{G{B}^{\prime }}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}\Rightarrow V_{(G;-\frac{1}{2})}:B\to B^{\prime }$ tương tự $C\to C^{\prime }$.

Vậy $V_{(G;-\frac{1}{2})}$ biến tam giác $ABC$ thành tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ với G là trọng tâm, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Gọi $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác $ABC$. Hỏi qua phép biến hình nào thì điểm $O$ biến thành điểm H?

A. Phép vị tự tâm G, tỉ số $2$. 

B. Phép quay tâm $O$, góc quay ${60}^0$.

C. Phép tịnh tiến theo vectơ $\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$.                     

D. Phép vị tự tâm G, tỉ số $\frac{1}{2}$.

 Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có $O{A}^{\prime }\mathrm{\perp }BC,BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }\Rightarrow O{A}^{\prime }\mathrm{\perp }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ do đó ta có $O$ chính là trực tâm của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Vì phép vị tự tâm G tỉ số $-2$ biến tam giác $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ thành $ABC$ nên sẽ biến trực tâm tam giác này thành tam giác kia, tức là $O$ biến thành điểm H.

Câu 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ$Oxy$, cho 3 điểm $I(4;-2),M(-3;5),$$M^{\prime }(1;1)$. Phép vị tự V tâm I tỷ số$k$, biến điểm $M$ thành $M^{\prime }$. Khi đó giá trị của $k$ là:

A. $-\frac{7}{3}$.    

B. $\frac{7}{3}$.    

C. $-\frac{3}{7}$.  

D. $\frac{3}{7}$.

 Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có : $\overrightarrow{IM}=(-7;7);\overrightarrow{I{M}^{\prime }}=(-3;3)$

Theo định nghĩa: $\overrightarrow{I{M}^{\prime }}=k\overrightarrow{IM}\iff -3=k.(-7)\iff k=\frac{3}{7}$.

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ$Oxy$, cho đường thẳng $\left(d\right)$có phương trình $2x+3y-1=0$và điểm $I(-1;3)$, phép vị tự tâm I tỉ số $k=-3$ biến đường thẳng$\left(d\right)$ thành đường thẳng $\left(d^{\prime }\right)$. Khi đó phương trình đường thẳng $\left(d^{\prime }\right)$ là:

A. $2x+3y+26=0$.          

B. $2x+3y-25=0$.            

C. $2x+3y+27=0$.          

D. $2x+3y-27=0$.

 Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Đường thẳng $\left(d^{\prime }\right)$ có dạng : $2x+3y+m=0$.

Lấy $A(-1;1)\in \left(d\right)$, gọi $A^{\prime }(x;y)$ là ảnh của A qua $V_{(I;-3)}$$\Rightarrow \overrightarrow{I{A}^{\prime }}=-3\overrightarrow{IA}$. $\left(1\right)$

Ta có : $\overrightarrow{IA}=(0;-2);\overrightarrow{I{A}^{\prime }}=(x+1;y-3)$.

Từ $\left(1\right)\iff \{\begin{array}{c}x+1=0\\ y-3=6\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=-1\\ y=9\end{array}\Rightarrow A^{\prime }\left(-1;9\right)$.

Do $A^{\prime }\in \left(d^{\prime }\right)\Rightarrow m=-25$. Vậy $\left(d^{\prime }\right):2x+3y-25=0$.

Câu 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai đường tròn lần lượt có phương trình là: $\left(C\right):x^2+y^2-2x+6y-6=0$ và $\left(C^{\prime }\right):x^2+y^2-x+y-\frac{7}{2}=0$. Gọi $\left(C\right)$ là ảnh của $\left(C^{\prime }\right)$ qua phép vị tự tỉ số $k$. Khi đó, giá trị của $k$ là:

A. $\frac{1}{2}$.                       

B. $2$.                    

C. $\frac{1}{4}$.             

D. $4$.

 Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Đường tròn $\left(C\right)$ có bán kính là $R=4$.

Đường tròn $\left(C^{\prime }\right)$ có bán kính là $R^{\prime }=2$.

Do $\left(C\right)$ là ảnh của $\left(C^{\prime }\right)$ qua phép vị tự tỉ số k $\Rightarrow R=\left|k\right|R^{\prime }\iff 4=2\left|k\right|\iff k=\pm 2$.

Câu 8: Trong mặt phẳng $Oxy$. Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }:2x+y3=0$. Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=2$ biến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ thành ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ có phương trình là:

A. $2x+y+3=0$.              

B. $2x+y6=0$.                 

C. $4x2y6=0$.                 

D. $4x+2y5=0$.

 Hướng dẫn giải:

Chọn B.

+ Giả sử qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=2$ điểm $M(x;y)$ thuộc $\mathrm{\Delta }$ thành điểm $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$.

+ Thay biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=2$ ta được:

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=2x\\ y^{\prime }=2y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}{x}^{\prime }\\ y=\frac{1}{2}{y}^{\prime }\end{array}\Rightarrow M\left(\frac{1}{2}{x}^{\prime };\frac{1}{2}{y}^{\prime }\right)$.

+ Do $M(x;y)$thuộc $\mathrm{\Delta }$ nên ta có: $2.\frac{1}{2}{x}^{\prime }+\frac{1}{2}{y}^{\prime }-3=0\iff 2x^{\prime }+y^{\prime }-6=0$.

Vậy phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=2$ biến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ thành ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ có phương trình là: $2x+y6=0$.

Câu 9: Trong mặt phẳng $Oxy$. Cho đường thẳng$\mathrm{\Delta }:x+y2=0$. Phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-2$ biến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ thành ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ có phương trình là:

A. $2x+2y=0$.                 

B. $2x+2y4=0$.              

C. $x+y+4=0$.      

D. $x+y4=0$.

 Hướng dẫn giải:

Chọn C.

+ Giả sử qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=2$ điểm $M(x;y)$ thuộc $\mathrm{\Delta }$ thành điểm $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$.

+ Thay biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-2$ ta được:

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-2x\\ y^{\prime }=-2y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}{x}^{\prime }\\ y=-\frac{1}{2}{y}^{\prime }\end{array}\Rightarrow M\left(-\frac{1}{2}{x}^{\prime };-\frac{1}{2}{y}^{\prime }\right)$.

+ Do $M(x;y)$thuộc $\mathrm{\Delta }$ nên ta có: $-\frac{1}{2}{x}^{\prime }-\frac{1}{2}{y}^{\prime }-2=0\iff x^{\prime }+y^{\prime }+4=0$.

Vậy phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k=-2$ biến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ thành ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ có phương trình là: $x+y+4=0$.

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là toàn bộ đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về phép vị tự. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Định nghĩa và các tính chất của phép quay

• Lý thuyết và bài tập về phép đồng dạng

Chúc các em học tập tốt!