1. Phương pháp 1
Dựa vào khai triển nhị thức Newton
\({{(a+b)}^{n}}=C_{n}^{0}{{a}^{n}}+{{a}^{n-1}}bC_{n}^{1}+{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}C_{n}^{2}+...+{{b}^{n}}C_{n}^{n}\).
Ta chọn những giá trị \(a,b\) thích hợp thay vào đẳng thức trên.
Một số kết quả ta thường hay sử dụng:
* \(C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}\)
* \(C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+...+C_{n}^{n}={{2}^{n}}\)
* \(\sum\limits_{k=0}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n}^{k}}=0\)
* \(\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{2n}^{2k}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{2n}^{2k-1}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^{2n}{C_{2n}^{k}}\)
* \(\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}}={{(1+a)}^{n}}\).
2. Phương pháp 2
Dựa vào đẳng thức đặc trưng
Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.
Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa \(k\)) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.
Ví dụ: Tính tổng \({{S}_{3}}=C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+...+nC_{n}^{n}\)
A. \(4n{{.2}^{n-1}}\)
B. \(n{{.2}^{n-1}}\)
C. \(3n{{.2}^{n-1}}\)
D. \(2n{{.2}^{n-1}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: \(kC_{n}^{k}=k.\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(k-1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ }(n-1)-(k-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }!}\)\(=n\frac{(n-1)!}{(k-1)!\text{ }\!\![\!\!\text{ }(n-1)-(k-1)\text{ }\!\!]\!\!\text{ }!}=nC_{n-1}^{k-1}\), \(\forall k\ge 1\)
\(\Rightarrow {{S}_{3}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{nC_{n-1}^{k-1}}=n\sum\limits_{k=0}^{n-1}{C_{n-1}^{k}}=n{{.2}^{n-1}}\).
3. Bài tập
Câu 1: Tổng \(T=~\,\,C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+C_{n}^{3}+...+C_{n}^{n}\) bằng:
A. \(T\text{ }=\text{ }{{2}^{n}}\).
B. \(T\text{ }=\text{ }{{2}^{n}}\text{ }1\).
C. \(T\text{ }=\text{ }{{2}^{n}}+\text{ }1\).
D. \(T\text{ }=\text{ }{{4}^{n}}\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Tính chất của khai triển nhị thức Niu – Tơn.
Câu 2: Tính giá trị của tổng \(S\text{ }=\,\,C_{6}^{0}+C_{6}^{1}+..+C_{6}^{6}\) bằng:
A. \(64\).
B. \(48\).
C. \(72\).
D. \(100\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
\(\text{S =}\,\,\text{C}_{\text{6}}^{\text{0}}\text{+C}_{\text{6}}^{\text{1}}\text{+}...\text{+C}_{\text{6}}^{\text{6}}={{2}^{6}}=64\)
Câu 3: Khai triển \({{\left( x+y \right)}^{5}}\)rồi thay \(x,y\) bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng \(S=\,\,C_{5}^{0}+C_{5}^{1}+...+C_{5}^{5}\)
A. \(\text{ }\!\!~\!\!\text{ 32}\).
B. \(\text{ 64}\).
C. \(\,1\).
D. \(\,12\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với \(x=1,y=1\) ta có \(\text{S=}\,\,\text{C}_{\text{5}}^{\text{0}}\text{+C}_{\text{5}}^{\text{1}}\text{+}...\text{+C}_{\text{5}}^{\text{5}}={{(1+1)}^{5}}=32\).
Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho: \(C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+4C_{n}^{2}+...+{{2}^{n}}C_{n}^{n}=243\)
A. 4 B. 11 C. 12 D. 5
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Xét khai triển: \({{(1+x)}^{n}}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+{{x}^{2}}C_{n}^{2}+...+{{x}^{n}}C_{n}^{n}\)
Cho \(x=2\) ta có: \(C_{n}^{0}+2C_{n}^{1}+4C_{n}^{2}+...+{{2}^{n}}C_{n}^{n}={{3}^{n}}\)
Do vậy ta suy ra \({{3}^{n}}=243={{3}^{5}}\Rightarrow n=5\).
Câu 5: Khai triển \({{\left( x+y \right)}^{5}}\)rồi thay \(x,y\) bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng \(S=\,\,C_{5}^{0}+C_{5}^{1}+...+C_{5}^{5}\)
A. \(\text{ }\!\!~\!\!\text{ 32}\).
B. \(\text{ 64}\).
C. \(\,1\).
D. \(\,12\).
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Với \(x=1,y=1\) ta có \(\text{S=}\,\,\text{C}_{\text{5}}^{\text{0}}\text{+C}_{\text{5}}^{\text{1}}\text{+}...\text{+C}_{\text{5}}^{\text{5}}={{(1+1)}^{5}}=32\).
Câu 6: Khai triển \({{\left( 1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}} \right)}^{5}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{15}}{{x}^{15}}\)
a) Hãy tính hệ số \({{a}_{10}}\).
