1. Quy tắc cộng xác suất
Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)
\(\bullet \) Mở rộng quy tắc cộng xác suất
Cho \(k\) biến cố \({{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{k}}\) đôi một xung khắc. Khi đó:
\(P({{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup ...\cup {{A}_{k}})=P({{A}_{1}})+P({{A}_{2}})+...+P({{A}_{k}})\).
\(\bullet \) \(P(\overline{A})=1-P(A)\)
\(\bullet \) Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó: \(P(A\cup B)=P\left( A \right)+P\left( B \right)-P\left( AB \right)\).
2. Quy tắc nhân xác suất
\(\bullet \) Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.
\(\bullet \) Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi \(P\left( AB \right)=P\left( A \right).P\left( B \right)\).
Bài toán 01: Tính xác suất bằng quy tắc cộng
Phương pháp: Sử dụng các quy tắc đếm và công thức biến cố đối, công thức biến cố hợp.
\(\bullet \) \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\) với A và B là hai biến cố xung khắc
\(\bullet \) \(P(\overline{A})=1-P(A)\).
Bài toán 02: Tính xác suất bằng quy tắc nhân
Phưng pháp:
Để áp dụng quy tắc nhân ta cần:
\(\bullet \) Chứng tỏ A và B độc lập
\(\bullet \) Áp dụng công thức: \(P(AB)=P(A).P(B)\)
Ví dụ: Ba cầu thủ sút phạt đến 11m, mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn tương ứng là \(x\), \(y\) và \(0,6\) (với \(x>y\)). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là \(0,976\) và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi ban là \(0,336\). Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn.
A. \(P(C)=0,452\)
B. \(P(C)=0,435\)
C. \(P(C)=0,4525\)
D. \(P(C)=0,4245\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi \({{A}_{i}}\) là biến cố “người thứ i ghi bàn” với i=1,2,3.
Ta có các \({{A}_{i}}\) độc lập với nhau và \(P\left( {{A}_{1}} \right)=x,\text{ }P\left( {{A}_{2}} \right)=y,\text{ }P\left( {{A}_{3}} \right)=0,6\).
Gọi A là biến cố: “ Có ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn”
B: “ Cả ba cầu thủ đều ghi bàn”
C: “Có đúng hai cầu thủ ghi bàn”
Ta có: \(\overline{A}=\overline{{{A}_{1}}}.\overline{{{A}_{2}}}.\overline{{{A}_{3}}}\Rightarrow P\left( \overline{A} \right)=P\left( \overline{{{A}_{1}}} \right).P\left( \overline{{{A}_{2}}} \right).P\left( \overline{{{A}_{3}}} \right)=0,4(1-x)(1-y)\)
Nên \(P(A)=1-P\left( \overline{A} \right)=1-0,4(1-x)(1-y)=0,976\)
Suy ra \((1-x)(1-y)=\frac{3}{50}\Leftrightarrow xy-x-y=-\frac{47}{50}\) (1).
Tương tự: \(B={{A}_{1}}.{{A}_{2}}.{{A}_{3}}\), suy ra:
\(P\left( B \right)=P\left( {{A}_{1}} \right).P\left( {{A}_{2}} \right).P\left( {{A}_{3}} \right)=0,6xy=0,336\) hay là \(xy=\frac{14}{25}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ: , giải hệ này kết hợp với \(x>y\) ta tìm được
\(x=0,8\) và \(y=0,7\).
Ta có: \(C=\overline{{{A}_{1}}}{{A}_{2}}{{A}_{3}}+{{A}_{1}}\overline{{{A}_{2}}}{{A}_{3}}+{{A}_{1}}{{A}_{2}}\overline{{{A}_{3}}}\)
Nên \(P(C)=(1-x)y.0,6+x(1-y).0,6+xy.0,4=0,452\).
3. Bài tập
Câu 1: Một con súc sắc không đồng chất sao cho mặt bốn chấm xuất hiện nhiều gấp 3 lần mặt khác, các mặt còn lại đồng khả năng. Tìm xác suất để xuất hiện một mặt chẵn
A. \(P(A)=\frac{5}{8}\)
B. \(P(A)=\frac{3}{8}\)
C. \(P(A)=\frac{7}{8}\)
D. \(P(A)=\frac{1}{8}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi \({{A}_{i}}\) là biến cố xuất hiện mặt i chấm \((i=1,2,3,4,5,6)\)
Ta có \(P({{A}_{1}})=P({{A}_{2}})=P({{A}_{3}})=P({{A}_{5}})=P({{A}_{6}})=\frac{1}{3}P({{A}_{4}})=x\)
Do \(\sum\limits_{k=1}^{6}{P({{A}_{k}})=1\Rightarrow 5x+3x=1\Rightarrow x=\frac{1}{8}}\)
Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, suy ra \(A={{A}_{2}}\cup {{A}_{4}}\cup {{A}_{6}}\)
Vì cá biến cố \({{A}_{i}}\) xung khắc nên:
\(P(A)=P({{A}_{2}})+P({{A}_{4}})+P({{A}_{6}})=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}\).
