1. Định nghĩa
Cho điểm \(O\) và góc lượng giác \(\alpha \). Phép biến hình biến \(O\) thành chính nó và biến mỗi điểm \(M\) khác \(O\) thành điểm \(M'\) sao cho \(OM'=OM\) và góc lượng giác \(\left( OM;OM' \right)=\alpha \) được gọi là phép quay tâm \(O\), \(\alpha \) được gọi là góc quay.
Phép quay tâm \(O\) góc quay \(\alpha \) được kí hiệu là \({{Q}_{\left( O;\alpha \right)}}\).
Nhận xét
-
Khi \(\alpha =\left( 2k+1 \right)\pi ,k\in \mathbb{Z}\) thì \({{Q}_{\left( O;\alpha \right)}}\) là phép đối xứng tâm \(O\).
-
Khi \(\alpha =2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\frac{n!}{r!\left( n-r \right)!}\) thì \({{Q}_{\left( O;\alpha \right)}}\) là phép đồng nhất.
2. Tính chất của phép quay
-
Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
-
Biến một đường thẳng thành đường thẳng
-
Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho
-
Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho
-
Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
Lưu ý:
Giả sử phép quay tâm \(I\) góc quay \(\alpha \) biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng \(d'\), khi đó
Nếu \(0<\alpha \le \frac{\pi }{2}\) thì góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) bằng \(\alpha \)
Nếu \(\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \) thì góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) bằng \(\pi -\alpha \).
3. Bài tập
Câu 1: Cho tam giác đều tâm \(O\). Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm \(O\) góc quay \(\alpha \), \(0<\alpha \le 2\pi \) biến tam giác trên thành chính nó?
A. Một.
B. Hai.
C. Ba.
D. Bốn.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Có 3 phép quay tâm \(O\) góc \(\alpha \), \(0<\alpha \le 2\pi \) biến tam giác trên thành chính nó là các phép quay với góc quay bằng: \(\frac{2\pi }{3}\), \(\frac{4\pi }{3}\), \(2\pi \).
Câu 2: Cho hình vuông tâm \(O\). Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm \(O\) góc quay \(\alpha \), \(0<\alpha \le 2\pi \) biến hình vuông trên thành chính nó?
A. Một.
B. Hai.
C. Ba.
D. Bốn.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Có 4 phép quay tâm \(O\) góc \(\alpha ,0<\alpha \le 2\pi \) biến tam giác trên thành chính nó là các phép quay với góc quay bằng: \(\frac{\pi }{2}\), \(\pi \), \(\frac{3\pi }{2}\), \(2\pi \).
Câu 3: Cho hình chữ nhật có \(O\) là tâm đối xứng. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm \(O\) góc quay \(\alpha \), \(0<\alpha \le 2\pi \) biến hình chữ nhật trên thành chính nó?
A. Không có.
B. Hai.
C. Ba.
D. Bốn.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Có 2 phép quay tâm \(O\) góc \(\alpha \), \(0<\alpha \le 2\pi \) biến tam giác trên thành chính nó là các phép quay với góc quay bằng: \(\pi \), \(2\pi \).
Câu 4: Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm \(O\) góc quay \(\alpha \ne k2\pi \ \left( k\in Z \right)\)?
A. Không có.
B. Một.
C. Hai.
D. Vô số.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Có một điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm \(O\) góc quay \(\alpha \ne k2\pi \ \left( k\in Z \right)\) đó chính là điểm \(O\).
Câu 5: Phép quay \({{Q}_{(O;\varphi )}}\) biến điểm M thành \({M}'\). Khi đó
A. \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O{M}'}\) và \((OM,O{M}')=\varphi \).
B. \(OM=O{M}'\) và \((OM,O{M}')=\varphi \).
C. \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O{M}'}\) và \(\widehat{MO{M}'}=\varphi \).
D. \(OM=O{M}'\) và \(\widehat{MO{M}'}=\varphi \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
\({{Q}_{(O;\varphi )}}(M)={M}'\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & OM=O{M}' \\ & (OM,O{M}')=\varphi \\ \end{align} \right.\)
Chú ý số đo góc \(\widehat{MO{M}'}\) không âm nên \((OM,O{M}')\ne \widehat{MO{M}'}\).
Câu 6: Phép quay \({{Q}_{(O;\varphi )}}\) biến điểm A thành M. Khi đó
(I) O cách đều A và M.
(II) O thuộc đường tròn đường kính AM.
(III) O nằm trên cung chứa góc \(\varphi \) dựng trên đoạn \(AM\).
Trong các câu trên câu đúng là
A. Cả ba câu.
B. (I) và (II).
C. (I).
D. (I) và (III).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \({{Q}_{(O,\varphi )}}(A)=M\)suy ra
+ \(OA=OM\) nên (I) đúng.
+ (II) xảy ra khi \(\Delta OAM\) vuông tại \(O\), nói chung điều này không đúng, nên (II) sai.
+ \((OA,OM)=\varphi \) nên (III) sai.
Câu 7: Chọn câu sai.
A. Qua phép quay \({{Q}_{(O;\varphi )}}\) điểm \(O\) biến thành chính nó.
B. Phép đối xứng tâm \(O\) là phép quay tâm \(O\), góc quay \(-180{}^\circ \).
C. Phép quay tâm O góc quay \(90{}^\circ \) và phép quay tâm O góc quay \(-90{}^\circ \) là hai phép quay giống nhau.
D. Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O, góc quay \(180{}^\circ \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\({{Q}_{(O;90{}^\circ )}}(M)=A\,;\,\,\,\,{{Q}_{(O;-90{}^\circ )}}(M)=B\).
Do đó \({{Q}_{(O;90{}^\circ )}}\ne {{Q}_{(O;-90{}^\circ )}}\).
Câu 8: Khẳng định nào sau đây đúng về phép quay.
A. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O và điểm M khác điểm O thành điểm \({M}'\) sao cho \((OM,O{M}')=\varphi \) được gọi là phép quay tâm O với góc quay .
B. Nếu \({{Q}_{(O;90{}^\circ )}}:M\mapsto {M}'\,(M\ne O)\) thì \(O{M}'\bot OM\).
C. Phép quay không phải là một phép dời hình.
D. Nếu \({{Q}_{(O;90{}^\circ )}}:M\mapsto {M}'\) thì \(O{M}'>OM\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Nếu \({{Q}_{(O;90{}^\circ )}}:M\mapsto {M}'\,(M\ne O)\) thì \((OM,O{M}')=90{}^\circ \) hay \(OM\bot O{M}'\).
Câu 9: Cho tam giác đều ABC. Hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành điểm C.
A. \(\varphi =30{}^\circ \).
B. \(\varphi =90{}^\circ \).
C. \(\varphi =-120{}^\circ \).
D. \(\varphi =-{{60}^{0}}\) hoặc \(\varphi ={{60}^{0}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: nên \({{Q}_{(A;\pm 60{}^\circ )}}(B)=C\).
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là toàn bộ nội dung Định nghĩa và các tính chất của phép quay. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
