Phương pháp chứng minh phương trình có n nghiệm

“ Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định, liên tục trên D và nếu tồn tại một số âm $\alpha$ sao cho $y\left(\alpha \right)<0$ và tồn tại một số dương $\beta$ sao cho $y\left(\beta \right)>0$.

Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, phương trình y=0 có ít nhất một nghiệm $c\in (\alpha ;\beta )$.

Nếu ta chứng minh được hàm số y đơn điệu ( tức đồng biến hoặc nghịch biến ) trên khoảng $(\alpha ;\beta )$. Từ đó suy ra rằng phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc khoảng $(\alpha ;\beta )$”.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình: $x^5-5x-5=0$ có nghiệm duy nhất.

Lời giải.

Xét hàm số $f\left(x\right)=x^5-5x-5$, $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=5(x^4-1)=5(x^2-1)(x^2+1)$, vì $x^2+1>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ nên $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff$ x=-1 hoặc x=1

Từ bảng biến thiên, suy ra:

$f\left(x\right)<0,\mathrm{\forall }x\le 1\Rightarrow$ phương trình không có nghiệm khi $\mathrm{\forall }x\le 1$.

Vì $f\left(1\right)=-9$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$ nên phương trình có nghiệm x>1

Mặt khác: $f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $(1;+\mathrm{\infty })$, do đó hàm số y cắt trục hoành tại 1 giao điểm .   

Vậy, phương trình : $x^5-5x-5=0$ có 1 nghiệm duy nhất .

Ví dụ 2: Chứng minh phương trình: $x^5-x^2-2x-1=0$ có nghiệm duy nhất.

Lời giải.

$x^5=x^2+2x+1$ hay $x^5={(x+1)}^2$

Dễ thấy $x^5\ge 0\Rightarrow x\ge 0\Rightarrow x+1\ge 1\Rightarrow {(x+1)}^2\ge 1$ tức $x^5\ge 1$ hay $x\ge 1$. 

Xét hàm số $y=x^5-x^2-2x-1$ xác định và liên tục trên nửa khoảng $[1;+\mathrm{\infty })$.

Dễ thấy $y\left(1\right).y\left(2\right)<0\Rightarrow$ phương trình $x^5-x^2-2x-1=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc  khoảng $(1;2)$, hơn nữa hàm số y đồng biến (  y'>0, $\mathrm{\forall }x\in (1;2)$) trong khoảng này. 

Như vậy, phương trình $x^5-x^2-2x-1=0$ có nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc khoảng $(1;2)$.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình : $\frac{1}{5}{x}^5+x^3-4x-3=0$ có nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc khoảng $(1;2)$

Lời giải.

Xét hàm số $y=\frac{1}{5}{x}^5+x^3-4x-3$ xác định và liên tục trên  $\mathbb{R}$

Ta có: $y^{\prime }=x^4+3x^2-4$ và $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-1,y(-1)=-\frac{1}{5}\\ & x=1,y\left(1\right)=-\frac{29}{5}\end{array}$

Bảng biến thiên, suy ra: $y<0,\mathrm{\forall }x\le 1\Rightarrow$ phương trình không có nghiệm khi $\mathrm{\forall }x\le 1$.

Mặt khác $y\left(1\right)=-\frac{29}{5}$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }$, do đó phương trình đã cho có nghiệm x>1, hơn nữa $y\left(2\right)=\frac{17}{5}>0\Rightarrow y\left(1\right)y\left(2\right)<0\Rightarrow$ phương trình $\frac{1}{5}{x}^5+x^3-4x-3=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng $(1;2)$.

Hơn nữa y đồng biến trên khoảng $(1;+\mathrm{\infty })$, do đó hàm số y cắt trục hoành tại 1 giao điểm có hoành độ $x\in (1;2)$.

Vậy, phương trình : $\frac{1}{5}{x}^5+x^3-4x-3=0$ có một nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc khoảng $(1;2)$.

Bài 1: Chứng minh rằng phương trình:

1. $x^5-5x-5=0$ có nghiệm duy nhất.

2. $x^5-x^2-2x-1=0$ có nghiệm duy nhất.

3. $2x^2\sqrt{x-2}=11$ có nghiệm duy nhất.

4. $x^5+\frac{x}{\sqrt{x^2-2}}-2012=0$ có đúng hai nghiệm dương phân biệt.

5. $\frac{2}{5}{x}^5-\frac{3}{4}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2+2x-1=0$ có nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc $(-1;1)$.

6. $\frac{2}{5}{x}^5-\frac{3}{4}{x}^4+\frac{3}{2}{x}^2+2x-1=0$ có ba nghiệm phân biệt .

7. $x^5-5x^4+15x^3-x^2+3x-7=0$ có  nghiệm thực duy nhất.

8. $x^{2012}-2x^3=x^6+1$ có đúng 1 nghiệm thực dương.

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình : $\sqrt{x^2+1}+x^4-2x^2+1-x^5=0$ có đúng một nghiệm.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

1. Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=5(x^4-1)=5(x^2-1)(x^2+1)$, vì $x^2+1>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ nên $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff$ x=-1 hoặc x=1. 

