Biểu thức tọa độ của phép quay

Trong mặt phẳng $Oxy$, giả sử $M(x;y)$ và $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })=Q_{(O,\alpha )}\left(M\right)$ thì $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\cos \alpha -y\sin \alpha \\ y^{\prime }=x\sin \alpha +y\cos \alpha \end{array}$

Trong mặt phẳng $Oxy$, giả sử $M(x;y)$, $I(a;b)$ và $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })=Q_{(I,\alpha )}\left(M\right)$ thì $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=a+\left(x-a\right)\cos \alpha -\left(y-b\right)\sin \alpha \\ y^{\prime }=b+\left(x-a\right)\sin \alpha +\left(y-b\right)\cos \alpha \end{array}$

Câu 1: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm$M(1;1)$. Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của $M$ qua phép quay tâm $O$, góc ${45}^{\circ }$?

A. $M^{\prime }(1;1)$.       

B. $M^{\prime }(1;0)$.

C. $M^{\prime }(\sqrt{2};0)$.    

D. $M^{\prime }(0;\sqrt{2})$.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

+ Thay biểu thức tọa độ của phép quay tâm $O$góc quay ${45}^{\circ }$ ta có:

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x.\cos {45}^o-y.\sin {45}^o=\cos {45}^o-\sin {45}^o=0\\ y^{\prime }=x.\sin {45}^o+y.\cos {45}^o=\sin {45}^o+\cos {45}^o=\sqrt{2}\end{array}$

Vậy $M^{\prime }(0;\sqrt{2})$.

Câu 2: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $A(3;0)$. Tìm tọa độ ảnh $A^{\prime }$ của điểm $A$ qua phép quay $Q_{(O;\frac{\pi }{2})}$.

A. $A^{\prime }(0;-3)$. 

B. $A^{\prime }(0;3)$.                 

C. $A^{\prime }(-3;0)$. 

D. $A^{\prime }(2\sqrt{3};2\sqrt{3})$.

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

$Q_{(O;\frac{\pi }{2})}:A(x;y)\mapsto A^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$

Nên $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=-y=0\\ y^{\prime }=x=3\end{array}$.

Vậy $A^{\prime }(0;3)$.

Câu 3: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $A(3;0)$. Tìm tọa độ ảnh $A^{\prime }$ của điểm $A$ qua phép quay $Q_{(O;-\frac{\pi }{2})}$.

A. $A^{\prime }(-3;0)$.     

B. $A^{\prime }(3;0)$.                 

C. $A^{\prime }(0;-3)$. 

D. $A^{\prime }(-2\sqrt{3};2\sqrt{3})$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

$Q_{(O;-\frac{\pi }{2})}:A(x;y)\mapsto A^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$

Nên $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=y=0\\ y^{\prime }=-x=-3\end{array}$.

Vậy $A^{\prime }(0;-3)$.

Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho điểm $M(2;0)$ và điểm $N(0;2)$. Phép quay tâm $O$ biến điểm M thành điển N, khi đó góc quay của nó là

A. $\phi =30{}^{\circ }$.   

B. $\phi =45{}^{\circ }$.     

C. $\phi ={90}^0$.  

D. $\phi =270{}^{\circ }$.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

$Q_{(O;\phi )}:M(x;y)\mapsto N(x^{\prime };y^{\prime })$

Khi đó: $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\cos \phi -y\sin \phi \\ y^{\prime }=x\sin \phi +y\cos \phi \end{array}$.

Thử đáp án ta nhận $\phi =90{}^{\circ }$. Hoặc biểu diễn trên hệ trục tọa độ ta cũng được đáp án tương tự.

Câu 5: Cho $M(3;4)$. Tìm ảnh của điểm $M$ qua phép quay tâm $O$ góc quay ${30}^0$.

A. $M^{\prime }(\frac{3\sqrt{3}}{2};\frac{3}{2}+2\sqrt{3})$  

B. $M^{\prime }(-2;2\sqrt{3})$

C. $M^{\prime }(\frac{3\sqrt{3}}{2};2\sqrt{3})$

D. $M^{\prime }(\frac{3\sqrt{3}}{2}-2;\frac{3}{2}+2\sqrt{3})$

Hướng dẫn giải:

Gọi $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })=Q_{(O;{30}^0)}$.

Áp dụng biểu thức tọa độ $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x\cos \alpha -y\sin \alpha \\ y^{\prime }=x\sin \alpha +y\cos \alpha \end{array}$ ta có $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=3\cos {30}^0-4\sin {30}^0=\frac{3\sqrt{3}}{2}-2\\ y^{\prime }=3\sin {30}^0+4\cos {30}^0=\frac{3}{2}+2\sqrt{3}\end{array}$.

$\Rightarrow M^{\prime }\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}-2;\frac{3}{2}+2\sqrt{3}\right)$

Câu 6: Cho $I(2;1)$ và đường thẳng $d:2x+3y+4=0$. Tìm ảnh của $d$ qua $Q_{(I;{45}^0)}$.