A. \({{a}_{10}}=C_{5}^{0}.+C_{5}^{4}+C_{5}^{4}C_{5}^{3}\)
B. \({{a}_{10}}=C_{5}^{0}.C_{5}^{5}+C_{5}^{2}C_{5}^{4}+C_{5}^{4}C_{5}^{3}\)
C. \({{a}_{10}}=C_{5}^{0}.C_{5}^{5}+C_{5}^{2}C_{5}^{4}-C_{5}^{4}C_{5}^{3}\)
D. \({{a}_{10}}=C_{5}^{0}.C_{5}^{5}-C_{5}^{2}C_{5}^{4}+C_{5}^{4}C_{5}^{3}\)
b) Tính tổng \(T={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+...+{{a}_{15}}\) và \(S={{a}_{0}}-{{a}_{1}}+{{a}_{2}}-...-{{a}_{15}}\)
A. 131 B. 147614 C. 0 D. 1
Hướng dẫn giải:
Đặt \(f(x)={{(1+x+{{x}^{2}}+{{x}^{3}})}^{5}}={{(1+x)}^{5}}{{(1+{{x}^{2}})}^{5}}\)
a) Do đó hệ số \({{x}^{10}}\) bằng: \({{a}_{10}}=C_{5}^{0}.C_{5}^{5}+C_{5}^{2}C_{5}^{4}+C_{5}^{4}C_{5}^{3}\)
b) \(T=f(1)={{4}^{5}}\); \(S=f(-1)=0\)
Câu 7: Khai triển \({{\left( 1+2x+3{{x}^{2}} \right)}^{10}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}x+{{a}_{2}}{{x}^{2}}+...+{{a}_{20}}{{x}^{20}}\)
a) Hãy tính hệ số \({{a}_{4}}\)
A. \({{a}_{4}}=C_{10}^{0}{{.2}^{4}}\)
B. \({{a}_{4}}={{2}^{4}}C_{10}^{4}\)
C. \({{a}_{4}}=C_{10}^{0}C_{10}^{4}\)
D. \({{a}_{4}}=C_{10}^{0}{{.2}^{4}}C_{10}^{4}\)
b) Tính tổng \(S={{a}_{1}}+2{{a}_{2}}+4{{a}_{3}}+...+{{2}^{20}}{{a}_{20}}\)
A. \(S={{17}^{10}}\)
B. \(S={{15}^{10}}\)
C. \(S={{17}^{20}}\)
D. \(S={{7}^{10}}\)
Hướng dẫn giải:
Đặt \(f(x)={{(1+2x+3{{x}^{2}})}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{3}^{k}}{{x}^{2k}}{{(1+2x)}^{10-k}}}\)
\(=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{3}^{k}}{{x}^{2k}}\sum\limits_{i=0}^{10-k}{C_{10-k}^{i}{{2}^{10-k-i}}{{x}^{10-k-i}}}}\)
\(=\sum\limits_{k=0}^{10}{\sum\limits_{i=0}^{10-k}{C_{10}^{k}C_{10-k}^{i}{{3}^{k}}{{2}^{10-k-i}}{{x}^{10+k-i}}}}\)
a) Ta có: \({{a}_{4}}=C_{10}^{0}{{.2}^{4}}C_{10}^{4}+\)
b) Ta có \(S=f(2)={{17}^{10}}\)
Câu 8: Tính tổng sau: \(S=\frac{1}{2}C_{n}^{0}-\frac{1}{4}C_{n}^{1}+\frac{1}{6}C_{n}^{3}-\frac{1}{8}C_{n}^{4}+...+\frac{{{(-1)}^{n}}}{2(n+1)}C_{n}^{n}\)
A. \(\frac{1}{2(n+1)}\)
B. 1
C. 2
D. \(\frac{1}{(n+1)}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \(S=\frac{1}{2}\left( C_{n}^{0}-\frac{1}{2}C_{n}^{1}+\frac{1}{3}C_{n}^{2}-...+\frac{{{(-1)}^{n}}}{n+1}C_{n}^{n} \right)\)
Vì \(\frac{{{(-1)}^{k}}}{k+1}C_{n}^{k}=\frac{{{(-1)}^{k}}}{n+1}C_{n+1}^{k+1}\) nên: \(S=\frac{1}{2(n+1)}\sum\limits_{k=0}^{n}{{{(-1)}^{k}}C_{n+1}^{k+1}}\)
\(=\frac{-1}{2(n+1)}\left( \sum\limits_{k=0}^{n+1}{{{(-1)}^{k}}C_{n+1}^{k}}-C_{n+1}^{0} \right)=\frac{1}{2(n+1)}\).
Câu 9: Tính tổng sau: \(S=C_{n}^{1}{{3}^{n-1}}+2C_{n}^{2}{{3}^{n-2}}+3C_{n}^{3}{{3}^{n-3}}+...+nC_{n}^{n}\)
A. \(n{{.4}^{n-1}}\)
B. 0
C. 1
D. \({{4}^{n-1}}\)
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: \(S={{3}^{n}}\sum\limits_{k=1}^{n}{kC_{n}^{k}{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}}\)
Vì \(kC_{n}^{k}{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}=n{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}C_{n-1}^{k-1}\) \(\forall k\ge 1\) nên
\(S={{3}^{n}}.n\sum\limits_{k=1}^{n}{{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}C_{n-1}^{k-1}}={{3}^{n-1}}.n\sum\limits_{k=0}^{n-1}{{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{k}}C_{n-1}^{k}}={{3}^{n-1}}.n{{(1+\frac{1}{3})}^{n-1}}=n{{.4}^{n-1}}\).
Câu 10: Tính các tổng sau: \({{S}_{1}}=C_{n}^{0}+\frac{1}{2}C_{n}^{1}+\frac{1}{3}C_{n}^{2}+...+\frac{1}{n+1}C_{n}^{n}\)
A. \(\frac{{{2}^{n+1}}+1}{n+1}\)
B. \(\frac{{{2}^{n+1}}-1}{n+1}\)
C. \(\frac{{{2}^{n+1}}-1}{n+1}+1\)
D. \(\frac{{{2}^{n+1}}-1}{n+1}-1\)
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có:
\(\frac{1}{k+1}C_{n}^{k}=\frac{1}{k+1}\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{1}{n+1}\frac{(n+1)!}{(k+1)!\text{ }\!\
