1. Phương trình sinx = a (1)
\(\left| a \right|>1\): phương trình (1) vô nghiệm
\(\left| a \right|\le 1\): ta giải như sau:
\(\begin{array}{l} \sin x = a\\ \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}k \in Z \end{array}\)
Nếu góc \(\alpha \) không đẹp thì ta giải như sau:
\(\begin{array}{l} \sin x = a\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = acr\sin a + k2\pi \\ x = \pi - acr\sin a + k2\pi \end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}k \in Z \end{array}\)
Phương trình \(\sin x=\sin {{\alpha }^{o}}\) có nghiệm là:
\({\left[ \begin{array}{l} x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\ x = {180^o} - {\alpha ^o} + k{360^o} \end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}k \in Z}\)
Ví dụ 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A. \(\sin x = \sin y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y + k\pi \\ x = \pi - y + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\).
B. \(\sin x = \sin y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y + k2\pi \\ x = \pi - y + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\).
C. \(\sin x = \sin y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y + k2\pi \\ x = - y + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\).
D. \(\sin x = \sin y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y + k\pi \\ x = - y + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Áp dụng công thức nghiệm \(\sin x=\sin y\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y + k2\pi \\ x = \pi - y + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
Ví dụ 2: Nghiệm của phương trình \(\sin x=-1\)là:
A. \(x=-\frac{\pi }{2}+k\pi \).
B. \(x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \).
C. \(x=k\pi \).
D. \(x=\frac{3\pi }{2}+k\pi \).
Hướng dẫn giải:
Chọn A
\(\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\text{ }k\in \mathbb{Z}\).
2. Bài tập
Câu 1: Số nghiệm của phương trình \(\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\) với \(\pi \le x\le 3\pi \) là :
A. \(1\).
B. \(0\).
C. \(2\).
D. \(3\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có \(\sin \left( x+\frac{\pi }{4} \right)=1\)\(\Leftrightarrow \)\(x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \)
\(\Leftrightarrow \)\(x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \) \(\left( k\in \mathbb{R} \right)\).
Do \(\pi \le x\le 3\pi \) nên \(\pi \le \frac{\pi }{4}+k2\pi \le 3\pi \)\(\Leftrightarrow \frac{3}{8}\le k\le \frac{11}{8}\).
Vì \(k\in \mathbb{R}\) nên ta chọn được \(k=1\) thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm \(x=\frac{9\pi }{4}\).
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất \(x=\frac{9\pi }{4}\).
Câu 2: Nghiệm của phương trình \(2\sin \left( 4x-\frac{\pi }{3} \right)-1=0\) là:
A. \(x=k\pi \); \(x=\pi +k2\pi \).
B. \(x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\); \(x=\frac{7\pi }{24}+k\frac{\pi }{2}\).
C. \(x=k2\pi \); \(x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \).
D. \(x=\pi +k2\pi \); \(x=k\frac{\pi }{2}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \(2\sin \left( 4x-\frac{\pi }{3} \right)-1=0\Leftrightarrow \sin \left( 4x-\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 4x - \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\ 4x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\\ x = \frac{{7\pi }}{{24}} + k\frac{\pi }{2} \end{array} \right.\).
Câu 3: Họ nghiệm của phương trình \(\sin \left( \frac{x+\pi }{5} \right)=-\frac{1}{2}\) là
A. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{{11\pi }}{6} + k10\pi \\ x = \frac{{ - 29\pi }}{6} + k10\pi \end{array} \right.{\rm{ }}\), \(\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
B. \(\left[ \begin{array}{l} x = - \frac{{11\pi }}{6} + k10\pi \\ x = \frac{{29\pi }}{6} + k10\pi \end{array} \right.{\rm{ }}\), \(\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
C. \(\left[ \begin{array}{l} x = - \frac{{11\pi }}{6} + k10\pi \\ x = - \frac{{29\pi }}{6} + k10\pi \end{array} \right.{\rm{ }}\), \(\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).
D. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{{11\pi }}{6} + k10\pi \\ x = \frac{{29\pi }}{6} + k10\pi \end{array} \right.{\rm{ }}\) ,\(\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có
\(\sin \left( \frac{x+\pi }{5} \right)=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \sin \left( \frac{x+\pi }{5} \right)=\sin \left( -\frac{\pi }{6} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{x + \pi }}{5} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ \frac{{x + \pi }}{5} = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{ - 11\pi }}{6} + k10\pi \\ x = \frac{{29\pi }}{6} + k10\pi \end{array} \right.{\rm{ }}\left( {k \in Z} \right)\)
Câu 4: Nghiệm của phương trình \({{\sin }^{2}}x=1\) là:
A. \(x=k2\pi \).
B. \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi \).
C. \(x=\pi +k2\pi \).
D. \(x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \({{\sin }^{2}}x=1\Leftrightarrow \frac{1-\cos 2x}{2}=1\Leftrightarrow \cos 2x=-1\Leftrightarrow 2x=\pi +k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi \).
Câu 5: Phương trình \(\sin x=0\) có nghiệm là:
A. \(x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \).
B. \(x=k\pi \).
C. \(x=k2\pi \).
D. \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi \).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Câu 6: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai
A. \(\sin x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi .\)
B. \(\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi .\)
C. \(\sin x=0\Leftrightarrow x=k2\pi .\)
D. \(\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi .\)
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
\(\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right).\)
Câu 7: Phương trình \(\sin \left( \frac{2\text{x}}{3}-\frac{\pi }{3} \right)=0\) (với \(k\in \mathbb{Z}\)) có nghiệm là
A. \(x=k\pi \).
B. \(x=\frac{2\pi }{3}+\frac{k3\pi }{2}\).
C. \(x=\frac{\pi }{3}+k\pi \).
D. \(x=\frac{\pi }{2}+\frac{k3\pi }{2}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn D
\(\sin \left( \frac{2\text{x}}{3}-\frac{\pi }{3} \right)=0\Leftrightarrow \frac{2\text{x}}{3}-\frac{\pi }{3}=k\pi \Leftrightarrow \frac{2\text{x}}{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+\frac{k3\pi }{2}\) \((k\in \mathbb{Z})\)
Câu 8: Nghiệm của phương trình \(\sin x=\frac{1}{2}\) là:
A. \(x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \).
B. \(x=\frac{\pi }{6}+k\pi \).
C. \(x=k\pi \).
D. \(x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \).
Hướng dẫn giải:
Chọn D
\(\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\).
Câu 9: Phương trình \(\sin x=\frac{1}{2}\) có nghiệm thỏa mãn \(-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}\) là :
A. \(x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \)
B. \(x=\frac{\pi }{6}\).
C. \(x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \).
D. \(x=\frac{\pi }{3}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có \(\sin x=\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow \)\(\sin x=\sin \left( \frac{\pi }{6} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \pi - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\)\(\left( k\in \mathbb{R} \right)\)
Trường hợp 1: \(x=\frac{\pi }{6}+k\pi \). Do \(-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}\) nên \(-\frac{\pi }{2}\le \frac{\pi }{6}+k2\pi \le \frac{\pi }{2}\)\(\Leftrightarrow -\frac{1}{3}\le k\le \frac{1}{6}\).
Vì \(k\in \mathbb{R}\) nên ta chọn được \(k=0\) thỏa mãn. Do đó, ta được nghiệm \(x=\frac{\pi }{6}\).
Trường hợp 2: \(x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \). Do \(-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}\) nên \(-\frac{\pi }{2}\le \frac{5\pi }{6}+k2\pi \le \frac{\pi }{2}\)\(\Leftrightarrow -\frac{2}{3}\le k\le -\frac{1}{6}\).
Vì \(k\in \mathbb{R}\) nên ta không chọn được giá trị \(k\) thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\frac{\pi }{6}\).
Câu 10: Nghiệm phương trình \(\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\) là:
A. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\), \(\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).
B. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \end{array} \right.\), \(\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).
C. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{8} + k\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.\), \(\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).
D. \(\left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{8} + k2\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{8} + k2\pi \end{array} \right.\), \(\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có \(\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\Leftrightarrow \)\(\sin 2x=\sin \left( \frac{\pi }{4} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\ 2x = \pi - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{8} + k\pi \\ x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.\), \(\left( k\in \mathbb{Z} \right)\).
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp giải phương trình sinx = a. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