Câu 2: Gieo một con xúc sắc 4 lần. Tìm xác suất của biến cố
A: “ Mặt 4 chấm xuất hiện ít nhất một lần”
A. \(P\left( A \right)=1-{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{4}}\)
B. \(P\left( A \right)=1-{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{4}}\)
C. \(P\left( A \right)=3-{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{4}}\)
D. \(P\left( A \right)=2-{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{4}}\)
B: “ Mặt 3 chấm xuất hiện đúng một lần”
A. \(P\left( A \right)=\frac{5}{324}\)
B. \(P\left( A \right)=\frac{5}{32}\)
C. \(P\left( A \right)=\frac{5}{24}\)
D. \(P\left( A \right)=\frac{5}{34}\)
Hướng dẫn giải:
1. Gọi \({{A}_{i}}\) là biến cố “ mặt 4 chấm xuất hiện lần thứ \(i\)” với \(i=1,2,3,4\).
Khi đó: \(\overline{{{A}_{i}}}\) là biến cố “ Mặt 4 chấm không xuất hiện lần thứ \(i\)”
Và \(P\left( \overline{{{A}_{i}}} \right)=1-P({{A}_{i}})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
Ta có: \(\overline{A}\) là biến cố: “ không có mặt 4 chấm xuất hiện trong 4 lần gieo”
Và \(\overline{A}=\overline{{{A}_{1}}}.\overline{{{A}_{2}}}.\overline{{{A}_{3}}}.\overline{{{A}_{4}}}\). Vì các \({{A}_{i}}\) độc lập với nhau nên ta có
\(P(\overline{A})=P\left( \overline{{{A}_{1}}} \right)P\left( \overline{{{A}_{2}}} \right)P\left( \overline{{{A}_{3}}} \right)P\left( \overline{{{A}_{4}}} \right)={{\left( \frac{5}{6} \right)}^{4}}\)
Vậy \(P\left( A \right)=1-P\left( \overline{A} \right)=1-{{\left( \frac{5}{6} \right)}^{4}}\).
2. Gọi \({{B}_{i}}\) là biến cố “ mặt 3 chấm xuất hiện lần thứ \(i\)” với \(i=1,2,3,4\)
Khi đó: \(\overline{{{B}_{i}}}\) là biến cố “ Mặt 3 chấm không xuất hiện lần thứ \(i\)”
Ta có: \(A=\overline{{{B}_{1}}}.{{B}_{2}}.{{B}_{3}}.{{B}_{4}}\cup {{B}_{1}}.\overline{{{B}_{2}}}.{{B}_{3}}.{{B}_{4}}\cup {{B}_{1}}.{{B}_{2}}.\overline{{{B}_{3}}}.{{B}_{4}}\cup {{B}_{1}}.{{B}_{2}}.{{B}_{3}}.\overline{{{B}_{4}}}\)
Suy ra \(P\left( A \right)=P\left( \overline{{{B}_{1}}} \right)P\left( {{B}_{2}} \right)P\left( {{B}_{3}} \right)P\left( {{B}_{4}} \right)+P\left( {{B}_{1}} \right)P\left( \overline{{{B}_{2}}} \right)P\left( {{B}_{3}} \right)P\left( {{B}_{4}} \right)\)
\(+P\left( {{B}_{1}} \right)P\left( {{B}_{2}} \right)P\left( \overline{{{B}_{3}}} \right)P\left( {{B}_{4}} \right)+P\left( {{B}_{1}} \right)P\left( {{B}_{2}} \right)P\left( {{B}_{3}} \right)P\left( \overline{{{B}_{4}}} \right)\)
Mà \(P\left( {{B}_{i}} \right)=\frac{1}{6},\text{ }P\left( \overline{{{B}_{i}}} \right)=\frac{5}{6}\).
Do đó: \(P\left( A \right)=4.{{\left( \frac{1}{6} \right)}^{3}}.\frac{5}{6}=\frac{5}{324}\).
