I. Lý thuyết
1. L = \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{P(x)}{Q(x)}\) với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
Chú ý:
+ Nếu tam thức bậc hai \(a{{x}^{2}}+b\text{x+c}\) có hai nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) thì ta luôn có sự phân tích\(a{{x}^{2}}+bx+c=a(x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})\).
+ \({{a}^{n}}-{{b}^{n}}=(a-b)({{a}^{n-1}}+{{a}^{n-2}}b+...+a{{b}^{n-2}}+{{b}^{n-1}})\)
2. L = \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{P(x)}{Q(x)}\) với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
Các lượng liên hợp:
+ \((\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b\)
+ \((\sqrt[3]{a}\pm \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{{{a}^{2}}}\mp \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{{{b}^{2}}})=a-b\)
+ \((\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b})(\sqrt[n]{{{a}^{n-1}}}+\sqrt[n]{{{a}^{n-2}}b}+...+\sqrt[n]{{{b}^{n-1}}})=a-b\)
3. L = \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{P(x)}{Q(x)}\) với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêu thức chứa căn không đồng bậc
Giả sử: P(x) = \(\sqrt[m]{u(x)}-\sqrt[n]{v(x)}\,\,v\hat{o}\grave{u}i\,\,\sqrt[m]{u({{x}_{0}})}=\sqrt[n]{v({{x}_{0}})}=a\).
Ta phân tích P(x) = \(\left( \sqrt[m]{u(x)}-a \right)+\left( a-\sqrt[n]{v(x)} \right)\).
Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: \(\sqrt[n]{u(x)}-\sqrt[m]{v(x)}=(\sqrt[n]{u(x)}-m(x))-(\sqrt[m]{v(x)}-m(x))\), trong đó \(m(x)\to c\).
Ví dụ 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của \(\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{2{{x}^{3}}+2}\) là:
A. \(-\infty \).
B. \(0\).
C. \(\frac{1}{2}\).
D. \(+\infty \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Cách 1: \(\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{2{{x}^{3}}+2}=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{2\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}\)\(=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{2\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}=0\)
Cách 2: Bấm máy tính như sau: \(\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{2{{x}^{3}}+2}\) + CACL + \(x=-1+{{10}^{-9}}\) và so đáp án.
Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: \({{\left. \lim \frac{{{x}^{2}}+2x+1}{2{{x}^{3}}+2} \right|}_{x\to -1+{{10}^{-9}}}}\) và so đáp án.
Ví dụ 2. Tìm giới hạn \(A=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}-4x+3}\) :
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(\frac{3}{2}\)
D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \(A=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}-4x+3}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-1)({{x}^{2}}-2x-2)}{(x-1)(x-3)}\)\(=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x-2}{x-3}=\frac{3}{2}\).
Ví dụ 3. Tìm giới hạn \(B=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4}{{{x}^{3}}-8}\) :
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(-\frac{1}{6}\)
D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(B=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4}{{{x}^{3}}-8}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{({{x}^{2}}-1)({{x}^{2}}-4)}{{{x}^{3}}-{{2}^{3}}}\)\(=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{({{x}^{2}}-1)(x-2)(x+2)}{(x-2)({{x}^{2}}+2x+4)}\)\(=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{({{x}^{2}}-1)(x+2)}{{{x}^{2}}+2x+4}=1\).
