1. Giới hạn lượng giác
\(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1\); \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin u(x)}{u(x)}=1\) (với \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,u(x)=0\))
2. Đạo hàm các hàm số lượng giác
| Đạo hàm | Hàm hợp |
| \((\sin x)'=\cos x\) \((\cos x)'=-\sin x\) \((\tan x)'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\) \((\cot x)'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\)
| \((\sin u)'=u'.\cos u\) \((\cos u)'=-u'\sin u\) \(\left( \tan u \right)'=\frac{u'}{{{\cos }^{2}}u}\) \(\left( \cot u \right)'=-\frac{u'}{{{\sin }^{2}}u}\)
|
Ví dụ 1. Hàm số \(y=f\left( x \right)=\frac{2}{\cos \left( \pi x \right)}\) có \(f'\left( 3 \right)\) bằng:
A. \(2\pi \).
B. \(\frac{8\pi }{3}\).
C. \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\).
D. \(0\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(f'\left( x \right)=\frac{2}{\cos \left( \pi x \right)}=2.\left( \cos \left( \pi x \right) \right)'.\frac{-1}{{{\cos }^{2}}\left( \pi x \right)}=2.\pi \frac{\sin \left( \pi x \right)}{{{\cos }^{2}}\left( \pi x \right)}\).
\(f'\left( 3 \right)=2\pi .\frac{\sin 3\pi }{{{\cos }^{2}}3\pi }=0\).
Ví dụ 2. Cho hàm số \(y=\cos 3x.\sin 2x.\) Tính \(y'\left( \frac{\pi }{3} \right)\) bằng:
A. \(y'\left( \frac{\pi }{3} \right)=-1\).
B. \(y'\left( \frac{\pi }{3} \right)=1\).
C. \(y'\left( \frac{\pi }{3} \right)=-\frac{1}{2}\).
D. \(y'\left( \frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
\(y'=\left( \cos 3x \right)'\sin 2x+\cos 3x\left( \sin 2x \right)'=-3\sin 3x.\sin 2x+2\cos 3x.\cos 2x\).
\(y'\left( \frac{\pi }{3} \right)=-3\sin 3\frac{\pi }{3}.\sin 2\frac{\pi }{3}+2\cos 3\frac{\pi }{3}.\cos 2\frac{\pi }{3}=1\).
3. Bài tập
Câu 1. Cho hàm số \(y=f(x)=\sqrt{\tan x+\cot x}\). Giá trị \({f}'\left( \frac{\pi }{4} \right)\)bằng
A. \(\sqrt{2}\).
B. 0.
C. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).
D. \(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:\({f}'\left( x \right)=\frac{{{\left( \text{tan}x+\cot x \right)}^{\prime }}}{2\sqrt{\text{tan}x+\cot x}}=\frac{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}}{2\sqrt{\text{tan}x+\cot x}}\Rightarrow {f}'\left( \frac{\pi }{4} \right)=0.\)
Câu 2. Cho \(f\left( x \right)={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x\). Giá trị \({f}'\left( \frac{\pi }{4} \right)\)bằng:
A. \(2\) B. \(1\) C. \(-2\) D. \(0\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có:\(f\left( x \right)=\cos 2x\Rightarrow {f}'\left( x \right)=-2\sin 2x\). Do đó \({f}'\left( \frac{\pi }{4} \right)=-2\)
Câu 3. Cho hàm số \(y=\frac{\cos 2x}{1-\sin x}\). Tính \(y'\left( \frac{\pi }{6} \right)\) bằng:
A. \(y'\left( \frac{\pi }{6} \right)=1\).
B. \(y'\left( \frac{\pi }{6} \right)=-1\).
C. \(y'\left( \frac{\pi }{6} \right)=\sqrt{3}\).
D. \(y'\left( \frac{\pi }{6} \right)=-\sqrt{3}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(y'=\frac{\left( \cos 2x \right)'.\left( 1-\sin x \right)-\cos 2x\left( 1-\sin x \right)'}{{{\left( 1-\sin x \right)}^{2}}}=\frac{-2\sin 2x\left( 1-\sin x \right)+\cos 2x.cosx}{{{\left( 1-\sin x \right)}^{2}}}\).
\(y'\left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{-2.\frac{\sqrt{3}}{2}\left( 1-\frac{1}{2} \right)+\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}}{{{\left( 1-\frac{1}{2} \right)}^{2}}}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4}}=4\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4} \right)=-2\sqrt{3}+\sqrt{3}=-\sqrt{3}\).
