Phương pháp xét tính chẵn lẻ và tìm chu kỳ của hàm số lượng giác

Định nghĩa: Hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập \(D\) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số \(T\ne 0\) sao cho với mọi \(x\in D\) ta có

\(x\pm T\in D\) và \(f(x+T)=f(x)\).

Nếu có số \(T\) dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T\).

\(\bullet \) Hàm số \(f(x)=a\sin ux+b\cos vx+c\) ( với \(u,v\in \mathbb{Z}\)) là hàm số tuần hoàn với chu kì \(T=\frac{2\pi }{\left| (u,v) \right|}\) ( \((u,v)\) là ước chung lớn nhất).

\(\bullet \) Hàm số \(f(x)=a.\tan ux+b.\cot vx+c\) (với \(u,v\in \mathbb{Z}\)) là hàm tuần hoàn với chu kì \(T=\frac{\pi }{\left| (u,v) \right|}\).

\(\bullet \) y = f₁(x) có chu kỳ T₁ ; y = f2(x) có chu kỳ T₂

Thì hàm số \(y\,\,=\,\,{{f}_{1}}(x)\,\,\pm \,\,{{f}_{2}}(x)\) có chu kỳ T₀ là bội chung nhỏ nhất của T₁ và T₂.

\(\bullet \)\(\,\,\,y\,\,=\,\,\sin x\,\,\,\): Tập xác định D = R; tập giá trị \(T\,\,=\,\,\left[ -1,\,\,1 \right]\); hàm lẻ, chu kỳ \({{T}_{0}}\,\,=\,\,2\pi \).

\(\bullet \)\(\,\,y\,\,=\,\,\cos x\,\,\): Tập xác định D = R; Tập giá trị \(T\,\,=\,\,\left[ -1,\,\,1 \right]\); hàm chẵn, chu kỳ \({{T}_{0}}\,\,=\,\,2\pi \).

\(\bullet \)\(\,\,y\,\,=\,\,\tan x\,\,\): Tập xác định\(D\,\,=\,\,R\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z \right\}\); tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ \({{T}_{0}}\,\,=\,\,\pi \).

\(\bullet \)\(\,\,y\,\,=\,\,\cot x\,\,\): Tập xác định\(D\,\,=\,\,R\backslash \left\{ k\pi ,k\in Z \right\}\); tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ \({{T}_{0}}\,\,=\,\,\pi \).

Ví dụ: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. \(y=-\sin x\).                 

B. \(y=\cos x-\sin x\).        

C. \(y=\cos x+{{\sin }^{2}}x\).     

D. \(y=\cos x\sin x\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Xét hàm \(y=f\left( x \right)=\cos x+{{\sin }^{2}}x\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

\(\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\) và \(f\left( -x \right)=\cos \left( -x \right)+{{\sin }^{2}}\left( -x \right)=\cos x+{{\sin }^{2}}x=f\left( x \right)\).

Vậy \(y=f\left( x \right)=\cos x+{{\sin }^{2}}x\) là hàm số chẵn trên \(\mathbb{R}\).

Câu 1: Khẳng định nào sau đây sai?

A. \(y=\tan x\)là hàm lẻ.                                               B. \(y=\cot x\) là hàm lẻ.                           

C. \(y=\cos x\) là hàm lẻ.                                              D. \(y=\sin x\) là hàm lẻ.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Xét hàm \(y=f\left( x \right)=\cos x\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

Với mọi \(x\in \mathbb{R}\), ta có: \(-x\in \mathbb{R}\) và

\(f\left( -x \right)=\cos \left( -x \right)=\cos x=f\left( x \right)\) nên \(y=\cos x\) làm số chẵn trên \(\mathbb{R}\).

Câu 2: Trong các hàm số sau hàm số nào là hàm số chẵn?

A. \(y=\sin 2x\).                                                            B. \(y=\text{cos}3x\).        

C. \(y=\cot 4x\).                                                           D. \(y=\tan 5x\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Xét hàm \(y=f\left( x \right)=\cos 3x\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

Với mọi \(x\in \mathbb{R}\), ta có: \(-x\in \mathbb{R}\) và

\(f\left( -x \right)=\cos \left( 3\left( -x \right) \right)=\cos 3x=f\left( x \right)\) nên \(y=\cos 3x\) là hàm số chẵn trên \(\mathbb{R}\).

