Phương pháp giải bài toán tổng $\sum _{k=0}^n{a}_k{C}_n^k{b}^k$

Dựa vào khai triển nhị thức Newton

${(a+b)}^n=C_n^0{a}^n+a^{n-1}b{C}_n^1+a^{n-2}{b}^2{C}_n^2+...+b^n{C}_n^n$.

Ta chọn những giá trị $a,b$ thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

* $C_n^k=C_n^{n-k}$

* $C_n^0+C_n^1+...+C_n^n=2^n$

* $\sum _{k=0}^n{(-1)}^k{C}_n^k=0$

* $\sum _{k=0}^n{C}_{2n}^{2k}=\sum _{k=0}^n{C}_{2n}^{2k-1}=\frac{1}{2}\sum _{k=0}^{2n}{C}_{2n}^k$

* $\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^k={(1+a)}^n$.

Dựa vào đẳng thức đặc trưng

Mẫu chốt của cách giải trên là ta tìm ra được đẳng thức (*) và ta thường gọi (*) là đẳng thức đặc trưng.

Cách giải ở trên được trình bày theo cách xét số hạng tổng quát ở vế trái (thường có hệ số chứa $k$) và biến đổi số hạng đó có hệ số không chứa k hoặc chứa k nhưng tổng mới dễ tính hơn hoặc đã có sẵn.

Ví dụ: Tính tổng $S_3=C_n^1+2C_n^2+...+n{C}_n^n$

A. $4n{.2}^{n-1}$        

B. $n{.2}^{n-1}$          

C. $3n{.2}^{n-1}$        

D. $2n{.2}^{n-1}$

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: $k{C}_n^k=k.\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}$$=n\frac{(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}=n{C}_{n-1}^{k-1}$, $\mathrm{\forall }k\ge 1$

$\Rightarrow S_3=\sum _{k=1}^{n}n{C}_{n-1}^{k-1}=n\sum _{k=0}^{n-1}{C}_{n-1}^k=n{.2}^{n-1}$.

Câu 1: Tổng $T=C_n^0+C_n^1+C_n^2+C_n^3+...+C_n^n$ bằng:

A. $T=2^n$. 

B. $T=2^{n}1$.           

C. $T=2^n+1$.       

D. $T=4^n$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Tính chất của khai triển nhị thức Niu – Tơn.

Câu 2: Tính giá trị của tổng $S=C_6^0+C_6^1+..+C_6^6$ bằng:

A. $64$.                           

B. $48$.                           

C. $72$.                           

D. $100$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

$\text{S =}{\text{C}}_{\text{6}}^{\text{0}}{\text{+C}}_{\text{6}}^{\text{1}}\text{+}...{\text{+C}}_{\text{6}}^{\text{6}}=2^6=64$

Câu 3: Khai triển ${(x+y)}^5$rồi thay $x,y$ bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng $S=C_5^0+C_5^1+...+C_5^5$

A. $\text{ 32}$.   

B. $\text{ 64}$.       

C. $1$.                           

D. $12$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Với $x=1,y=1$ ta có $\text{S=}{\text{C}}_{\text{5}}^{\text{0}}{\text{+C}}_{\text{5}}^{\text{1}}\text{+}...{\text{+C}}_{\text{5}}^{\text{5}}={(1+1)}^5=32$.

Câu 4: Tìm số nguyên dương n sao cho: $C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+...+2^n{C}_n^n=243$

A. 4                                    B. 11                                  C. 12                                  D. 5

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Xét khai triển: ${(1+x)}^n=C_n^0+x{C}_n^1+x^2{C}_n^2+...+x^n{C}_n^n$

Cho $x=2$ ta có: $C_n^0+2C_n^1+4C_n^2+...+2^n{C}_n^n=3^n$

Do vậy ta suy ra $3^n=243=3^5\Rightarrow n=5$.

Câu 5: Khai triển ${(x+y)}^5$rồi thay $x,y$ bởi các giá trị thích hợp. Tính tổng $S=C_5^0+C_5^1+...+C_5^5$

A. $\text{ 32}$.   

B. $\text{ 64}$.       

C. $1$.  

D. $12$.

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Với $x=1,y=1$ ta có $\text{S=}{\text{C}}_{\text{5}}^{\text{0}}{\text{+C}}_{\text{5}}^{\text{1}}\text{+}...{\text{+C}}_{\text{5}}^{\text{5}}={(1+1)}^5=32$.

Câu 6: Khai triển ${(1+x+x^2+x^3)}^5=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_{15}{x}^{15}$

a) Hãy tính hệ số $a_{10}$. 