A. $d^{\prime }:-x+5y-3+\sqrt{2}=0$   

B. $d^{\prime }:-x+5y-3=0$

C. $d^{\prime }:-x+5y-10\sqrt{2}=0$ 

D. $d^{\prime }:-x+5y-3+10\sqrt{2}=0$

Hướng dẫn giải:

Lấy hai điểm $M(-2;0);N(1;-2)$ thuộc $d$.

Gọi $M^{\prime }(x_1;y_1),N^{\prime }(x_2;y_2)$ là ảnh của $M,N$ qua $Q_{(I;{45}^0)}$

Ta có $\{\begin{array}{l}{x}_1=2+\left(-2-2\right)\cos {45}^0-\left(0-1\right)\sin {45}^0\\ y_1=1+\left(-2-2\right)\sin {45}^0+\left(0-1\right)\cos {45}^0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_1=2-\frac{3\sqrt{2}}{2}\\ y_1=1-\frac{5\sqrt{2}}{2}\end{array}$

$\Rightarrow M^{\prime }(2-\frac{3\sqrt{2}}{2};1-\frac{5\sqrt{2}}{2})$.

Tương tự

$\{\begin{array}{l}{x}_2=2+\left(1-2\right)\cos {45}^0-\left(-2-1\right)\sin {45}^0\\ y_2=1+\left(1-2\right)\sin {45}^0+\left(-2-1\right)\cos {45}^0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_2=2+\sqrt{2}\\ y_2=1-2\sqrt{2}\end{array}$

$\Rightarrow N^{\prime }(2+\sqrt{2};1-2\sqrt{2})$.

Ta có $\overrightarrow{M^{\prime }{N}^{\prime }}=(\frac{5\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}(5;1)$.

Gọi $d^{\prime }=Q_{(I;{45}^0)}\left(d\right)$ thì $d^{\prime }$ có VTCP $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{M^{\prime }{N}^{\prime }}=(5;1)\Rightarrow VTPT\overrightarrow{n}=(-1;5)$

Phương trình:

$d^{\prime }:-(x-2-\sqrt{2})+5(y-1+2\sqrt{2})=0\iff -x+5y-3+10\sqrt{2}=0$.

Câu 7: Tìm ảnh của đường thẳng $d:5x-3y+15=0$ qua phép quay $Q_{(O;{90}^0)}$.

A. $d^{\prime }:x+y+15=0$   

B. $d^{\prime }:3x+5y+5=0$

C. $d^{\prime }:3x+y+5=0$

D. $d^{\prime }:3x+5y+15=0$

Hướng dẫn giải:

$d^{\prime }\mathrm{\perp }d$ nên phương trình có dạng $3x+5y+c=0$

Lấy $M(-3;0)\in d$, ta có $Q_{(0;{90}^0)}\left(M\right)=M^{\prime }(0;-3)$, $M^{\prime }\in d^{\prime }\Rightarrow C=15$, hay $d^{\prime }:3x+5y+15=0$.

Câu 8: Tìm ảnh của đường tròn $\left(C\right):{(x-1)}^2+{(y+2)}^2=9$ qua phép quay $Q_{(I;{90}^0)}$ với $I(3;4)$.

A. $\left(C^{\prime }\right):{(x+2)}^2+{(y-2)}^2=9$       

B. $\left(C^{\prime }\right):{(x-3)}^2+{(y+2)}^2=9$

C. $\left(C^{\prime }\right):{(x+5)}^2+{(y-7)}^2=9$       

D. $\left(C^{\prime }\right):{(x+3)}^2+{(y-2)}^2=9$

Hướng dẫn giải:

$\left(C\right)$ có tâm $J(1;-2),R=3$, gọi $J^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })=Q_{(I;{90}^0)}\left(I\right)$ ta có

$\Rightarrow J^{\prime }(-3;2)$ mà $R^{\prime }=R=3$ nên phương trình $\left(C^{\prime }\right):{(x+3)}^2+{(y-2)}^2=9$.

Câu 9: Viết phương trình các cạnh của tam giác $ABC$ biết $A(1;2),B(3;4)$ và $\cos A=\frac{2}{\sqrt{5}},\cos B=\frac{3}{\sqrt{10}}$.

A. $AC:x-y-1=0,BC:x-y+5=0$     

B. $AC:3x-y-2=0,BC:x-2y+3=0$  

C. $AC:3x-y-1=0,BC:x-2y+5=0$ 

D. $AC:3x-y-4=0,BC:x-2y+2=0$

Hướng dẫn giải:

Sử dụng tính chất: Phép quay tâm $I(a;b)\in d:Ax+By+C=0$ góc quay $\alpha$biến $d$ thành $d^{\prime }$ có phương trình $(A-B\tan \phi )(x-a)+(A\tan \phi +B)(y-b)=0$.

Ta được $AC:3x-y-1=0,BC:x-2y+5=0$

 

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là toàn bộ nội dung Biểu thức tọa độ của phép quay. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Định nghĩa và các tính chất của phép quay

• Lý thuyết và bài tập về phép đồng dạng

Chúc các em học tập tốt!