Ứng dụng của đơn điệu trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình

1. Phương pháp

Biến đổi phương trình ,bất phương trình đã cho thành dạng f(x) = g(m) ,

f(x) > g(m),…Sau đó lập bảng biến thiên của f(x) , dựa vào bảng biến thiên này sẽ tìm được các giá trị của tham số thỏa yêu cầu của bài toán.

Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến ta thấy

- Nếu hàm số y=f(x) liên tục và đồng biến trên D thì :

$f(x)=f(y)\iff x=y$ và $f(x)>f(y)\iff x>y$

- Nếu hàm số y=f(x) liên tục và nghịch biến trên D thì :

$f(x)=f(y)\iff x=y$ và \(f(x)>f(y) $f(x)>f(y)\iff x<y$

Từ đó gợi cho chúng ta ứng dụng vào các bài toán chứng minh bất đẳng thức và các bài toán giải phương trình, bất phương trình. Cụ thể ta có các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a;b) thì số nghiệm của phương trình : $f\left(x\right)=k$ (trên (a;b))  không nhiều hơn một và  $f\left(u\right)=f\left(v\right)\iff u=v$ $\mathrm{\forall }u,v\in (a;b)$.

Tính chất 2: Nếu hàm số y=f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số $y=g\left(x\right)$ liên tục và luôn nghịch biến  (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình : $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ không nhiều hơn một.

Tính chất 3: Nếu hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D thì \(f(u)>f(v)\Leftrightarrow u>v\text{ }(u

Tính chất 4: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên khoảng liên tục $(a;b)$. Nếu f(a)=f(b) thì phương trình f'(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Hệ quả 1: Nếu phương trình $f\left(x\right)=0$ có m nghiệm thì phương trình f'(x)=0 có m-1 nghiệm.

Hệ quả 2: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm đến cấp k liên tục trên (a;b). Nếu phương trình $f^{(k)}(x)=0$ có đúng m nghiệm thì phương trình $f^{(k-1)}(x)=0$ có nhiều nhất là m+1 nghiệm.

Chú ý: Sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình – bất phương trình ta thường đi theo hai hướng sau:

Hướng 1: Đưa phương trình về dạng $f(x)=f(x_0)$, trong đó y=f(t) là một hàm số liên tục và luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên tập đang xét.

- Để làm theo hướng này, chúng ta cần nhẩm trước một nghiệm của phương trình và nhận diện được tính đơn điệu của hàm số f.

- Để nhẩm nghiệm, ta có thể sử dụng máy tính bỏ túi để tìm nghiệm.

Cụ thể: Để tìm một nghiệm của phương trình f(x)=0 ta thực hiện như sau

Bước 1: Nhập biểu thức f(x) (Dùng phím ALPHA+ X)

Bước 2: Dùng lệnh giải phương trình: SHIFT+CALC (SOLVE) nhập giá trị của X (nhập giá trị bất kì) =.

- Để nhận diện được tính đơn điệu của hàm số f, chúng ta cần chú ý

*Tổng hai hàm số đồng biến là một hàm số đồng biến

* Hàm số đối của một hàm số đồng biến là một hàm số nghịch biến.

* Nếu hàm số y=f(x) đồng biến thì $y=\sqrt[n]{f(x)}$ là hàm số đồng biến.

* Nếu hàm số y=f(x) đồng biến và nhận giá trị dương thì hàm số $y=\frac{1}{f(x)}$ là một hàm nghịch biến.

Hướng 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(u)=f(v), trong đó u,v là các hàm theo x.

Làm theo hướng ta thường áp dụng khi gặp phương trình chứa hai phép toán ngược nhau.

Chú ý 1:

Ký hiệu K là một đoạn,một khoảng hoặc một nửa khoảng.

- Nếu $f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $f\left(a\right).f\left(b\right)<0$ thì phương trình $f\left(x\right)=0$  có ít nhất một nghiệm $c\in (a;b)$.

- Nếu $f\left(x\right)$ liên tục và đơn điệu trên K thì phương trình $f\left(x\right)=0$ có không quá một nghiệm trên K.