Câu 3: Một hộp đựng 4 viên bi xanh,3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng.Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi:
1. Tính xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu
A. \(P(X)=\frac{5}{18}\)
B. \(P(X)=\frac{5}{8}\)
C. \(P(X)=\frac{7}{18}\)
D. \(P(X)=\frac{11}{18}\)
2. Tính xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu
A. \(P(\overline{X})=\frac{13}{18}\)
B. \(P(\overline{X})=\frac{5}{18}\)
C. \(P(\overline{X})=\frac{3}{18}\)
D. \(P(\overline{X})=\frac{11}{18}\)
Hướng dẫn giải:
1. Gọi A là biến cố "Chọn được 2 viên bi xanh"; B là biến cố "Chọn được 2 viên bi đỏ", C là biến cố "Chọn được 2 viên bi vàng" và X là biến cố "Chọn được 2 viên bi cùng màu".
Ta có \(X=A\cup B\cup C\)và các biến cố \(A,B,C\) đôi một xung khắc.
Do đó, ta có: \(P(X)=P(A)+P(B)+P(C)\).
Mà: \(P(A)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{9}^{2}}=\frac{1}{6};P(B)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{9}^{2}}=\frac{1}{12};P(C)=\frac{C_{2}^{2}}{C_{9}^{2}}=\frac{1}{36}\)
Vậy \(P(X)=\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{36}=\frac{5}{18}\).
2. Biến cố "Chọn được 2 viên bi khác màu" chính là biến cố \(\overline{X}\).
Vậy \(P(\overline{X})=1-P(X)=\frac{13}{18}\).
Câu 4: Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51.Tìm các suất sao cho 3 lần sinh có ít nhất 1 con trai
A. \(P\left( A \right)=\approx 0,88\)
B. \(P\left( A \right)=\approx 0,23\)
C. \(P\left( A \right)=\approx 0,78\)
D. \(P\left( A \right)=\approx 0,32\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Gọi A là biến cố ba lần sinh có ít nhất 1 con trai, suy ra \(\overline{A}\) là xác suất 3 lần sinh toàn con gái.
Gọi \({{B}_{i}}\) là biến cố lần thứ i sinh con gái (\(i=1,2,3\))
Suy ra \(P({{B}_{1}})=P({{B}_{2}})=P({{B}_{3}})=0,49\)
Ta có: \(\overline{A}={{B}_{1}}\cap {{B}_{2}}\cap {{B}_{3}}\)
\(\Rightarrow P\left( A \right)=1-P\left( \overline{A} \right)=1-P\left( {{B}_{1}} \right)P\left( {{B}_{2}} \right)P\left( {{B}_{3}} \right)=1-{{\left( 0,49 \right)}^{3}}\approx 0,88\).
Câu 5: Hai cầu thủ sút phạt đền.Mỗi nười đá 1 lần với xác suất làm bàm tương ứng là 0,8 và 0,7.Tính xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn
A. \(P\left( X \right)=0,42\)
B. \(P\left( X \right)=0,94\)
C. \(P\left( X \right)=0,234\)
D. \(P\left( X \right)=0,9\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi A là biến cố cầu thủ thứ nhất làm bàn
B là biến cố cầu thủ thứ hai làm bàn
X là biến cố ít nhất 1 trong hai cầu thủ làm bàn
Ta có: \(X=(A\cap \overline{B})\cup \left( \overline{A}\cap B \right)\cup \left( A\cap B \right)\)
\(\Rightarrow P\left( X \right)=P(A).P(\overline{B})+P(B).P(\overline{A})+P(A).P(B)=0,94\).
Câu 6: Một đề trắc nghiệm gồm 20 câu, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có một đáp án đúng. Bạn An làm đúng 12 câu, còn 8 câu bạn An đánh hú họa vào đáp án mà An cho là đúng. Mỗi câu đúng được 0,5 điểm. Hỏi Anh có khả năng được bao nhiêu điểm?
A. \(6+\frac{1}{{{4}^{7}}}\)
B. \(5+\frac{1}{{{4}^{2}}}\)
C. \(6+\frac{1}{{{4}^{2}}}\)
D. \(5+\frac{1}{{{4}^{7}}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
An làm đúng 12 câu nên có số điểm là \(12.0,5=6\)
Xác suất đánh hú họa đúng của mỗi câu là \(\frac{1}{4}\), do đó xác suất để An đánh đúng 8 câu còn lại là: \({{\left( \frac{1}{4} \right)}^{8}}=\frac{1}{{{4}^{8}}}\)
Vì 8 câu đúng sẽ có số điểm \(8.0,5=4\)
Nên số điểm có thể của An là: \(6+\frac{1}{{{4}^{8}}}.4=6+\frac{1}{{{4}^{7}}}\).