Câu 4. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=\sin \sqrt{x}+\cos \sqrt{x}\). Giá trị \(f'\left( \frac{{{\pi }^{2}}}{16} \right)\) bằng:
A. \(0\).
B. \(\sqrt{2}\).
C. \(\frac{2}{\pi }\).
D. \(\frac{2\sqrt{2}}{\pi }\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
\(f'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos \sqrt{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin \sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\left( \cos \sqrt{x}-\sin \sqrt{x} \right)\).
\(f'\left( \frac{{{\pi }^{2}}}{16} \right)=\frac{1}{2\sqrt{{{\left( \frac{\pi }{4} \right)}^{2}}}}\left( \cos \sqrt{{{\left( \frac{\pi }{4} \right)}^{2}}}-\sin \sqrt{{{\left( \frac{\pi }{4} \right)}^{2}}} \right)=\frac{1}{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}\left( \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)=0\).
Câu 5. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=\sqrt{\tan x+\cot x}\). Giá trị \(f'\left( \frac{\pi }{4} \right)\) bằng:
A. \(\sqrt{2}\).
B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).
C. \(0\).
D. \(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\(y=\sqrt{\tan x+\cot x}\Rightarrow {{y}^{2}}=\tan x+\cot x\Rightarrow y'.2y=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}\).
\(\Rightarrow y'=\frac{1}{2\sqrt{\tan x+\cot x}}\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)\).
\(f'\left( \frac{\pi }{4} \right)=\frac{1}{2\sqrt{\tan \frac{\pi }{4}+\cot \frac{\pi }{4}}}\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{4} \right)}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}\left( \frac{\pi }{4} \right)} \right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left( 2-2 \right)=0\)
Câu 6. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{\sin x}}\). Giá trị \(f'\left( \frac{\pi }{2} \right)\) bằng:
A. \(1\).
B. \(\frac{1}{2}\).
C. \(0\).
D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\(y=\frac{1}{\sqrt{\sin x}}\Rightarrow {{y}^{2}}=\frac{1}{\sin x}\Rightarrow y'2y=\frac{-\cos x}{{{\sin }^{2}}x}\).
\(\Rightarrow y'=\frac{1}{2y}.\left( \frac{-\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \right)=\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{\sin x}}}\left( \frac{-\cos x}{{{\sin }^{2}}x} \right)=\frac{-\sqrt{\sin x}}{2}.\frac{\cos x}{{{\sin }^{2}}x}\).
\(f'\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{-\sqrt{\sin \left( \frac{\pi }{2} \right)}}{2}.\frac{\cos \left( \frac{\pi }{2} \right)}{{{\sin }^{2}}\left( \frac{\pi }{2} \right)}=\frac{-1}{2}.\frac{0}{1}=0\).
Câu 7. Xét hàm số \(y=f\left( x \right)=2\sin \left( \frac{5\pi }{6}+x \right)\). Tính giá trị \(f'\left( \frac{\pi }{6} \right)\) bằng:
A. \(-1\).
B. \(0\).
C. \(2\).
D. \(-2\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(f'\left( x \right)=2\cos \left( \frac{5\pi }{6}+x \right)\).
\(f'\left( \frac{\pi }{6} \right)=-2\).
Câu 8. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=\tan \left( x-\frac{2\pi }{3} \right)\). Giá trị \(f'\left( 0 \right)\) bằng:
A. \(4\).
B. \(\sqrt{3}\).
C. \(-\sqrt{3}\).
D. \(3\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
\(y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\left( x-\frac{2\pi }{3} \right)}\).
\(f'\left( 0 \right)=4\).
Câu 9. Cho hàm số \(y=\frac{\cos x}{1-\sin x}\). Tính \({y}'\left( \frac{\pi }{6} \right)\) bằng:
A. \({y}'\left( \frac{\pi }{6} \right)=1\).
B. \({y}'\left( \frac{\pi }{6} \right)=-1\).
C. \({y}'\left( \frac{\pi }{6} \right)=2\).
D. \({y}'\left( \frac{\pi }{6} \right)=-2\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có \({y}'=\frac{-\sin x\left( 1-\sin x \right)+{{\cos }^{2}}x}{{{\left( 1-\sin x \right)}^{2}}}=\frac{1}{1-\sin x}\).
\({y}'\left( \frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{1-\sin \frac{\pi }{6}}=2\).
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về đạo hàm của hàm số lượng giác. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
