I. Phương pháp
1. Giới hạn một bên : Áp dụng định lý giới hạn của một tích và một thương.
2. Dạng \(\infty-\infty \): Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu, Sau đó tìm cách biến đổi đưa về dạng \(\frac{\infty }{\infty }\).
3. Dạng 0.\(\infty\):
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
Ví dụ. Tìm giới hạn \(E=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(\sqrt[4]{16{{x}^{4}}+3x+1}-\sqrt{4{{x}^{2}}+2})\) :
A. \(+\infty \)
B. \(-\infty \)
C. \(\frac{1}{4}\)
D. 0
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(E=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt[4]{16{{x}^{4}}+3x+1}-2x \right)+\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{4{{x}^{2}}+2}-2x \right)=0\)
II. Bài tập
Câu 1. Chọn kết quả đúng của \(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{2}{{{x}^{3}}} \right)\):
A. \(-\infty \).
B. \(0\).
C. \(+\infty \).
D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{2}{{{x}^{3}}} \right)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{x-2}{{{x}^{3}}} \right)\)
\(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-2 \right)=-2<0\)
Khi \(x\to {{0}^{-}}\Rightarrow x<0\Rightarrow {{x}^{3}}<0\)
Vậy \(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{x-2}{{{x}^{3}}} \right)=+\infty \).
Câu 2. \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{x-1}+1-x}\) bằng:
A. \(-1\). B. \(0\). C. \(1\). D. \(+\infty \).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{x-1}+1-x}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}\left( x-1 \right)}}{\sqrt{x-1}-\sqrt{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}\left( 1-\sqrt{x-1} \right)}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\left( 1-\sqrt{x-1} \right)}=1.\).
Câu 3. \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{2}}-1}\)bằng:
A. \(-\infty \). B. –1. C. 1. D. +¥.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
\(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{2}}-1}=+\infty \)vì \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)=1>0\)và \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0;\,{{x}^{2}}-1>0\).
Câu 4. Giá tri đúng của \(\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x-3 \right|}{x-3}\)
A. Không tồn tại. B. \(0\). C. \(1\). D. \(+\infty \).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Vậy không tồn tại giới hạn trên.
Câu 5. Tìm giới hạn \(A=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-x \right)\) :
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(-\frac{1}{2}\) D. 0
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: \(A=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{(\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}-x)(\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+x)}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+x}\)
\(=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-x+1-{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+x}=-\frac{1}{2}\).
Câu 6. Tìm giới hạn \(B=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 2x+\sqrt{4{{x}^{2}}-x+1} \right)\) :
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(\frac{1}{4}\) D. 0
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\(B=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{(2x-\sqrt{4{{x}^{2}}-x+1})(2x+\sqrt{4{{x}^{2}}-x+1})}{2x-\sqrt{4{{x}^{2}}-x+1}}\)\(=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{2x-\sqrt{4{{x}^{2}}-x+1}}=\frac{1}{4}\).
Câu 7. Cho hàm số \(f(x)=\frac{1}{{{x}^{3}}-1}-\frac{1}{x-1}\). Chọn kết quả đúng của \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\):
A. \(-\infty \). B. \(-\frac{2}{3}\). C. \(\frac{2}{3}\). D. \(+\infty \).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
\(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{-{{x}^{2}}-x}{{{x}^{3}}-1} \right)\)
\(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -{{x}^{2}}-x \right)=-2\)
Khi \(x\to {{1}^{+}}\Rightarrow x>1\Rightarrow {{x}^{3}}-1>0\)
Vậy \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \).
Câu 8. Tìm giới hạn \(C=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\text{ }\!\![\!\!\text{ }\sqrt[n]{(x+{{a}_{1}})(x+{{a}_{2}})...(x+{{a}_{n}})}-x\text{ }\!\!]\!\!\text{ }\) :
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(\frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}{n}\) D. \(\frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}{2n}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Đặt \(y=\sqrt[n]{(x-{{a}_{1}})(x-{{a}_{2}})...(x-{{a}_{n}})}\)
\(\Rightarrow {{y}^{n}}-{{x}^{n}}=(y-x)({{y}^{n-1}}+{{y}^{n-1}}x+...+{{x}^{n-1}})\)\(\Rightarrow y-x=\frac{{{y}^{n}}-{{x}^{n}}}{{{y}^{n-1}}+{{y}^{n-1}}x+...+{{x}^{n-1}}}\)
\(\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(y-x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{y}^{n}}-{{x}^{n}}}{{{y}^{n-1}}+{{y}^{n-2}}x+...+{{x}^{n-1}}}\)
\(\Rightarrow C=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{y}^{n}}-{{x}^{n}}}{{{x}^{n-1}}}}{\frac{{{y}^{n-1}}+{{y}^{n-1}}x+...+{{x}^{n-1}}}{{{x}^{n-1}}}}\).
Mà \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{y}^{n}}-{{x}^{n}}}{{{x}^{n-1}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}+\frac{{{b}_{2}}}{x}+\frac{{{b}_{3}}}{{{x}^{2}}}+...+\frac{{{b}_{n}}}{{{x}^{n-1}}})\)
\(={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}\).
\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{y}^{k}}{{x}^{n-1-k}}}{{{x}^{n-1}}}=1\text{ }\forall k=0,...,n-1\)\(\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{y}^{n-1}}+{{y}^{n-2}}x+...+{{x}^{n-1}}}{{{x}^{n-1}}}=n\).
Vậy \(C=\frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}{n}\).
Câu 9. Tìm giới hạn \(A=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(\sqrt{{{\text{x}}^{\text{2}}}-x+1}-x)\) :
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(-\frac{1}{2}\) D. 0
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\(A=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}+x}=-\frac{1}{2}\)
Câu 10. Tìm giới hạn \(B=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,x(\sqrt{4{{x}^{2}}+1}-x)\) :
A. \(+\infty \) B. \(-\infty \) C. \(\frac{1}{4}\) D. 0
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về giới hạn một bên và các dạng vô định khác. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
