1. Phương pháp
Cho hàm số \(\left( C \right):y=f\left( x \right)\) và điểm \(A\left( a;b \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A.
- Gọi \(\left( \Delta \right)\) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó \(\left( \Delta \right):y=k\left( x-a \right)+b\)(*)
- Để \(\left( \Delta \right)\) là tiếp tuyến của (C) có nghiệm.
- Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Chú ý:
1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thuộc (C) là: \(k=f'\left( {{x}_{0}} \right)\)
2. Cho đường thẳng \(\left( d \right):y={{k}_{d}}x+b\)
+) \(\left( \Delta \right)//\left( d \right)\) \(\Rightarrow {{k}_{\Delta }}={{k}_{d}}\)
+) \(\left( \Delta \right)\bot \left( d \right)\) \(\Rightarrow {{k}_{\Delta }}.{{k}_{d}}=-1\Leftrightarrow {{k}_{\Delta }}=-\frac{1}{{{k}_{d}}}\)
+) \(\left( \Delta ,d \right)=\alpha \Rightarrow \tan \alpha =\left| \frac{{{k}_{\Delta }}-{{k}_{d}}}{1+{{k}_{\Delta }}.{{k}_{d}}} \right|\)
+) \(\left( \Delta ,Ox \right)=\alpha \Rightarrow {{k}_{\Delta }}=\pm \tan \alpha \)
3. Cho hàm số bậc 3: \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,\left( a\ne 0 \right)\)
+) Khi \(a>0\): Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
+) Khi \(a<0\): Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất.
Ví dụ. Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{4}-x+1\), có đồ thị \(\left( C \right)\). Từ điểm \(M\left( 2;\ -1 \right)\) có thể kẻ đến \(\left( C \right)\) hai tiếp tuyến phân biệt. Hai tiếp tuyến này có phương trình:
A. \(y=-x+1\) và \(y=x-3\).
B. \(y=2x-5\) và \(y=-2x+3\).
C. \(y=-x-1\) và \(y=-x+3\).
D. \(y=x+1\) và \(y=-x-3\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Gọi \(N\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}} \right)\) là tiếp điểm; \({{y}_{0}}=\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}-{{x}_{0}}+1\); \({f}'\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{{{x}_{0}}}{2}-1\)
Phương trình tiếp tuyến tại \(N\) là: \(y=\left( \frac{{{x}_{0}}}{2}-1 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}-{{x}_{0}}+1\)
Mà tiếp tuyến đi qua \(M\left( 2;\ -1 \right)\) \(\Rightarrow -1=\left( \frac{{{x}_{0}}}{2}-1 \right)\left( 2-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}-{{x}_{0}}+1\Leftrightarrow -\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{x}_{0}}=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{0}}=0;{{y}_{0}}=1;\ {f}'\left( 0 \right)=-1 \\ & {{x}_{0}}=4;\ {{y}_{0}}=1;\ {f}'\left( 4 \right)=1 \\ \end{align} \right.\)
Phương trình tiếp tuyến : \(y=-x+1\) và \(y=x-3\).
2. Bài tập
Câu 1. Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{x-2}\), tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm \(\left( 6;5 \right)\) là
A. \(y=x1\) ; \(y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\).
B. \(y=x1\) ; \(y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\).
C. \(y=x+1\) ; \(y=-\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\).
D. \(y=x+1\) ; \(y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
\(y=\frac{x+2}{x-2}\Rightarrow {y}'=\frac{-4}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right):y=\frac{x+2}{x-2}\) tại điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\) với \({{x}_{0}}\ne 2\) là:
\(y={y}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\)\(\Leftrightarrow y=\frac{-4}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}\).
Vì tiếp tuyến đi qua điểm \(\left( 6;5 \right)\) nên ta có \(5=\frac{-4}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}\left( -6-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-2}\)
\(\Leftrightarrow 4x_{0}^{2}-24{{x}_{0}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{0}}=0 \\ & {{x}_{0}}=6 \\ \end{align} \right.\)
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là: \(y=x1\) và \(y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}\).
Câu 2. Tiếp tuyến kẻ từ điểm \(\left( 2;3 \right)\) tới đồ thị hàm số \(y=\frac{3x+4}{x-1}\) là
A. \(y=-28x+59\) ; \(y=x+1\).
B. \(y=24x+51\); \(y=x+1\).
C. \(y=-28x+59\).
D. \(y=-28x+59\); \(y=-24x+51\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\(y=\frac{3x+4}{x-1}\Rightarrow {y}'=\frac{-7}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right):y=\frac{3x+4}{x-1}\) tại điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\) với \({{x}_{0}}\ne 2\) là:
\(y={y}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}\)\(\Leftrightarrow y=\frac{-7}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{3{{x}_{0}}+4}{{{x}_{0}}-1}\).
Vì tiếp tuyến đi qua điểm \(\left( 2;\,3 \right)\) nên ta có \(3=\frac{-7}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( 2-{{x}_{0}} \right)+\frac{3{{x}_{0}}+4}{{{x}_{0}}-1}\)\(\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\frac{3}{2}\).
Vậy có một tiếp tuyến thỏa đề bài là: \(y=28x+59\).
Câu 3. Cho hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( -1;0 \right)\) là:
A. \(y=\frac{3}{4}x\)
B. \(y=\frac{3}{4}\left( x+1 \right)\)
C. \(y=3\left( x+1 \right)\)
D. \(y=3x+1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi \(d\) là phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) có hệ số góc \(k\),
Vì \(A\left( -1;0 \right)\in d\) suy ra \(d:\text{ }y=k\left( x+1 \right)\)
\(d\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) khi hệ có nghiệm
Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(~\left( 1 \right)\) ta được \(x=1\Rightarrow \)\(k={y}'(1)=\frac{3}{4}\).
