1. Phương pháp
\(\bullet \) Để chứng minh \(\lim {{u}_{n}}=0\) ta chứng minh với mọi số \(a>0\) nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số \({{n}_{a}}\) sao cho \(\left| {{u}_{n}}\right|{{n}_{a}}\)
\(\bullet \) Để chứng minh \(\lim {{u}_{n}}=l\) ta chứng minh \(\lim ({{u}_{n}}-l)=0\).
\(\bullet \) Để chứng minh \(\lim {{u}_{n}}=+\infty \) ta chứng minh với mọi số \(M>0\) lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({{n}_{M}}\) sao cho \({{u}_{n}}>M\text{ }\forall n>{{n}_{M}}\).
\(\bullet \) Để chứng minh \(\lim {{u}_{n}}=-\infty \) ta chứng minh \(\lim (-{{u}_{n}})=+\infty \).
\(\bullet \) Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất.
Ví dụ 1. Giá trị của \(\lim \frac{1}{{{n}^{k}}}\) \((k\in \mathbb{N}*)\) bằng:
A. 0 B. 2 C. 4 D. 5
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với \(a>0\) nhỏ tùy ý, ta chọn \({{n}_{a}}>\sqrt[k]{\frac{1}{a}}\) ta có \(\frac{1}{{{n}^{k}}}<\frac{1}{n_{a}^{k}}{{n}_{a}}\)
Ví dụ 2. Giá trị của \(\lim \frac{{{\sin }^{2}}n}{n+2}\) bằng:
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với \(a>0\) nhỏ tùy ý, ta chọn \({{n}_{a}}>\frac{1}{a}-2\) ta có \(\frac{{{\sin }^{2}}n}{n+2}<\frac{1}{n+2}<\frac{1}{{{n}_{a}}+2}{{n}_{a}}\)
Ví dụ 3. Giá trị của \(\lim (2n+1)\) bằng:
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. 0 D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn \({{n}_{M}}>\frac{M-1}{2}\)
Ta có: \(2n+1>2{{n}_{M}}+1>M\text{ }\forall n>{{n}_{M}}\Rightarrow \lim (2n+1)=+\infty \).
2. Bài tập
Câu 1. Giá trị của \(\lim \frac{2-n}{\sqrt{n+1}}\) bằng:
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. 0 D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Với mọi \(M>0\) lớn tùy ý, ta chọn \({{n}_{M}}>{{\left( \frac{1}{a}+3 \right)}^{2}}-1\)
Ta có: \(\frac{n-2}{\sqrt{1+n}}=\sqrt{n+1}-\frac{3}{\sqrt{n+1}}>\sqrt{1+n}-3>M\text{ }\forall n>{{n}_{M}}\)
Suy ra \(\lim \frac{2-n}{\sqrt{n+1}}=-\infty \).
Câu 2. Giá trị của \(A=\lim \frac{2n+1}{n-2}\) bằng:
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. 2 D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Với số thực \(a>0\) nhỏ tùy ý, ta chọn \({{n}_{a}}>\frac{5}{a}+2>2\)
Ta có: \(\left| \frac{2n+1}{n-2}-2 \right|=\frac{5}{\left| n-2 \right|}<\frac{5}{{{n}_{a}}-2}{{n}_{a}}\)
Vậy A=2.
Câu 3. Giá trị của \(B=\lim \frac{2n+3}{{{n}^{2}}+1}\) bằng:
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. 0 D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Với số thực \(a>0\) nhỏ tùy ý, ta chọn \({{n}_{a}}\) thỏa \(\frac{2{{n}_{a}}+3}{n_{a}^{2}+1}\) < a
\(\Leftrightarrow {{n}_{a}}>\frac{1+\sqrt{{{a}^{2}}-4a+13}}{a}\)
Ta có: \(\frac{2n+3}{{{n}^{2}}+1}{{n}_{a}}\Rightarrow B=0\)
Câu 4. Giá trị của \(C=\lim \frac{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}{n+1}\) bằng:
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. 0 D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Với số thực \(a>0\) nhỏ tùy ý, ta chọn \({{n}_{a}}>\frac{1}{a}-1\)
Ta có: \(\left| \frac{\sqrt{{{n}^{2}}+1}}{n+1}-1 \right|<\left| \frac{n+2}{n+1}-1 \right|<\frac{1}{{{n}_{a}}+1}{{n}_{a}}\)
Vậy C=1.
Câu 5. Giá trị của \(A=\lim \frac{n-2\sqrt{n}}{2n}\) bằng:
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(\frac{1}{2}\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 6. Giá trị của \(B=\lim \frac{n\sin n-3{{n}^{2}}}{{{n}^{2}}}\) bằng:
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(-3\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 7. Giá trị của \(C=\lim \frac{1}{{{n}^{2}}+2\sqrt{n}+7}\) bằng:
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. 0 D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 8. Giá trị của \(D=\lim \frac{4n+1}{\sqrt{{{n}^{2}}+3n+2}}\) bằng:
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. 0 D. 4
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu 9. Giá trị của \(\lim \frac{{{a}^{n}}}{n!}=0\) bằng:
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. 0 D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Gọi m là số tự nhiên thỏa: \(m+1>\left| a \right|\). Khi đó với mọi \(n>m+1\)
Ta có: \(0<\left| \frac{{{a}^{n}}}{n!} \right|=\left| \frac{a}{1}.\frac{a}{2}...\frac{a}{m} \right|.\left| \frac{a}{m+1}...\frac{a}{n} \right|<\frac{{{\left| a \right|}^{m}}}{m!}.{{\left( \frac{\left| a \right|}{m+1} \right)}^{n-m}}\)
Mà \(\lim {{\left( \frac{\left| a \right|}{m+1} \right)}^{n-m}}=0\). Từ đó suy ra: \(\lim \frac{{{a}^{n}}}{n!}=0\).
Câu 10. Giá trị của \(\lim \sqrt[n]{a}\) với \(a>0\) bằng:
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. 0 D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Nếu \(a=1\) thì ta có đpcm
\(\bullet \) Giả sử \(a>1\). Khi đó: \(a={{\left[ 1+\left( \sqrt[n]{a}-1 \right) \right]}^{n}}>n\left( \sqrt[n]{a}-1 \right)\)
Suy ra: \(0<\sqrt[n]{a}-1<\frac{a}{n}\to 0\) nên \(\lim \sqrt[n]{a}=1\)
\(\bullet \) Với \(01\Rightarrow \lim \sqrt[n]{\frac{1}{a}}=1\Rightarrow \lim \sqrt[n]{a}=1\)
Tóm lại ta luôn có: \(\lim \sqrt[n]{a}=1\) với \(a>0\).
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tính giới hạn của dãy số bằng định nghĩa. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
