Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Để tìm được giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần chú ý:

+ Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1; -1 ≤ sinx ≤ 1

+ Với mọi x ta có: 0 ≤ |cosx| ≤ 1 ;0 ≤ |sinx| ≤ 1

Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y=3\sin 2x-5\) lần lượt là:

A. \(-8\,\,v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,-2\).

B. \(2\,\,v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,8\).

C. \(-5\,\,v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,2\).    

D. \(-5\,\,v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,3\).

Hướng dẫn giải:  

Chọn A.

Ta có :

\(-1\le \sin 2x\le 1\)\(\Leftrightarrow -3\le 3\sin 2x\le 3\)\(\Leftrightarrow -3-5\le 3\sin 2x-5\le 3-5\)\(\Leftrightarrow -8\le y=3\sin 2x-5\le -2\)

Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là \(-8\) và \(-2\).

Ví dụ 2: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y=7-2\cos (x+\frac{\pi }{4})\) lần lượt là:

A. \(-2\,\,v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,7\). 

B. \(-2\,\,v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,2\).

C. \(5\,\,v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,9\).

D. \(4\,\,v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,7\).

Hướng dẫn giải:  

Chọn C.

Ta có : \(-1\le c\text{os}\left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le 1\)\(\Leftrightarrow -2\le -2.c\text{os}\left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le 2\)\(\Leftrightarrow 7-2\le y=7-2.c\text{os}\left( x+\frac{\pi }{4} \right)\le 7-\left( -2 \right)\)

Hay \(5\le y\le 9\).

Do đó giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là \(5\) và \(9\).

Câu 1: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y=2{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}2x\)

A. \(\max y=4\),\(\min y=\frac{3}{4}\)  

B. \(\max y=3\),\(\min y=2\)

C. \(\max y=4\),\(\min y=2\) 

D. \(\max y=3\),\(\min y=\frac{3}{4}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Đặt \(t={{\sin }^{2}}x,\text{ }0\le t\le 1\Rightarrow \cos 2x=1-2t\)

\(\Rightarrow y=2t+{{(1-2t)}^{2}}=4{{t}^{2}}-2t+1={{(2t-\frac{1}{2})}^{2}}+\frac{3}{4}\).

Do \(0\le t\le 1\Rightarrow -\frac{1}{2}\le 2t-\frac{1}{2}\le \frac{3}{2}\Rightarrow 0\le {{(2t-\frac{1}{2})}^{2}}\le \frac{9}{4}\)\(\Rightarrow \frac{3}{4}\le y\le 3\).

Vậy \(\max y=3\) đạt được khi \(x=\frac{\pi }{2}+k\pi \).

  \(\min y=\frac{3}{4}\) đạt được khi \({{\sin }^{2}}x=\frac{1}{4}\).

Câu 2: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y=3\sin x+4\cos x+1\)

A. \(\max y=6\),\(\min y=-2\)

B. \(\max y=4\),\(\min y=-4\)

C. \(\max y=6\),\(\min y=-4\) 

D. \(\max y=6\),\(\min y=-1\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Áp dụng BĐT \({{(ac+bd)}^{2}}\le ({{c}^{2}}+{{d}^{2}})({{a}^{2}}+{{b}^{2}})\).

Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\).

Ta có: \({{(3\sin x+4\cos x)}^{2}}\le ({{3}^{2}}+{{4}^{2}})({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x)=25\)

\(\Rightarrow -5\le 3\sin x+4\cos x\le 5\Rightarrow -4\le y\le 6\).

Vậy \(\max y=6\), đạt được khi \(\tan x=\frac{3}{4}\).

  \(\min y=-4\), đạt được khi \(\tan x=-\frac{3}{4}\).

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y=4\sqrt{\sin x+3}-1\) lần lượt là:

A. \(\sqrt{2}\,\,v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,2\).   

B. \(2\,\,v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,4\). 

C. \(4\sqrt{2}\,\,v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,8\).     

D. \(4\sqrt{2}-1\,\,v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\,\,7\).

Hướng dẫn giải:  

Chọn D.

Ta có :

\(-1\le \operatorname{s}\text{inx}\le 1\)\(\Leftrightarrow 2\le \operatorname{s}\text{inx+3}\le 4\)\(\Leftrightarrow \sqrt{2}\le \sqrt{\operatorname{s}\text{inx+3}}\le 2\)\(\Leftrightarrow 4\sqrt{2}-1\le y=4\sqrt{\operatorname{s}\text{inx+3}}-1\le 4.2-1=7\)

Do đó giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là \(4\sqrt{2}-1\) và\(7\).

Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y={{\sin }^{2}}x-4\sin x-5\) là:

A. \(-20\).                           B. \(-8\).                             C. \(0\).                              D. \(9\).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có \(y={{\sin }^{2}}x-4\sin x-5\)\(={{\left( \operatorname{s}\text{inx}-2 \right)}^{2}}-9\)

Khi đó : \(-1\le \operatorname{s}\text{inx}\le 1\)\(\Leftrightarrow -3\le \operatorname{s}\text{inx}-2\le -1\)\(\Rightarrow 1\le {{\left( \operatorname{s}\text{inx}-2 \right)}^{2}}\le 9\)

Do đó : \(y={{\left( \operatorname{s}\text{inx}-2 \right)}^{2}}-9\ge 1-9=-8\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-8\).

Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=1-2\cos x-{{\cos }^{2}}x\) là:

A. \(2\).                                        B. \(5\).                          C. \(0\).                         D. \(3\).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có : \(y=1-2\cos x-{{\cos }^{2}}x=2-{{\left( \cos x+1 \right)}^{2}}\)

Nhận xét : \(-1\le \cos x\le 1\)\(\Leftrightarrow 0\le \cos x+1\le 2\)\(\Rightarrow 0\le {{\left( \cos x+1 \right)}^{2}}\le 4\)

Do đó \(y=2-{{\left( \cos x+1 \right)}^{2}}\le 2-0=2\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2.

Câu 6: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y=2+3\sin 3x\)

A. \(\min y=-2;\text{ }\max y=5\)    

B. \(\min y=-1;\text{ }\max y=4\)

C. \(\min y=-1;\text{ }\max y=5\) 

D. \(\min y=-5;\text{ }\max y=5\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: \(-1\le \sin 3x\le 1\Rightarrow -1\le y\le 5\). Suy ra: \(\min y=-1;\text{ }\max y=5\)

Câu 7: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y=1-4{{\sin }^{2}}2x\)

A. \(\min y=-2;\text{ }\max y=1\) 

B. \(\min y=-3;\text{ }\max y=5\)

C. \(\min y=-5;\text{ }\max y=1\) 

D. \(\min y=-3;\text{ }\max y=1\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(0\le {{\sin }^{2}}2x\le 1\Rightarrow -3\le y\le 1\). Suy ra: \(\min y=-3;\text{ }\max y=1\)

Câu 8: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y=2\cos (3x-\frac{\pi }{3})+3\)

A. \(\min y=2\),\(\max y=5\)

B. \(\min y=1\),\(\max y=4\)

C. \(\min y=1\),\(\max y=5\) 

D. \(\min y=1\),\(\max y=3\)

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: \(\min y=1\) đạt được khi \(x=\frac{4\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}\)

    \(\max y=5\) đạt được khi \(x=\frac{\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}\)

Câu 9: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y=\sqrt{3-2{{\sin }^{2}}2x}+4\)

A. \(\min y=6\),\(\max y=4+\sqrt{3}\)                        

B. \(\min y=5\),\(\max y=4+2\sqrt{3}\)

C. \(\min y=5\),\(\max y=4+3\sqrt{3}\)                      

D. \(\min y=5\),\(\max y=4+\sqrt{3}\)

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có: \(\min y=5\) đạt được khi \(x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\)

    \(\max y=4+\sqrt{3}\) đạt được khi \(x=k\frac{\pi }{2}\)

Câu 10: Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y=\sqrt{2\sin x+3}\)

A. \(\max y=\sqrt{5}\),\(\min y=1\)

B. \(\max y=\sqrt{5}\),\(\min y=2\sqrt{5}\)                         

C. \(\max y=\sqrt{5}\),\(\min y=2\) 

D. \(\max y=\sqrt{5}\),\(\min y=3\)

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có \(1\le 2\sin x+3\le 5\Rightarrow 1\le y\le \sqrt{5}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(\max y=\sqrt{5}\), đạt được khi \(\sin x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \).

Giá trị nhỏ nhất bằng \(\min y=1\), đạt được khi .\(x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lượng giác. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp xét tính chẵn lẻ và tìm chu kỳ của hàm số lượng giác

• Phương pháp xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số lượng giác

Chúc các em học tốt!