II. Bài tập
Câu 1. Tìm giới hạn \(B=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-3x+2}{{{x}^{3}}+2x-3}\) :
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(\frac{1}{5}\)
D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \(B=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-1)({{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-2)}{(x-1)({{x}^{2}}+x+3)}=\frac{1}{5}\)
Câu 2. Tìm giới hạn \(C=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2x+3}-x}{{{x}^{2}}-4x+3}\) :
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(-\frac{1}{3}\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \(C=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{-(x-3)(x+1)}{(x-3)(x-1)\left( \sqrt{2x+3}+x \right)}=\frac{-1}{3}\)
Câu 3. Tìm giới hạn \(D=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sqrt[4]{2x+1}-1}\) :
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(\frac{2}{3}\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \(D=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( \sqrt[4]{{{(2x+1)}^{3}}}+\sqrt[4]{{{(2x+1)}^{2}}}+\sqrt[4]{2x+1}+1 \right)}{2x\left( \sqrt[3]{{{(x+1)}^{2}}}+\sqrt[3]{x+1}+1 \right)}=\frac{2}{3}\)
Câu 4. Tìm giới hạn \(E=\underset{x\to 7}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{4x-1}-\sqrt{x+2}}{\sqrt[4]{2x+2}-2}\) :
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(\frac{-8}{27}\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \(E=\underset{x\to 7}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{4x-1}-\sqrt{x+2}}{\sqrt[4]{2x+2}-2}=\underset{x\to 7}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{4x-1}-3}{\sqrt[4]{2x+2}-2}-\underset{x\to 7}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+2}-3}{\sqrt[4]{2x+2}-2}=A-B\)
\(A=\underset{x\to 7}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{4x-1}-3}{\sqrt[4]{2x+2}-2}=\underset{x\to 7}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left( \sqrt[4]{2x+2}+2 \right)\left( \sqrt[4]{{{\left( 2x+2 \right)}^{2}}}+4 \right)}{\left( \sqrt[3]{{{\left( 4x-1 \right)}^{2}}}+3\sqrt[3]{4x-1}+9 \right)}=\frac{64}{27}\)
\(B=\underset{x\to 7}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+2}-3}{\sqrt[4]{2x+2}-2}=\underset{x\to 7}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt[4]{2x+2}+2 \right)\left( \sqrt[4]{{{\left( 2x+2 \right)}^{2}}}+4 \right)}{2\left( \sqrt{x+2}+3 \right)}=\frac{8}{3}\)
\(E=A-B=\frac{64}{27}-\frac{8}{3}=\frac{-8}{27}\)
Câu 5. Tìm giới hạn \(F=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{(2x+1)(3x+1)(4x+1)}-1}{x}\) :
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(\frac{9}{2}\) D. \(1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 6. Tìm giới hạn \(M=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+4x}-\sqrt[3]{1+6x}}{{{x}^{2}}}\) :
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(\frac{1}{3}\) D. 0
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(M=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{4x+1}-(2x+1)}{{{x}^{2}}}-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{1+6x}-(2x+1)}{{{x}^{2}}}=0\)
Câu 7. Tìm giới hạn \(N=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[m]{1+ax}-\sqrt[n]{1+bx}}{x}\) :
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(\frac{a}{m}-\frac{b}{n}\) D. \(\frac{a}{m}+\frac{b}{n}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \(N=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[m]{1+ax}-1}{x}-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{1+bx}-1}{x}=\frac{a}{m}-\frac{b}{n}\)
Câu 8. Tìm giới hạn \(G=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[m]{1+ax}\sqrt[n]{1+bx}-1}{x}\) :
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(\frac{a}{m}-\frac{b}{n}\) D. \(\frac{a}{m}+\frac{b}{n}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(G=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[m]{1+ax}\left( \sqrt[n]{1+bx}-1 \right)}{x}+\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[m]{1+ax}-1}{x}=\frac{b}{n}+\frac{a}{m}\)
Câu 9. Tìm giới hạn \(V=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 1+mx \right)}^{n}}-{{\left( 1+nx \right)}^{m}}}{{{x}^{2}}}\) :
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(\frac{mn\left( n-m \right)}{2}\) D. \(\frac{mn\left( n+m \right)}{2}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \(V=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(1+nx)}^{m}}-(1+mnx)}{{{x}^{2}}}-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(1+mx)}^{n}}-(1+mnx)}{{{x}^{2}}}\)\(=\frac{mn(n-m)}{2}\).
Câu 10. Tìm giới hạn \(K=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\sqrt{x} \right)\left( 1-\sqrt[3]{x} \right)...\left( 1-\sqrt[n]{x} \right)}{{{\left( 1-x \right)}^{n-1}}}\) :
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(\frac{1}{n!}\) D. 0
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \(K=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{(1+\sqrt{x})(\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+\sqrt[3]{x}+1)...(\sqrt[n]{{{x}^{n-1}}}+...+1)}=\frac{1}{n!}\).
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tính giới hạn dạng vô định \(\frac00\). Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