Chú ý 2:

Nếu $f\left(x\right)\$liêntụcvàtăngtrênK,\text{(}g\left(x\right)$ liên tục và giảm (hoặc là hàm hằng) trên K thì phương trình $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ có không quá một nghiệm trên K.

- Nếu phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ có n nghiệm trên khoảng $(a;b)$ thì phương trình $f\left(x\right)=0$ có không quá n+1 nghiệm trên khoảng $(a;b)$.

- Tổng của 2 hàm tăng trên K là một hàm tăng trên K, tổng của 2 hàm giảm trên K là một hàm giảm trên K.

- Nếu $f\left(x\right)$ là hàm tăng trên K thì $a.f\left(x\right)$ tăng trên K nếu a>0 và $a.f\left(x\right)$ giảm trên K nếu a<0.

Ví dụ:  Giải phương trình: 1. $4x^3+x-(x+1)\sqrt{2x+1}=0$ 2. $\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{2x^2+1}+\sqrt[3]{2x^2}$ 3. $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0$ 4. $\sqrt{3x+3}-\sqrt{5-2x}-x^3+3x^2+10x-26=0$

Lời giải.

1. Điều kiện: $x\ge -\frac{1}{2}$

Phương trình đã cho tương đương với: ${\left(2x\right)}^3+2x={\left(\sqrt{2x+1}\right)}^3+\sqrt{2x+1}(\ast )$

Xét hàm số: $f\left(t\right)=t^3+t$ trên $\mathbb{R}$.

Ta có: $f^{\prime }\left(t\right)=3t^2+1>0,\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}$, suy ra $f\left(t\right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Do đó (*) $\iff 2x=\sqrt{2x+1}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 4x^2=2x+1\end{array}\Rightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$

2. Nhận xét đặc điểm các biểu thức dưới dấu căn ta thấy ở mỗi vế biểu thức dưới dấu căn hơn kém nhau 1. Do đó nếu ta đặt đặt $u=\sqrt[3]{x+1},v=\sqrt[3]{2x^2}$ thì phương trình đã cho trở thành: $\sqrt[3]{u^3+1}+u=\sqrt[3]{v^3+1}+v\iff f(u)=f(v)$.

Trong đó $f(t)=\sqrt[3]{t^3+1}+t$, có: $f^{\prime }(t)=\frac{t^2}{\sqrt[3]{{(t^3+1)}^2}}+1>0$ nên f(t) là hàm đồng biến.

Do đó: $f(u)=f(v)\iff u=v\iff 2x^2=x+1\iff x=1,x=-\frac{1}{2}$

Vậy phương trình có hai nghiệm: $x=1,x=-\frac{1}{2}$

3. Điều kiện $\{\begin{array}{l}3x+1\ge 0\\ 6-x\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge -\frac{1}{3}\\ x\le 6\end{array}\Rightarrow x\in \left[-\frac{1}{3};6\right]$

Dễ thấy \(x=-\frac{1}{3}$ hoặc x=6 không là nghiệm phương trình.

Cách 1: Xét hàm số: $f\left(x\right)=\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8$ liên tục trên khoảng $(-\frac{1}{3};6)$.

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2}[\frac{3}{\sqrt{3x+1}}+\frac{1}{\sqrt{6-x}}]+6x-14,x\in (-\frac{1}{3};6)$

$\bullet x\in (-\frac{1}{3};\frac{7}{3})\Rightarrow \sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}<2\sqrt{2}-\sqrt{\frac{11}{3}},$

$3x^2-14x-8\le -3\Rightarrow f\left(x\right)<0,\mathrm{\forall }x\in [-\frac{1}{3};\frac{7}{3})$

$\bullet x\in [\frac{7}{3};6):f^{\prime }\left(x\right)>0\Rightarrow f\left(x\right)$ đồng biến trên $[\frac{7}{3};6)$ và $f\left(5\right)=0$

Do đó trên $[\frac{7}{3};6)$ phương trình $f\left(x\right)=0$ có đúng 1 nghiệm x=5.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=5.

