1. Phương pháp
\(\bullet \) Tích \(f'({{x}_{0}}).\Delta x\) được gọi là vi phân của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \({{x}_{0}}\) (ứng với số gia \(\Delta x\)) được kí hiệu là \(df({{x}_{0}})=f'({{x}_{0}})\Delta x\).
\(\bullet \) Nếu hàm số \(f\) có đạo hàm \(f'\) thì tích \(f'(x)\Delta x\) được gọi là vi phân hàm số \(y=f(x)\), kí hiệu là: \(df(x)=f'(x)\Delta x\).
Đặc biệt: \(dx=x'\Delta x=\Delta x\) nên ta viết \(df(x)=f'(x)dx\).
Ví dụ. Cho hàm số \(y=\frac{1}{3{{x}^{3}}}\). Vi phân của hàm số là:
A. \(\text{d}y=\frac{1}{4}\text{d}x\).
B. \(\text{d}y=\frac{1}{{{x}^{4}}}\text{d}x\).
C. \(\text{d}y=-\frac{1}{{{x}^{4}}}\text{d}x\).
D. \(\text{d}y={{x}^{4}}\text{d}x\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có \(\text{d}y={{\left( \frac{1}{3{{x}^{3}}} \right)}^{\prime }}\text{d}x=\frac{1}{3}.\frac{3{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{2}}}=-\frac{1}{{{x}^{4}}}\text{d}x\).
2. Bài tập
Câu 1. Cho hàm số \(y=f\left( x \right)={{\left( x-1 \right)}^{2}}\). Biểu thức nào sau đây chỉ vi phân của hàm số\(f\left( x \right)\)?
A. \(\text{d}y=2\left( x-1 \right)\text{d}x\).
B. \(\text{d}y={{\left( x-1 \right)}^{2}}\text{d}x\).
C. \(\text{d}y=2\left( x-1 \right)\).
D. \(\text{d}y=2\left( x-1 \right)\text{d}x\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có \(\text{d}y={f}'\left( x \right)\text{d}x=2\left( x-1 \right)\text{d}x\).
Câu 2. Tìm vi phân của các hàm số \(y={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}\)
A. \(dy=(3{{x}^{2}}-4x)dx\)
B. \(dy=(3{{x}^{2}}+x)dx\)
C. \(dy=(3{{x}^{2}}+2x)dx\)
D. \(dy=(3{{x}^{2}}+4x)dx\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(dy=(3{{x}^{2}}+4x)dx\)
Câu 3. Tìm vi phân của các hàm số \(y=\sqrt{3x+2}\)
A. \(dy=\frac{3}{\sqrt{3x+2}}dx\)
B. \(dy=\frac{1}{2\sqrt{3x+2}}dx\)
C. \(dy=\frac{1}{\sqrt{3x+2}}dx\)
D. \(dy=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}dx\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(dy=\frac{3}{2\sqrt{3x+2}}dx\)
Câu 4. Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+12x-5\). Vi phân của hàm số là:
A.\(\text{d}y=\left( 3{{x}^{2}}-18x+12 \right)\text{d}x\).
B. \(\text{d}y=\left( -3{{x}^{2}}-18x+12 \right)\text{d}x\).
C. \(\text{d}y=-\left( 3{{x}^{2}}-18x+12 \right)\text{d}x\).
D. \(\text{d}y=\left( -3{{x}^{2}}+18x-12 \right)\text{d}x\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có \(\text{d}y={{\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+12x-5 \right)}^{\prime }}\text{d}x=\left( 3{{x}^{2}}-18x+12 \right)\text{d}x\).
Câu 5. Tìm vi phân của các hàm số \(y={{(3x+1)}^{10}}\)
A. \(dy=10{{(3x+1)}^{9}}dx\)
B. \(dy=30{{(3x+1)}^{10}}dx\)
C. \(dy=9{{(3x+1)}^{10}}dx\)
D. \(dy=30{{(3x+1)}^{9}}dx\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(dy=30{{(3x+1)}^{9}}dx\).
Câu 6. Tìm vi phân của các hàm số \(y=\sin 2x+{{\sin }^{3}}x\)
A. \(dy=\left( \cos 2x+3{{\sin }^{2}}x\cos x \right)dx\)
B. \(dy=\left( 2\cos 2x+3{{\sin }^{2}}x\cos x \right)dx\)
C. \(dy=\left( 2\cos 2x+{{\sin }^{2}}x\cos x \right)dx\)
D. \(dy=\left( \cos 2x+{{\sin }^{2}}x\cos x \right)dx\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
\(dy=\left( 2\cos 2x+3{{\sin }^{2}}x\cos x \right)dx\)
Câu 7. Tìm vi phân của các hàm số \(y=\tan 2x\)
A. \(dy=(1+{{\tan }^{2}}2x)dx\)
B. \(dy=(1-{{\tan }^{2}}2x)dx\)
C. \(dy=2(1-{{\tan }^{2}}2x)dx\)
D. \(dy=2(1+{{\tan }^{2}}2x)dx\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(dy=2(1+{{\tan }^{2}}2x)dx\)
Câu 8. Tìm vi phân của các hàm số \(y=\sqrt[3]{x+1}\)
A. \(dy=\frac{1}{\sqrt[3]{{{(x+1)}^{2}}}}dx\)
B. \(dy=\frac{3}{\sqrt[3]{{{(x+1)}^{2}}}}dx\)
C. \(dy=\frac{2}{\sqrt[3]{{{(x+1)}^{2}}}}dx\)
D. \(dy=\frac{1}{3\sqrt[3]{{{(x+1)}^{2}}}}dx\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(dy=\frac{1}{3\sqrt[3]{{{(x+1)}^{2}}}}dx\)
Câu 9. Xét hàm số \(y=f\left( x \right)=\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}\). Chọn câu đúng:
A. \(\text{d}f(x)=\frac{-\sin 4x}{2\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x\).
B. \(\text{d}f(x)=\frac{-\sin 4x}{\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x\).
C. \(\text{d}f(x)=\frac{\cos 2x}{\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x\).
D. \(\text{d}f(x)=\frac{-\sin 2x}{2\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có : \(\text{d}y={f}'\left( x \right)\text{d}x\) =\(\frac{{{\left( 1+{{\cos }^{2}}2x \right)}^{\prime }}}{2\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x=\frac{-4\cos 2x.\sin 2x}{2\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x=\frac{-\sin 4x}{\sqrt{1+{{\cos }^{2}}2x}}\text{d}x\).
Câu 10. Cho hàm số\(y={{x}^{3}}-5x+6\) . Vi phân của hàm số là:
A. \(\text{d}y=\left( 3{{x}^{2}}-5 \right)\text{d}x\).
B. \(\text{d}y=-\left( 3{{x}^{2}}-5 \right)\text{d}x\).
C. \(\text{d}y=\left( 3{{x}^{2}}+5 \right)\text{d}x\).
D. \(\text{d}y=\left( 3{{x}^{2}}-5 \right)\text{d}x\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có \(\text{d}y={{\left( {{x}^{3}}-5x+6 \right)}^{\prime }}\text{d}x=\left( 3{{x}^{2}}-5 \right)\text{d}x\).
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về vi phân của hàm số. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