Câu 3: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

A. \(y=\sin 3x\).                

B. \(y=x.\cos x\).               

C. \(y=\cos x.\tan 2x\).     

D. \(y=\frac{\tan x}{\sin x}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Xét hàm \(y=f\left( x \right)=\frac{\tan x}{\sin x}\)

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l} \sin x \ne 0\\ \cos x \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\), \(k\in \mathbb{Z}\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}\)

Với mọi \(x\in D\), ta có: \(-x\in D\) và

\(f\left( -x \right)=\frac{\tan \left( -x \right)}{\sin \left( -x \right)}=\frac{\tan x}{\sin x}=f\left( x \right)\) nên \(y=\frac{\tan x}{\sin x}\) là hàm số chẵn trên \(D\).

Câu 4: Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số là hàm chẵn trên tập xác định của nó?

\(y=\cot 2x\); \(y=\cos (x+\pi )\); \(y=1-\sin x\); \(\,y={{\tan }^{2016}}x\,\,\).

A. \(1\).                              B. \(2\).                                   C. \(3\).                         D. \(4\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

+ Xét hàm \(y=f\left( x \right)=\cos \left( x+\pi  \right)\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

Với mọi \(x\in D\), ta có: \(-x\in D\) và

 \(f\left( -x \right)=\cos \left( -x+\pi  \right)=-\cos x=\cos \left( x+\pi  \right)=f\left( x \right)\)

Do đó \(y=\cos \left( x+\pi  \right)\)là hàm số chẵn trên \(\mathbb{R}\).

+ Xét hàm \(y=g\left( x \right)={{\tan }^{2016}}x\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}\)

Với mọi \(x\in D\), ta có: \(-x\in D\) và

\(g\left( -x \right)={{\tan }^{2016}}\left( -x \right)={{\left( -\tan x \right)}^{2016}}={{\tan }^{2016}}x=g\left( x \right)\)

Do đó: \(y={{\tan }^{2016}}x\) là hàm chẵn trên tập xác định của nó.

Câu 5: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn.

A. \(y=\sin 3x\).                

B. \(y=x.\cos x\).               

C. \(y=\cos x.\tan 2x\).     

D. \(y=\frac{\tan x}{\sin x}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Xét hàm \(y=f\left( x \right)=\frac{\tan x}{\sin x}\)

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l} \sin x \ne 0\\ \cos x \ne 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\), \(k\in \mathbb{Z}\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}\)

Với mọi \(x\in D\), ta có: \(-x\in D\) và

\(f\left( -x \right)=\frac{\tan \left( -x \right)}{\sin \left( -x \right)}=\frac{\tan x}{\sin x}=f\left( x \right)\) nên \(y=\frac{\tan x}{\sin x}\) là hàm số chẵn trên \(D\).

Câu 6: Cho hàm số \(f\left( x \right)=\cos 2x\) và \(g\left( x \right)=\tan 3x\), chọn mệnh đề đúng

A. \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, \(g\left( x \right)\) là hàm số lẻ.            

B. \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ, \(g\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

C. \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ, \(g\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

D. \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) đều là hàm số lẻ.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

+ Xét hàm \(y=f\left( x \right)=\cos 2x\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

Với mọi \(x\in D\), ta có: \(-x\in D\) và

 \(f\left( -x \right)=\cos \left( -2x \right)=\cos 2x=f\left( x \right)\)

Do đó \(y=\cos 2x\)là hàm số chẵn trên \(\mathbb{R}\).

+ Xét hàm \(y=g\left( x \right)=\tan 3x\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z} \right\}\)

Với mọi \(x\in D\), ta có: \(-x\in D\) và

\(g\left( -x \right)=\tan \left( -3x \right)=-\tan 3x=-f\left( x \right)\)

Do đó: \(y=\tan 3x\) là hàm chẵn trên tập xác định của nó.

Câu 7: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số \(y={{x}^{2}}+\cos x\) là hàm số chẵn.

B. Hàm số \(y=\left| \sin x-x \right|-\left| \sin x\text{ + }x \right|\) là hàm số lẻ.

C. Hàm số \(y=\frac{\sin x}{x}\) là hàm số chẵn.

D. Hàm số \(y=\sin x+2\) là hàm số không chẵn, không lẻ.

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

+ Xét hàm \(y=f\left( x \right)=\sin x+2\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

Chọn \(\pm \frac{\pi }{2}\in \mathbb{R}\).