Cách 2: Phương trình : $\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0$

$\iff (\sqrt{3x+1}-4)+(1-\sqrt{6-x})+3x^2-14x-5=0$

$\iff \frac{3(x-5)}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{x-5}{\sqrt{6-x}+1}+(x-5)(3x+1)=0$

$\iff (x-5)(\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1)=0(\ast )$

Vì $\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+3x+1>0,x\in (-\frac{1}{3};6)$ nên phương trình

$(\ast )\iff x-5=0\iff x=5$.

Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất x=5.

4.  Điều kiện: $-1\le x\le \frac{5}{2}$.

Dễ thấy, x=-1 hoặc $x=\frac{5}{2}$ không là nghiệm phương trình.

Phương trình cho viết lại: $(\sqrt{3x+3}-3)-(\sqrt{5-2x}-1)-(x-2)(x^2-x-12)=0$

$\iff \frac{3(x-2)}{\sqrt{3x+3}+3}+\frac{2(x-2)}{\sqrt{5-2x}+1}-(x-2)(x^2-x-12)=0$

$\iff (x-2)[\frac{3}{\sqrt{3x+3}+3}+\frac{2}{\sqrt{5-2x}+1}-x^2+x+12]=0$

Xét hàm số $f\left(x\right)=-x^2+x+12$, với $x\in (-1;\frac{5}{2})$

Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)=-2x+1$ và $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=\frac{1}{2}$

$\underset{x\in (-1;\frac{5}{2})}{min}f=f\left(\frac{5}{2}\right)>0$, do đó $\frac{3}{\sqrt{3x+3}+3}+\frac{2}{\sqrt{5-2x}+1}-x^2+x+12>0$, mọi $x\in (-1;\frac{5}{2})$

Vậy, phương trình cho có nghiệm duy nhất x=2.

Bài 1: Giải phương trình: $2(x-2)(\sqrt[3]{x+5}+2\sqrt{2x-5})=3x-1$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\ge \frac{5}{2}$

Phương trình đã cho tương đương: $\sqrt[3]{x+5}+2\sqrt{2x-5}=\frac{3x-1}{2x-4}$

$\iff \sqrt[3]{x+5}+2\sqrt{2x-5}-\frac{3x-1}{2x-4}=0$

Đặt $f(x)=\sqrt[3]{x+5}+2\sqrt{2x-5}-\frac{3x-1}{2x-4}$ với x thuộc $[\frac{5}{2};-\mathrm{\infty })$

Ta có: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3\sqrt[3]{{(x+5)}^2}}+\frac{2}{\sqrt{2x-5}}+\frac{10}{{(2x-4)}^2}>0$ với $\mathrm{\forall }x>\frac{5}{2}$

⇒ hàm số f(x) đồng biến trên $[\frac{5}{2};-\mathrm{\infty })\Rightarrow$ phương trình f(x)=0 có tối đa một nghiệm  

Và f(3)=0 (2). Từ (1) và (2) suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=3.   

Bài 2 :  Giải phương trình: $\sqrt{3+\sin x}-\sqrt{2-\sin x}=1$

Lời giải.

Tập xác định $D=\mathbb{R}$

Đặt $t=\sin x$, điều kiện $\left|t\right|\le 1$

Khi đó phương trình có dạng : $\sqrt{3+t}-\sqrt{2-t}=1\iff \sqrt{3+t}=1+\sqrt{2-t}(\ast )$

Dễ thấy: + Hàm số $f(t)=\sqrt{3+t}$ là hàm đồng biến trên $D=[-1;1]$

 + Hàm số $g(t)=1+\sqrt{2-t}$ là hàm nghịch biến trên $D=[-1;1]$

Từ $(\ast )$ suy ra : f(t)=g(t) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Ta thấy t=1 là thỏa phương trình $(\ast )$, do đó: $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết của phần đáp án vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Ứng dụng của đơn điệu trong giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định

• Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng K=(−∞;α), (β;+∞), (−∞;α], [β;+∞)

Chúc các em học tập tốt!