Phương pháp xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lượng giác

Cho hàm số \(y=f(x)\) tuần hoàn với chu kì \(T\)

* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn có độ dài bằng \(T\) sau đó ta tịnh tiến theo các véc tơ \(k.\overrightarrow{v}\) (với \(\overrightarrow{v}=(T;0),\text{ }k\in \mathbb{Z}\)) ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.

* Số nghiệm của phương trình \(f(x)=k\), (với \(k\) là hằng số) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị \(y=f(x)\) và \(y=k\).

* Nghiệm của bất phương trình \(f(x)\ge 0\) là miền \(x\) mà đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nằm trên trục \(Ox\).

Ví dụ: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng \(\left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right)\)?

A. \(y=\sin x\).                   B. \(y=\cos x\).                   C. \(y=\cot x\).                   D. \(y=\tan x\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Do hàm số \(y=\tan x\) đồng biến trên \(\left( -\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi  \right)\), cho \(k=1\Rightarrow \left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right)\).

Câu 1: Hàm số \(y=\sin x\):

A. Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( \frac{\pi }{2}+k2\pi ;\pi +k2\pi  \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( \pi +k2\pi ;k2\pi  \right)\) với \(k\in \mathbb{Z}\).

B. Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( -\frac{3\pi }{2}+k2\pi ;\frac{5\pi }{2}+k2\pi  \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( -\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi  \right)\) với \(k\in \mathbb{Z}\).

C. Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( \frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi  \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( -\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi  \right)\) với \(k\in \mathbb{Z}\).

D. Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( -\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi  \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( \frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi  \right)\) với \(k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( -\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi  \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( \frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi  \right)\) với \(k\in \mathbb{Z}\).

Câu 2: Hàm số \(y=\cos x\):

A. Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( \frac{\pi }{2}+k2\pi ;\pi +k2\pi  \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng\(\left( \pi +k2\pi ;k2\pi  \right)\) với \(k\in \mathbb{Z}\).

B. Đồng biến trên mỗi khoảng\(\left( -\pi +k2\pi ;k2\pi  \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng\(\left( k2\pi ;\pi +k2\pi  \right)\) với \(k\in \mathbb{Z}\).

C. Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( \frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi  \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng\(\left( -\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi  \right)\) với \(k\in \mathbb{Z}\).

D. Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( k2\pi ;\pi +k2\pi  \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( \pi +k2\pi ;3\pi +k2\pi  \right)\) với \(k\in \mathbb{Z}\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Hàm số \(y=\cos x\) đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( -\pi +k2\pi ;k2\pi  \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( k2\pi ;\pi +k2\pi  \right)\) với \(k\in \mathbb{Z}\).

Câu 3: Hàm số: \(y=\sqrt{3}+2\cos x\) tăng trên khoảng:

A. \(\left( -\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2} \right)\).        

B. \(\left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right)\). 

C. \(\left( \frac{7\pi }{6};2\pi  \right)\).

D. \(\left( \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Vì hàm số \(y=\cos x\) đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( -\pi +k2\pi ;k2\pi  \right)\), \(k\in \mathbb{Z}\) nên hàm số \(y=\sqrt{3}+2\cos x\) cũng đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( -\pi +k2\pi ;k2\pi  \right)\), \(k\in \mathbb{Z}\)

Vì \(\left( \frac{7\pi }{6};2\pi  \right)\subset \left( \pi ;2\pi  \right)\) (với \(k=1\)) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( \frac{7\pi }{6};2\pi  \right)\)

Câu 4: Hàm số nào đồng biến trên khoảng \(\left( -\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6} \right)\):

A. \(y=\cos x\).                  

B. \(y=\cot 2x\).                

C. \(y=\sin x\).                  

D. \(y=\text{cos}2x\).

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Quan sát trên đường tròn lượng giác, ta thấy trên khoảng \(\left( -\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6} \right)\) hàm \(y=\sin x\) tăng dần (tăng từ \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) đến \(\frac{1}{2}\)).

Câu 5: Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số \(y=\text{sin}x\) tăng trong khoảng \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\)  .

B. Hàm số \(y=\text{cot}x\) giảm trong khoảng \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\).

C. Hàm số \(y=\text{tan}x\)tăng trong khoảng \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\).

D. Hàm số \(y=\text{cos}x\)tăng trong khoảng \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Quan sát trên đường tròn lượng giác, trên khoảng \(\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\) ta thấy: \(y=\cos x\) giảm dần.

Câu 7: Hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên:

A. Khoảng \(\left( 0;\pi  \right)\).  

B. Các khoảng \(\left( -\frac{\pi }{4}+k2\pi ;\frac{\pi }{4}+k2\pi  \right)\), \(k\in \mathbb{Z}\).

C. Các khoảng \(\left( \frac{\pi }{2}+k2\pi ;\pi +k2\pi  \right)\), \(k\in \mathbb{Z}\).     

D. Khoảng \(\left( \frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right)\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Hàm số \(y=\sin x\) đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( -\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi  \right)\), \(k\in \mathbb{Z}\)

Mà \(\left( -\frac{\pi }{4}+k2\pi ;\frac{\pi }{4}+k2\pi  \right)\subset \left( -\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi  \right)\) với mỗi \(k\in \mathbb{Z}\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( -\frac{\pi }{4}+k2\pi ;\frac{\pi }{4}+k2\pi  \right)\), \(k\in \mathbb{Z}\).

Câu 9: Hàm số \(y=\text{cos}x\):

A. Tăng trong\(\left[ 0;\pi  \right]\).

B. Tăng trong \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\)và giảm trong \(\left[ \frac{\pi }{2};\pi  \right]\).

C. Nghịch biến \(\left[ 0;\pi  \right]\).  

D. Các khẳng định trên đều sai.

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Quan sát trên đường tròn lượng giác, ta thấy: trên khoảng \(\left[ 0;\pi  \right]\) hàm \(y=\cos x\) giảm dần (giảm từ giá trị \(1\) đến \(-1\))

Chú ý: Hàm số \(y=\cos x\) tăng trên mỗi khoảng \(\left( -\pi +k2\pi ;k2\pi  \right)\) và giảm trên mỗi khoảng \(\left( k2\pi ;\pi +k2\pi  \right)\), \(k\in \mathbb{Z}\)

Câu 10: Hàm số \(y=\cos x\) đồng biến trên đoạn nào dưới đây:

A. \(\left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\).  

B. \(\left[ \pi ;2\pi  \right]\).         

C. \(\left[ -\pi ;\pi  \right]\).  

D. \(\left[ 0;\pi  \right]\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Do hàm số \(y=\cos x\) đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( -\pi +k2\pi \,;\,\,k2\pi  \right)\), cho \(k=1\Rightarrow \left( \pi ;2\pi  \right)\)

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lượng giác. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Lý thuyết và bài tập về hàm số y = cosx

• Phương pháp xét tính chẵn lẻ và tìm chu kỳ của hàm số lượng giác

• Lý thuyết và bài tập về hàm số y = sinx

Chúc các em học tốt!