Vậy phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua điểm \(A\left( -1;0 \right)\) là: \(y=\frac{3}{4}\left( x+1 \right)\)
Câu 4. Qua điểm \(A\left( 0;2 \right)\) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2\)
A. \(2\) B. \(3\) C. \(0\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi \(d\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho.
Vì\)A(0;2)\in d\) nên phương trình của \(d\) có dạng: \(y=kx+2\)
Vì\(d\) tiếp xúc với đồ thị \((C)\) nên hệ có nghiệm
Thay \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 1 \right)\) ta suy ra được \(\left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}} \\ \end{align} \right.\)
Chứng tỏ từ \(A\) có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\)
Câu 5. Cho hàm số \(y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Xét hai mệnh đề:
(I) Đường thẳng \(\Delta :\ y=1\) là tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(M(-1;\ 1)\)và tại \(N(1;\ 1)\)
(II) Trục hoành là tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại gốc toạ độ
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I)
B. Chỉ (II)
C. Cả hai đều sai
D. Cả hai đều đúng
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án D.
Ta có \({y}'(-1)={y}'(-1)=0\Rightarrow \) (I) đúng.
Ta có \({y}'(0)=0\Rightarrow \) (II) đúng.
Câu 6. Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x-1\,\)có đồ thị là \(\left( C \right)\). Từ một điểm bất kì trên đường thẳng \(x=2\) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến \(\left( C \right)\):
A. \(2\). B. \(1\). C. \(3\). D. \(0.\)
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B.
Xét đường thẳng kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng \(x=2\)có dạng \(\Delta :\ y=k(x-2)=k\text{x-2k}\).
\(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) có nghiệm
Phương trình bậc ba có duy nhất một nghiệm tương ứng cho ta một giá trị \(k\). Vậy có một tiếp tuyến.
Dễ thấy kẻ từ một điểm bất kì trên đường thẳng \(x=2\)có dạng \(y=a\) song song với trục \(Ox\)cũng chỉ kẻ được một tiếp tuyến.
Câu 7. Đường thẳng \(y=3x+m\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số\(y={{x}^{3}}+2\) khi m bằng
A. \(1\) hoặc\(-1\).
B. \(4\) hoặc\(0\).
C. \(2\) hoặc\(-2\).
D. \(3\) hoặc \(-3\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Đường thẳng \(y=3x+m\) và đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+2\) tiếp xúc nhau
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 2 = 3x + m\\ 3{x^2} = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = {x^3} - 3x + 2\\ x = \pm 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 0\\ m = 4 \end{array} \right.\).
Câu 8. Định \(m\) để đồ thị hàm số\(y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+1\) tiếp xúc với đường thẳng \(d:y=5\)?
A. \(m=-3\). B. \(m=3\). C. \(m=-1\). D. \(m=2\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đường thẳng \(y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+1\) và đồ thị hàm số \(y=5\) tiếp xúc nhau
có nghiệm.
\((2)\Leftrightarrow x(3x-2m)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\frac{2m}{3} \\ \end{align} \right.\)
+ Với x=0 thay vào (1) không thỏa mãn.
+ Với \(x=\frac{2m}{3}\) thay vào (1) ta có: \({{m}^{3}}=-27\Leftrightarrow m=-3\).
Câu 9. Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right):\)\(y={{x}^{3}}\) biết nó đi qua điểm \(M(2;\,0)\) là:
A. \(y=27x\pm 54\).
B. \(y=27x-9\vee y=27x-2\).
C. \(y=27x\pm 27\).
D. \(y=0\,\,\vee \,y=27x-54\).
Hướng dẫn giải:
Vậy chọn D.
+\(y'=3{{x}^{2}}\).
+ Gọi \(A({{x}_{0}};\,{{y}_{0}})\) là tiếp điểm. PTTT của (C) tại \(A({{x}_{0}};\,{{y}_{0}})\) là:
\(y=3x_{0}^{2}\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}\,\,\,\,\,\,\,\,(d)\).
+ Vì tiếp tuyến (d) đi qua \(M(2;\,0)\) nên ta có phương trình:
\(3x_{0}^{2}\left( 2-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}\,=0\,\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{x}_{0}}=0 \\ & {{x}_{0}}=3 \\ \end{align} \right.\)
+ Với \({{x}_{0}}=0\) thay vào (d) ta có tiếp tuyến \(y=0\).
+ Với \({{x}_{0}}=3\) thay vào (d) ta có tiếp tuyến \(y=27x-54\).
Câu 10. Cho hàm số \(y={{x}^{2}}-5x-8\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Khi đường thẳng \(y=3x+m\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\)thì tiếp điểm sẽ có tọa độ là:
A. \(M\left( 4;\ 12 \right)\).
B. \(M\left( -4;\ 12 \right)\).
C. \(M\left( -4;\ -12 \right)\).
D. \(M\left( 4;\ -12 \right)\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án D.
Đường thẳng \(d:y=3x+m\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\)\(\Rightarrow \)\(d\)là tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {{x}_{0}};\ {{y}_{0}} \right)\)
\({y}'=2x-5\)\(\Rightarrow \)\({y}'\left( {{x}_{0}} \right)=3\Leftrightarrow 2{{x}_{0}}-5=3\Leftrightarrow {{x}_{0}}=4\);\({{y}_{0}}=-12\).
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp viết tiếp tuyến đi qua một điểm. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