$f\left(x\right)<0,\mathrm{\forall }x\le 1\Rightarrow$ phương trình không có nghiệm khi $\mathrm{\forall }x\le 1$.

Vì $f\left(1\right)=-9$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$ nên phương trình có nghiệm x>1

$f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng $(1;+\mathrm{\infty })$, do đó hàm số y cắt trục hoành tại 1 giao điểm

2. $x^5=x^2+2x+1$ hay $x^5={(x+1)}^2$

Dễ thấy $x^5\ge 0\Rightarrow x\ge 0\Rightarrow x+1\ge 1\Rightarrow {(x+1)}^2\ge 1$ tức $x^5\ge 1$ hay $x\ge 1$. 

Xét hàm số $y=x^5-x^2-2x-1$ xác định và liên tục trên nửa khoảng $[1;+\mathrm{\infty })$.

Dễ thấy $y\left(1\right).y\left(2\right)<0\Rightarrow$ phương trình $x^5-x^2-2x-1=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc  khoảng $(1;2)$, hơn nữa hàm số y đồng biến ( y'>0,$\mathrm{\forall }x\in (1;2)$) trong khoảng này.  Như vậy, phương trình $x^5-x^2-2x-1=0$ có nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc khoảng $(1;2)$

Chú ý: Có $f^{\prime }(x)=5x^4-2x-2=2x(x^3-1)+2(x^4-1)+x^5>0$

Mà $f(1).f(2)<0\Rightarrow$ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

3. Cách 1: Xét hàm số $y=2x^2\sqrt{x-2}$ liên tục trên nửa khoảng $[2;+\mathrm{\infty })$

Ta có: $y^{\prime }=\frac{x(5x-8)}{\sqrt{x-2}}>0,\mathrm{\forall }x\in (2;+\mathrm{\infty })\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(2x^2\sqrt{x-2}\right)=+\mathrm{\infty }$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị của hàm số $y=2x^2\sqrt{x-2}$ luôn cắt đường thẳng y=11 tại duy nhất một điểm.

Cách 2: Xét hàm số $y=f\left(x\right)=2x^2\sqrt{x-2}-11$ liên tục trên nửa khoảng $[2;+\mathrm{\infty })$

Ta có $f\left(2\right)=-11,f\left(3\right)=7$. Vì $f\left(2\right).f\left(3\right)=-77<0\Rightarrow f\left(x\right)=0$ có ít nhất một nghiệm trong khoảng $(2;3)$ 

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{x(5x-8)}{\sqrt{x-2}}>0,\mathrm{\forall }x\in (2;+\mathrm{\infty })\Rightarrow f\left(x\right)$ liên tục và đồng biến trên khoảng $(2;3)$  

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất thuộc khoảng $(2;3)$.

4. Điều kiện: $x>\sqrt{2}$

Xét hàm số : $f\left(x\right)=x^5+\frac{x}{\sqrt{x^2-2}}-2012$ với $x>\sqrt{2}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=5x^4-\frac{1}{\sqrt{{(x^2-2)}^3}}\Rightarrow f^{″}\left(x\right)=20x^3+\frac{3x}{\sqrt{{(x^2-2)}^5}}>0\text{ ,}\mathrm{\forall }x>\sqrt{2}$

$\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=0$ có nhiều nhất một nghiệm $\Rightarrow f\left(x\right)=0$ có nhiều nhất là hai nghiệm và $\underset{x\to {\sqrt{2}}^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty },f\left(\sqrt{3}\right)<0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }\Rightarrow f\left(x\right)=0$ có hai nghiệm $x_1\in (\sqrt{2};\sqrt{3})$ và $x_2>\sqrt{3}$.

Bài 2: $x^5=\sqrt{x^2+1}+x^4-2x^2+1=\sqrt{x^2+1}+{(x^2-1)}^2\ge 1\Rightarrow x\ge 1$.

Xét hàm số $\text{f}\left(\text{x}\right)=\sqrt{x^2+1}+x^4-2x^2+1-x^5$, khi đó hàm số f liên tục trên $[1;+\mathrm{\infty })$ và phương trình (1) có dạng f(x)=0.

Vì $\{\begin{array}{rl}& f(1)=\sqrt{2}-1>0\\ & \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^5(\sqrt{\frac{1}{x^8}+\frac{1}{x^{10}}}+\frac{1}{x}-\frac{2}{x^3}+\frac{1}{x^5}-1)=-\mathrm{\infty }\end{array}$ nên phương trình $\text{f}\left(\text{x}\right)=0$ có nghiệm thuộc $(\text{1};+\mathrm{\infty }).$

Lại có : $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+4x^3-2x-5x^4=x(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}-2)+x^3(4-5x)<0$ với mọi $\text{x}\in [1;+\mathrm{\infty })$. Suy ra hàm số $\text{f}\left(\text{x}\right)$ nghịch biến trên $[1;+\mathrm{\infty })$.

Vậy phương trình $\text{f}\left(\text{x}\right)=0$ có đúng một nghiệm.

 

Trên đây là toàn bộ nội dung Phương pháp chứng minh phương trình có n nghiệm. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Ứng dụng của đơn điệu trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình

Chúc các em học tập tốt!