A. $a_{10}=C_5^0.+C_5^4+C_5^4{C}_5^3$  

B. $a_{10}=C_5^0.C_5^5+C_5^2{C}_5^4+C_5^4{C}_5^3$

C. $a_{10}=C_5^0.C_5^5+C_5^2{C}_5^4-C_5^4{C}_5^3$  

D. $a_{10}=C_5^0.C_5^5-C_5^2{C}_5^4+C_5^4{C}_5^3$

b) Tính tổng $T=a_0+a_1+...+a_{15}$ và $S=a_0-a_1+a_2-...-a_{15}$

A. 131                                B. 147614                          C. 0                                    D. 1

Hướng dẫn giải:

Đặt $f(x)={(1+x+x^2+x^3)}^5={(1+x)}^5{(1+x^2)}^5$

a) Do đó hệ số $x^{10}$ bằng: $a_{10}=C_5^0.C_5^5+C_5^2{C}_5^4+C_5^4{C}_5^3$

b) $T=f(1)=4^5$; $S=f(-1)=0$

Câu 7: Khai triển ${(1+2x+3x^2)}^{10}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_{20}{x}^{20}$

a) Hãy tính hệ số $a_4$ 

A. $a_4=C_{10}^0{.2}^4$      

B. $a_4=2^4{C}_{10}^4$    

C. $a_4=C_{10}^0{C}_{10}^4$  

D. $a_4=C_{10}^0{.2}^4{C}_{10}^4$

b) Tính tổng $S=a_1+2a_2+4a_3+...+2^{20}{a}_{20}$

A. $S={17}^{10}$        

B. $S={15}^{10}$         

C. $S={17}^{20}$        

D. $S=7^{10}$

Hướng dẫn giải:

Đặt $f(x)={(1+2x+3x^2)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{3}^k{x}^{2k}{(1+2x)}^{10-k}$

     $=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{3}^k{x}^{2k}\sum _{i=0}^{10-k}{C}_{10-k}^i{2}^{10-k-i}{x}^{10-k-i}$

     $=\sum _{k=0}^{10}\sum _{i=0}^{10-k}{C}_{10}^k{C}_{10-k}^i{3}^k{2}^{10-k-i}{x}^{10+k-i}$

a) Ta có: $a_4=C_{10}^0{.2}^4{C}_{10}^4+$

b) Ta có $S=f(2)={17}^{10}$

Câu 8: Tính tổng sau: $S=\frac{1}{2}{C}_n^0-\frac{1}{4}{C}_n^1+\frac{1}{6}{C}_n^3-\frac{1}{8}{C}_n^4+...+\frac{{(-1)}^n}{2(n+1)}{C}_n^n$

A. $\frac{1}{2(n+1)}$     

B. 1    

C. 2   

D. $\frac{1}{(n+1)}$

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: $S=\frac{1}{2}(C_n^0-\frac{1}{2}{C}_n^1+\frac{1}{3}{C}_n^2-...+\frac{{(-1)}^n}{n+1}{C}_n^n)$

Vì $\frac{{(-1)}^k}{k+1}{C}_n^k=\frac{{(-1)}^k}{n+1}{C}_{n+1}^{k+1}$ nên: $S=\frac{1}{2(n+1)}\sum _{k=0}^n{(-1)}^k{C}_{n+1}^{k+1}$

   $=\frac{-1}{2(n+1)}(\sum _{k=0}^{n+1}{(-1)}^k{C}_{n+1}^k-C_{n+1}^0)=\frac{1}{2(n+1)}$.

Câu 9: Tính tổng sau: $S=C_n^1{3}^{n-1}+2C_n^2{3}^{n-2}+3C_n^3{3}^{n-3}+...+n{C}_n^n$

A. $n{.4}^{n-1}$          

B. 0     

C. 1 

D. $4^{n-1}$

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: $S=3^n\sum _{k=1}^{n}k{C}_n^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^k$

Vì $k{C}_n^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^k=n{\left(\frac{1}{3}\right)}^k{C}_{n-1}^{k-1}$ $\mathrm{\forall }k\ge 1$ nên

$S=3^n.n\sum _{k=1}^n{\left(\frac{1}{3}\right)}^k{C}_{n-1}^{k-1}=3^{n-1}.n\sum _{k=0}^{n-1}{\left(\frac{1}{3}\right)}^k{C}_{n-1}^k=3^{n-1}.n{(1+\frac{1}{3})}^{n-1}=n{.4}^{n-1}$.

Câu 10: Tính các tổng sau: $S_1=C_n^0+\frac{1}{2}{C}_n^1+\frac{1}{3}{C}_n^2+...+\frac{1}{n+1}{C}_n^n$ 

A. $\frac{2^{n+1}+1}{n+1}$  

B. $\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$ 

C. $\frac{2^{n+1}-1}{n+1}+1$ 

D. $\frac{2^{n+1}-1}{n+1}-1$

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có:

$\frac{1}{k+1}{C}_n^k=\frac{1}{k+1}\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{1}{n+1}\frac{(n+1)!}{(k+1)![\text{ (}n+1)-(k+1))!}$

$=\frac{1}{n+1}{C}_{n+1}^{k+1}$ (*)

$\Rightarrow S_1=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{C}_{n+1}^{k+1}=\frac{1}{n+1}(\sum _{k=0}^{n+1}{C}_{n+1}^k-C_{n+1}^0)=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}$.

 

...

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp giải bài toán tổng $\sum _{k=0}^n{a}_k{C}_n^k{b}^k$. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang Chúng tôi để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp xác định phép thử, không gian mẫu và biến cố

• Phương pháp xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Newton

Chúc các em học tập tốt!