Câu 7: Một hộp đựng 40 viên bi trong đó có 20 viên bi đỏ, 10 viên bi xanh, 6 viên bi vàng,4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi, tính xác suất biến cố :
A: “2 viên bi cùng màu”.
A. \(P\left( A \right)=\frac{4}{195}\)
B. \(P\left( A \right)=\frac{6}{195}\)
C. \(P\left( A \right)=\frac{4}{15}\)
D. \(P\left( A \right)=\frac{64}{195}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: \(\left| \Omega \right|=C_{40}^{2}\)
Gọi các biến cố: D: “lấy được 2 bi viên đỏ” ta có: \(\left| {{\Omega }_{D}} \right|=C_{20}^{2}=190\);
X: “lấy được 2 bi viên xanh” ta có: \(\left| {{\Omega }_{X}} \right|=C_{10}^{2}=45\);
V: “lấy được 2 bi viên vàng” ta có: \(\left| {{\Omega }_{V}} \right|=C_{6}^{2}=15\);
T: “ lấy được 2 bi màu trắng” ta có: \(\left| {{\Omega }_{T}} \right|=C_{4}^{2}=6\).
Ta có \(\text{D},\text{ X},\text{ V},\text{ T}\) là các biến cố đôi một xung khắc và \(A=D\cup X\cup V\cup T\)
\(P\left( A \right)=P\left( \text{D} \right)+P\left( X \right)+P\left( V \right)+P\left( T \right)=\frac{256}{C_{40}^{2}}=\frac{64}{195}\).
Câu 8: Một cặp vợ chồng mong muốn sinh bằng đựơc sinh con trai ( Sinh được con trai rồi thì không sinh nữa, chưa sinh được thì sẽ sinh nữa ). Xác suất sinh được con trai trong một lần sinh là \(0,51\). Tìm xác suất sao cho cặp vợ chồng đó mong muốn sinh được con trai ở lần sinh thứ 2.
A. \(P(C)=0,24\) B. \(P(C)=0,299\) C. \(P(C)=0,24239\) D. \(P(C)=0,2499\)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Gọi A là biến cố : “ Sinh con gái ở lần thứ nhất”, ta có:
\(P(A)=1-0,51=0,49\).
Gọi B là biến cố: “ Sinh con trai ở lần thứ hai”, ta có: \(P(B)=0,51\)
Gọi C là biến cố: “Sinh con gái ở lần thứ nhất và sinh con trai ở lần thứ hai”
Ta có: \(C=AB\), mà \(A,B\) độc lập nên ta có:
\(P(C)=P(AB)=P(A).P(B)=0,2499\).
Câu 9: Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ,3 viên bi xanh,2 viên bi vàng,1 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi tính xác suất biến cố : A: “2 viên bi cùng màu”
A. \(P\left( C \right)=\frac{1}{9}\)
B. \(P\left( C \right)=\frac{2}{9}\)
C. \(P\left( C \right)=\frac{4}{9}\)
D. \(P\left( C \right)=\frac{1}{3}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \(n(\Omega )=C_{10}^{2}\)
Gọi các biến cố: D: “lấy được 2 viên đỏ” ; X: “lấy được 2 viên xanh” ;
V: “lấy được 2 viên vàng”
Ta có D, X, V là các biến cố đôi một xung khắc và \(C=D\cup X\cup V\)
\(P\left( C \right)=P\left( \text{D} \right)+P\left( X \right)+P\left( V \right)=\frac{2}{5}+\frac{C_{3}^{2}}{45}+\frac{1}{15}=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}\).
Câu 10: Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số được lập từ các chữ số từ 0 đến 9. Tính xác suất của biến cố X: “lấy được vé không có chữ số 2 hoặc chữ số 7”
A. \(P(X)=0,8533\) B. \(P(X)=0,85314\)
C. \(P(X)=0,8545\) D. \(P(X)=0,853124\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có \(n(\Omega )={{10}^{5}}\)
Gọi A: “lấy được vé không có chữ số 2”
B: “lấy được vé số không có chữ số 7”
Suy ra \(n(A)=n(B)={{9}^{5}}\Rightarrow P\left( A \right)=P\left( B \right)={{\left( 0,9 \right)}^{5}}\)
Số vé số trên đó không có chữ số 2 và 7 là: \({{8}^{5}}\), suy ra \(n(A\cap B)={{8}^{5}}\)
\(\Rightarrow P(A\cap B)={{(0,8)}^{5}}\)
Do \(X=A\cup B\) \(\Rightarrow P(X)=P\left( A\cup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)-P\left( A\cap B \right)=0,8533\).
...
---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---
Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về các quy tắc tính xác suất. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.
Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.
Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:
Chúc các em học tập tốt!