Ta có: \(f\left( -\frac{\pi }{2} \right)=1\ne \pm f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\pm 3\) nên \(y=f\left( x \right)=\sin x+2\) là hàm số không chẵn không lẻ trên \(\mathbb{R}\).

Câu 8: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn

A. \(y={{\sin }^{2}}x+\sin x\).                                          B. \(\left[ 2;5 \right]\). 

C. \(y={{\sin }^{2}}x+\tan x\).                                         D. \(y={{\sin }^{2}}x+\cos x\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D 

+ Xét hàm \(y=f\left( x \right)={{\sin }^{2}}x+\cos x\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

Với mọi \(x\in D\), ta có: \(-x\in D\) và

     \(f\left( -x \right)={{\sin }^{2}}\left( -x \right)+\cos \left( -x \right)={{\sin }^{2}}x+\cos x=f\left( x \right)\)

Kết luận: hàm số \(y={{\sin }^{2}}x+\cos x\) là hàm số chẵn \(\mathbb{R}\).

Câu 9: Trong các hàm số sau, có bao nhiêu hàm số là hàm chẵn trên tập xác định của nó \(y=\cot 2x,\)\(y=\cos (x+\pi ),\)\(\,\,y=1-\sin x,\)\(\,y={{\tan }^{2016}}x\) ?

A. 2.                                   B. 1.                                   C. 4.                                   D. 3.

Hướng dẫn giải:

Chọn A 

+ Xét hàm \(y=f\left( x \right)=\cot 2x\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z} \right\}\)

Với mọi \(x\in D\), ta có: \(-x\in D\) và

\(f\left( -x \right)=\cot \left( -2x \right)=-\cot 2x=-f\left( x \right)\)

Do đó, \(y=f\left( x \right)=\cot 2x\) là hàm lẻ trên tập xác định của nó.

     + Xét hàm \(y=g\left( x \right)=\cos \left( x+\pi  \right)\)

     TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

Với mọi \(x\in D\), ta có: \(-x\in D\) và

     \(g\left( -x \right)=\cos (-x+\pi )=-\cos x=\cos \left( x+\pi  \right)=g\left( x \right)\) 

     Do đó: \(y=g\left( x \right)=\cos \left( x+\pi  \right)\)là hàm chẵn trên \(\mathbb{R}\).

     + Xét hàm\(\,y=h\left( x \right)={{\tan }^{2016}}x\).

     TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}\)

Với mọi \(x\in D\), ta có: \(-x\in D\) và

     \(h\left( -x \right)={{\tan }^{2016}}\left( -x \right)={{\tan }^{2016}}x=h\left( x \right)\)

Do đó: \(\,y=h\left( x \right)={{\tan }^{2016}}x\) là hàm số chẵn trên \(D\).

+ Xét hàm \(\,\,y=t\left( x \right)=1-\sin x\).

     TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

Chọn \(\pm \frac{\pi }{2}\in \mathbb{R}\).

Ta có \(g\left( \frac{\pi }{2} \right)\ne \pm g\left( -\frac{\pi }{2} \right)\) nên hàm số không chẵn không lẻ trên \(\mathbb{R}\).

Câu 10: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số \(y=\operatorname{s}\text{in}x\,\,+\,\,2\) là hàm số không chẵn, không lẻ.  

B. Hàm số \(y=\frac{\operatorname{s}\text{in}x}{x}\) là hàm số chẵn.             

C. Hàm số \(y={{x}^{2}}+\cos x\) là hàm số chẵn.  

D. Hàm số \(y=\left| \sin x-x \right|-\left| \sin x+x \right|\) là hàm số lẻ.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

 Xét hàm \(y=f\left( x \right)=\left| \sin x-x \right|-\left| \sin x+x \right|\)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

Với mọi \(x\in \mathbb{R}\), ta có: \(-x\in \mathbb{R}\) và

\(f\left( -x \right)=\left| -\sin x+x \right|-\left| -\sin x-x \right|=\left| \sin x-x \right|-\left| \sin x+x \right|=f\left( x \right)\)

Do đó: \(y=f\left( x \right)=\left| \sin x-x \right|-\left| \sin x+x \right|\) là hàm số chẵn trên \(\mathbb{R}\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp xét tính chẵn lẻ và tìm chu kỳ của hàm số lượng giác. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lượng giác

• Phương pháp xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lượng giác

Chúc các em học tốt!